方差分析的基本假定.doc

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方差分析的基本假定
　　1. 可加性。
　　 方差分析的每一次观察值都包含了总体平均数、各因素主效应、各因素间的交互效应、随机误差等许多部分，这些组成部分必须以叠加的方式综合起来，即每一个观察值都可视为这些组成部分的累加和。在对每种模型进行讨论前我们都给出了适合这种模型的线性统计模型，这正是可加性的数学表达式。以后的理论分析都是建立在线性统计模型的基础上的，这正说明可加性是方差分析的重要先决条件。在某些情况下，例如数据服从对数正态分布（即数据取对数后才服从正态分布）时，各部分是以连乘的形式综合起来，此时就需要先对原始数据进行对数变换，一方面保证误差服从正态分布，另一方面也可保证数据满足可加性的要求。
　　2. 正态性。
　　 即随机误差 ε 必须为相互独立的正态随机变量。这也是很重要的条件，如果它不能满足，则均方期望的推导就不能成立，采用 F 统计量进行检验也就失去了理论基础。如果只是实验材料间有关联，可能影响独立性时，可用随机化的方法破坏其关联性；如果是正态性不能满足，即误差服从其他分布，则应根据误差服从的理论分布采取适当的数据变换，具体方法将在本节后边介绍。
　　3. 方差同质性（齐性）。
　　 即要求所有处理随机误差的方差都要相等，换句话说不同处理不能影响随机误差的方差。由于随机误差的期望一定为 0 ，这实际是要求随机误差有共同的分布。如果方差齐性条件不能满足也可采用数据变换的方法加以弥补。
7.6.2 数据转换
　　 前边曾提到方差分析应满足的三个条件：可加性，正态性，方差齐性。若在这三个条件不满足的情况下进行方差分析，很可能会导致错误的结论。其中第二、第三两条件是互相关联的，因为有些非正态分布，其方差与期望间常有一定的函数关系，如 Poisson 分布的数据，其期望与方差相等，指数分布的数据，期望的平方等于方差等等。此时显然若均值不等，则方差也不会相等，因此 H 0 不成立时也就不会满足方差分析的条件。在这种情况下，应在进行方差分析之前对数据进行变换，变换主要是针对方差齐性设计的，但对其他两个条件常也可有所改善。由于本课程的特点，我们不介绍变换的数学原理，只介绍常用的变换方法及适用的条件。

　　1. 平方根变换
　　用于服从泊松（ Poisson）分布的数据。它的方差与均值相等，因此H 0 不成立时不能满足方差齐性的要求。常见的例子如血球计数值，一定面积内的菌落数，一定体积溶液中的细胞数或细菌数，单位时间内的自发放射数，一定区域内的植物、动物、昆虫数，等等。其特点是每个个体出现在哪里完全是随机的，与其邻居无关。符合这一特点的现象通常服从泊松分布。
　 方法：把数据换成其平方根，即用 代替 x ij ，然后再进行计算。若大多数据值为 10 左右，个别接近 0 ，可用 代替 x ij 。
　　2. 反正弦变换
　　用于以百分数形式给出的二项分布数据。即把原二项分布数据乘以100后作为xij ，因此数据一般在0～100之间。如果数据集中于30～70之间二项分布本就接近正态分布，此时也可不做变换。但若变化超出上述范围很大则应变换。
　　方法：令 。即先开平方，再取反正弦。也可直接查表得到yij .
　　变化范围大实际是指 p 与 q 相差很大 , 此时有相当部分观察值大于 70 或小于 30 。此时分布是偏的 , 与正态分布差别很大。若 p 与 q 很接近 , 则数据多在 30 ～ 70 之间 , 与正态分布差别不大 , 就可以不变换。

　　3.对数变换
　　主要用于指数分布或对数正态分布数据。这些数据的特点是不能取负值，且其标准差σ常与期望μ接近。例如一些描述寿命的数据。
　　方法：令 y ij = lg(x ij ), 若大部分数据小于 10 ，个别接近 0 ，可采用 y ij =lg(x ij +1) 的变换。然后对 y ij 作方差分析。

　　4. 采用几个观察值的平均数作方差分析 　因为平均数比单个观察值更易做成正态分布，如抽取小样本求得其平均数，再以这些平均数作方差分析，可减小各种不符合基本假定因素的影响。

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