天津市滨海七所重点学校2021届高三数学上学期期末考试试题.doc

天津市滨海七所重点学校2021届高三数学上学期期末考试试题

天津市滨海七所重点学校2021届高三数学上学期期末考试试题

年级：
姓名：

20

天津市滨海七所重点学校2021届高三数学上学期期末考试试题
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟.考试结束后，上交答题卡.
第I卷（选择题，共45分）
一、选择题（本题共9个小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”函数的部分图象大致为　　

A． B. C. D.

4.中国女排，曾经十度成为世界冠军，铸就了响彻中华的女排精神．看过电影“夺冠”后，某大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后，学生的身体素质明显提高，现随机抽取800个学生进行体能测试，成绩的频率分布直方图如图，数据分成六组，．．．，则成绩落在上的人数为（ ）
A． B．
C． D．

5.在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为( )
A． B． C． D．

6.已知函数，，，，则下述关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
7.已知抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线的左顶点为且离心率为，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为 （ ）
A． B． C． D．
8.设函数，给出下列结论：
①的最小正周期为
②的图像关于直线对称
③在单调递减
④把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象。
其中所有正确结论的编号是（ ）．
A．①④ B．②④ C．①②④ D．①②③
9.已知函数 (，且)在区间上为单调函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 (非选择题，共105分)
二.填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)
10.若复数满足(其中是虚数单位)，则为_____________.
11.在二项式的展开式中，含的项的系数为__________.
12.已知直线：被圆：截得的弦长等于该圆的半径，则实数 ．
13.为了抗击新冠肺炎疫情，现从医院150人和医院100人中, 按分层抽样的方法，选出5人加入“援鄂医疗队”，现拟再从此5人中选出两人作为联络人，则这两名联络人中医院至少有一人的概率是________.设两名联络人中医院的人数为，则的期望为 .
14.已知正实数满足，则的最小值为__________．
15.已知平行四边形的两条对角线相交于点，，，，其中点在线段上且满足=，=_______，若点是线段上的动点，则的最小值为_______.

三.解答题(本大题5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
16.（本小题满分14分）
中，角所对边分别为且
（Ⅰ）求边及的值；
（Ⅱ）求的值.

17.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，且，，
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）在线段（不含端点）上是否存在一点,使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在，求出此时的长；若不存在，说明理由.

18.（本小题满分15分）
已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，为上任意一点，的最大值为1，椭圆右顶点为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过的直线交椭圆于另一点，过作轴的垂线交椭圆于（异于点），连接交轴于点.如果时，求直线的方程．
19.（本小题满分15分）
设是等比数列，公比大于0，是等差数列,.已知，，，.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足其中
（i）求数列的通项公式；
（ii）若的前项和为，求.

20.（本小题满分16分）
已知函数.
（Ⅰ）令，讨论的单调性并求极值；
（Ⅱ）令，若有两个零点；
（i）求的取值范围；
（ii）若方程有两个实根，，且.证明：

2021年天津市滨海七所学校高三毕业班联考
数学试卷（理科） 评分标准
一、 选择题（本题共9个小题，每小题5分，共45分）
BACDB ADCD
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).
10. 11． 12.
13． 14． 15．
(注：两个空的答对一个空给3分)
三.解答题(本大题5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
16. （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为， …… ………… 1分
由得， …… ………… 3分
…… ………… 4分
…… ………… 6分
由正弦定理得 …… ………… 8分
（Ⅱ） …… ………… 9分
由于， …… ………… 10分

…… ………… 12分
…… ………… 14分

17. （本小题满分15分）
解：（Ⅰ）法一：取PD的中点为H， ………… 1分
连接FH，HC.因为F为PA的中点，所以，
又因为，所以,所以四边形BCHF为平行四边形，
所以， ………… 2分
又因为 ………… 3分
（Ⅰ）法二：由题意得： ,

…… ………… 2分
设平面PCD的法向量为，，

………… 3分
………… 4分
……… 5分
（Ⅱ）设平面PBD的法向量为，
则 …… 6分
设平面BDF的法向量为，
则 …… 7分
因此有 …… ………… 8分
（注：结果正负取决于法向量方向）
于是 …… ………… 9分
所以二面角的正弦值为 …… ………… 10分(注：前面设角后面不写答话不扣分)
（Ⅲ）设 …… ………… 11分

…… ………… 12分
由（Ⅱ）可知平面BDF的法向量为
…… ………… 13分
有解得 …… ………… 14分
可得
所以 …… ………… 15 分
18. （本小题满分15分）
解： （Ⅰ）当为椭圆的短轴端点时，取得最大值
即； …… ………… 1分
又因为， …… ………… 2分
解得：，， …… ………… 3分
所以椭圆方程为 …… ………… 4分
（Ⅱ），根据题意，直线斜率存在且不为0
设直线：， …… ………… 5分

联立
得 …… ………… 6分
， …… ………… 7分
即 …… ………… 8分
由题意得： …… ………… 9分
（注：因为直线与直线关于轴对称，所以也可）
所以直线：，令，则 …… ………… 10分
(注：写出点坐标才给分)

…… ………… 12分
（注：写出向量坐标，没整理对给1分）
即 …… ………… 13分
解得： …… ………… 14分
所以：
直线：或 …… ………… 15分
19. （本小题满分15分）
（Ⅰ）设等比数列的公比为q.由
可得.因为，可得， …… ………… 1分
故. …… ………… 2分
设等差数列的公差为d，由，可得
由，可得
从而 …… ………… 3分
故 …… ………… 4分
所以数列的通项公式为，数列的通项公式为
（Ⅱ）
（i） …… ………… 5分
…… ………… 6分
…… …………7分
（ii） …… ………… 8分
…… ………… 9分
（注：先求再求也没问题）
…… ………… 10分
…… ………… 11分

（等比求和1分，等差求和1分）…… ………… 13分
… ………… 14分
（注：写成
没问题）
…… ………… 15分
（注：结果对即可如）
20. （本小题满分16分）
解：（Ⅰ）因为
所以 …… ………… 1分

…… ………… 2分

负

正

单调递减
极小值
单调递增
(注意：没有列表，写清楚导函数符号单调性不减分，没有写导函数符号直接出单调区间减1分) …… ………… 3分
所以单调递减区间为，单调递增区间为
极小值为, 无极大值. …… ………… 4分
（Ⅱ）有两个零点.
因为所以 …… ………… 5分
①当时，，单调递增，不可能有两个零点； …… ………… 6分
②当时，令，得，单调递减；
令，得，单调递增. …… ………… 7分
所以
要使有两个零点，即使，得， .…… ………… 8分
又因为，所以在存在唯一一个零点 …… ………… 9分
且，，
所以在上存在唯一一个零点，符合题意. …… ………… 10分
综上，当时，函数有两个零点.
法二：有两个零点，
等价于有两个实根，（1） …… ……5分
令
…… ……6分
当时，，单调递减，且； …… ……7分
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；…… ……8分
，，
…… ……9分
要使（1）有两个实数根，即使，
综上，当时，函数有两个零点. …… ……10分
（Ⅲ）有两个实根，
令，
有两个零点,,，
所以 …… …………11分
（注意：上来没有直接换元，写给1分）

所以 （1）
（2） …… …………12分
（注意：写给1分）
要证，只需证，即证，………13分
所以只需证.
由（1）（2）可得，
只需证. …… …………14分
设，令，则，所以只需证，即证.
令，，则， …… …………15分
. 即当时，成立.
所以，即，
即. …… …………16分