三角函数单调性、值域练习43答案.doc

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学科
数学
课题
三角函数单调性、值域练习
学案序号
43
使用时间
2015年5月
课型
复习课
备课、审核教师
辛卫国

1．函数y＝cos 2x在下列哪个区间上是减函数(　　)
A．[－，]　　　　　　　 B．[，] C．[0，] D．[，π]
解析：选C.若函数y＝cos 2x递减，应有2kπ≤2x≤π＋2kπ，k∈Z，即kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，令k＝0可得0≤x≤.
2．函数y＝2sin(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为(　　)
A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
解析：选C.周期T＝π，∴＝π，∴ω＝2.∴y＝2sin.由－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－π≤x≤kπ＋，k∈Z.
3．若函数y＝cos 2x与函数y＝sin(x＋φ)在区间[0，]上的单调性相同，则φ的一个值是
A. B. C. D.
解析：选D.由函数y＝cos 2x在区间[0，]上单调递减，将φ代入函数y＝sin(x＋φ)验证可得φ＝.
4. 设函数f(x)＝|sin(x＋)|(x∈R)，则f(x)(　　)
A．在区间[，]上是增函数 B．在区间[－π，－]上是减函数
C．在区间[，]上是增函数 D．在区间[，]上是减函数
解析：选A.f(x)的增区间为kπ≤x＋≤kπ＋(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．当k＝1，则为≤x ≤，故在其子区间[，]上为增函数．
5．函数y＝3tan(x＋)的增区间为_______
答案：(2kπ－，2kπ＋)，(k∈Z)
6．已知函数y＝tanωx在(－，)内是减函数，则ω的取值范围是________．
解析：y＝tanωx在(－，)是减函数，∴ω＜0且≥π⇒－1≤ω＜0.答案：－1≤ω＜0
7. 求函数f(x)＝3tan(－)的周期和单调递减区间；
解：(1)因为f(x)＝3tan(－)＝－3tan(－)，所以T＝＝＝4π.由kπ－＜－＜kπ＋(k∈Z)，
得4kπ－＜x＜4kπ＋(k∈Z)．因为y＝3tan(－)在(4kπ－，4kπ＋)(k∈Z)内单调递增，所以f(x)＝－3tan(－)在(4kπ－，4kπ＋)(k∈Z)内单调递减．故原函数的周期为4π，单调递减区间为(4kπ－，4kπ＋)(k∈Z)．
8．函数f(x)＝()|cosx|在[－π，π]上的单调递减区间为________．
解析：只需求出y＝|cosx|在[－π，π]上的单调递增区间．答案：[－，0]和[，π]
9．下列函数中，周期为π，且在[，]上为减函数的是________(填序号)．
①y＝sin(2x＋)；　　　　②y＝cos(2x＋)； ③y＝sin(x＋); ④y＝cos(x＋)．
解析：因为函数的周期为π，所以排除③④，又因为y＝cos(2x＋)＝－sin2x在[，]上为增函数，所以②不符合，只有函数y＝sin(2x＋)的周期为π，且在[，]上为减函数．答案：①
10．函数y＝2sin－cos(x∈R)的单调递增区间是__________．
解析：因为(－x)＋(＋x)＝，所以y＝2sin(－x)－sin(－x)＝sin(－x)＝－sin(x－)．由2kπ＋≤x－≤2kπ＋π(k∈Z)，得2kπ＋π≤x≤2kπ＋π(k∈Z)，故原函数的单调递增区间是[2kπ＋π，2kπ＋π](k∈Z)．答案：[2kπ＋π，2kπ＋π](k∈Z)
11．求下列函数的单调递增区间：
(1) y＝1＋2sin(－x)；

(2) y＝logcos x.
解：(1)y＝1＋2sin(－x)＝1－2sin(x－)．令u＝x－，则根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是y＝sin u的单调递减区间，即＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)，亦即π＋2kπ≤x≤π＋2kπ(k∈Z)，故函数y＝1＋2sin(－x)的单调递增区间是[π＋2kπ，π＋2kπ](k∈Z)．
(2)由cos x>0，得－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z.∵<1，∴函数y＝logcos x的单调递增区间即为u＝cos x，x∈(－＋2kπ，＋2kπ)(k∈Z)的递减区间，∴2kπ≤x<＋2kπ，k∈Z.故函数y＝logcos x的单调递增区间为[2kπ，＋2kπ)(k∈Z)．

12．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数且|φ|＜π，若f(x)≤对x∈R恒成立，且f＞f(π)，求f(x)的单调递增区间．
解：由f(x)≤对x∈R恒成立知2×＋φ＝2kπ±(k∈Z)，得到φ＝2kπ＋或φ＝2kπ－(k∈Z)，
代入f(x)并由f＞f(π)检验得，φ的取值为－，所以由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
13．已知ω＞0，函数f(x)＝sin(ωx＋)在(，π)上单调递减，则ω的取值范围是________．
解析：因为ω＞0，f(x)＝sin(ωx＋)在(，π)上单调递减，所以函数f(x)＝sin(ωx＋)的周期T≥2(π－)＝π.又ω＞0，所以0＜ω≤2.因为＜x＜π，所以＋＜ωx＋＜ωπ＋，所以解得≤ω≤.
答案：[，]
14. 函数y＝()sinx的单调递增区间为_______
解析：设u＝sinx，由复合函数的单调性知求原函数的单调递增区间即求u＝sinx的单调递减区间，结合u＝sinx的图象知：2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.答案：[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)

15．y＝sin x－|sin x|的值域是(　　)
A．[－1，0] B．[0，1] C．[－1，1] D．[－2，0]
解析：选D.y＝sin x－|sin x|＝⇒－2≤y≤0.

16. 函数f(x)＝－2sin2x＋2cos x的最小值和最大值分别是(　　)
A．－2，2 B．－2， C．－，2 D．－，2
解析：选D.f(x)＝－2sin2x＋2cos x＝2cos2x＋2cos x－2＝2－.∵－1≤cos x≤1，∴当cos x＝－时，f(x)min＝－，当cos x＝1时，f(x)max＝2.故选D.
17. 对于函数y＝(0<x<π)，下列结论正确的是(　　)
A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值
C．有最大值且有最小值 D．既无最大值也无最小值
解析：选B.∵y＝＝1＋，又x∈(0，π)，∴sin x∈(0，1]．∴y∈[2，＋∞)，故选B.
18. 函数y＝tan x(－≤x≤且x≠0)的值域是(　　)
A．[－1，1]　　 B．[－1，0)∪(0，1] C．(－∞，1] D．[－1，＋∞)
解析：选B.根据函数的单调性可得．
19．函数y＝|tan 2x|是(　　)
A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
解析：选D.f(－x)＝|tan(－2x)|＝|tan 2x|＝f(x)为偶函数，T＝.
20. 函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为(　　)
A．[－1,1] B．[－，－1] C．[－，1] D．[－1，]
解析：选C.令sinx＝t，t∈[－1,1]，∴y＝t2＋t－1＝(t＋)2－，∵t∈[－1,1]，∴y∈[－，1]．
21．函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为[－1，]，则b－a的最大值和最小值之和为
A. B．2π C．4π D.
解析：选B.画出图象可知，b－a的最大值为，最小值为，∴最大值和最小值的和为＋＝2π
22．函数y＝4cos2x＋4cosx－2的值域为
A．[－2,6] B．[－3,6] C．[－2,4] D．[－3,8]
解析：选B.y＝4cos2x＋4cosx－2＝4(cos2x＋cosx)－2＝4(cosx＋)2－3.∵－1≤cosx≤1，∴ymin＝－3，ymax＝4(1＋)2－3＝6.
23. 函数y＝tan(－x)(x∈[－，]且x≠0)的值域为(　　)
A．[－1，1] B．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C．(－∞，1) D．[－1，＋∞)
解析：选B.∵－≤x≤，∴≤－x≤且－x≠.由函数y＝tan x的单调性，可得y＝tan(－x)的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．

24. 函数y＝3－sin2x－4cosx的最小值为(　　)
A．－2 B．－1 C．－6 D．－3
解析：选B.y＝3－sin2x－4cosx＝3－(1－cos2x)－4cosx＝cos2x－4cosx＋2＝(cosx－2)2－2.
∵－1≤cosx≤1，∴ymin＝(1－2)2－2＝－1.
25. 已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)－|sinx－cosx|，则f(x)的值域是(　　)
A．[－1,1] B．[－，1] C．[－1，] D．[－1，－]
解析：选C.当sinx≥cosx，f(x)＝cosx，当sinx＜cosx，f(x)＝sinx，∴f(x)＝图象如图实线表示．所以值域为[－1，]，故选C.

26. 函数y＝3＋3cos(2x＋)的值域是________．
解析：－1≤cos(2x＋)≤1，∴0≤y≤6.答案：[0,6]
27. 已知函数y＝3cos(π－x)，则当x＝________时函数取得最大值．
解析：当函数取最大值时，x－＝2kπ(k∈Z)，x＝4kπ＋(k∈Z)．答案：4kπ＋(k∈Z)
28．函数y＝sin2x－6sinx＋10的最大值是________，最小值是________．
解析：令sinx＝t，t∈[－1,1]，则t2－6t＋10＝(t－3)2＋1，∴最大值为17，最小值为5.答案：17　5
29. 函数y＝3cos在x＝________时，y取最大值．
解析：当函数取最大值时，x－＝2kπ(k∈Z)，x＝4kπ＋(k∈Z)．答案：4kπ＋(k∈Z)
30．已知函数f(x)＝2sin(x＋)，x∈[0，]，则f(x)的值域是________
解析：x∈[0，]，x＋∈[，π]．sin(x＋)∈[，1]，则2sin(x＋)∈[，2]．答案：[，2]
31．若函数f(x)＝2sinωx(0＜ω＜1)在区间[0，]上的最大值为，则ω＝________.
解析：由0＜ω＜1知，函数f(x)在[0，]上单调递增，所以f()＝，则可求出ω.
答案：

32. 函数y＝(－≤x≤且x≠0)的值域是________
解析：当x∈[－，0)∪(0，]时，tanx∈[－1,0)∪(0,1]，∴y∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)

33. f(x)＝2sin ωx(0＜ω＜1)，在区间上的最大值是，则ω＝_______
34. ．已知函数f(x)＝asin(x－)＋a＋b.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调递减区间；
(2)当a＜0时，f(x)在[0，π]上的值域为[2,3]，求a，b的值．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝sin(x－)＋1＋b.∵y＝sinx的单调递减区间为[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)，∴当2kπ＋≤x－≤2kπ＋，即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调递减区间是[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)．
(2)f(x)＝asin(x－)＋a＋b，∵x∈[0，π]，∴－≤x－≤，∴－≤sin(x－)≤1.又∵a＜0，
∴a≤asin(x－)≤－a.∴a＋a＋b≤f(x)≤b，∵f(x)的值域是[2,3]，∴a＋a＋b＝2且b＝3，解得a＝1－，b＝3.

35．求下列函数的最大值和最小值：
(1)y＝；

(2)y＝3＋2cos(2x＋)．
解：(1)因为所以≤1－cos x≤.所以当cos x＝－1时，ymax＝；
当cos x＝1时，ymin＝.
(2)因为－1≤cos(2x＋)≤1，所以当cos(2x＋)＝1时，ymax＝5；当cos(2x＋)＝－1时，ymin＝1.
36. ．已知：f(x)＝2sin(2x＋)＋a＋1(a∈R，a为常数)．
(1)若x∈R，求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在[－，]上最大值与最小值之和为3，求a的值．
解：(1)∵2sin[2(x＋π)＋]＝2sin[(2x＋)＋2π]＝2sin(2x＋)，∴函数f(x)＝2sin(2x＋)＋a＋1的最小正周期为π.
(2)x∈[－，]⇒2x∈[－，]⇒2x＋∈[－，]．∴－≤sin(2x＋)≤1.即，∴2a＋3＝3⇒a＝0.

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