江苏省徐州市邳州市运河中学2020-2021学年高一数学下学期期中试题(普通班).doc

江苏省徐州市邳州市运河中学2020-2021学年高一数学下学期期中试题（普通班）

江苏省徐州市邳州市运河中学2020-2021学年高一数学下学期期中试题（普通班）

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姓名：

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江苏省徐州市邳州市运河中学2020-2021学年高一数学下学期期中试题（普通班）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在中，已知，则角的大小为
A． B． C． D．
2．设不共线，，若三点共线，则实数的值是
A． B． C． D．
3．已知，且α为锐角，则cosα＝
A． B． C． D．
4．欧拉公式（e是自然对数的底数，i是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将复数和指数函数、三角函数紧密相联，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”.当时，就有，根据上述背景知识，复数的虚部为
A． B． C． D．
5．已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
6．分别是复数在复平面内对应的点， 是原点，若，则一定是
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
7．函数，则下列结论正确的是　
A．的最大值为1 B．的图象关于点对称
C．在上单调递增 D．的图象关于直线对称

A
B
8．月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景” 之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，南北距离的长大约，则该月牙泉的面积约为（参考数据：）
A．
B．
C．
D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知向量，则
A． B． C． D．
10．下列各式中，值为的是
A． B．
C． D．
11．已知与是共轭复数，以下4个命题一定正确的是
A． B． C． D．
12．如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为的反射坐标系，若，则把有序数对叫做向量的反射坐标，记为．在的反射坐标系中，，.则下列结论中，正确的是
A． B．
C． D．在上的投影向量为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知复数满足，为虚数单位，则复数_________．
14．若，则__________．
15．中，为边的中点，为中线上的一点且，则的最小值为________．
16．邳州市艾山九龙景区标志性建筑物---鼎，距今已有多年的历史．它是每一位到邳州旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集多面体于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算该鼎的高度，在它的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，该鼎顶的仰角分别是和，在楼顶处测得该鼎顶的仰角为，则小明估算该标志性建筑物的高度为 ．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
若复数（，是虚数单位）．
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围．
A
B
C
D
α
β
γ

18．（12分）
如图，三个全等的矩形相接，且．
（1）若，求的值；
（2）已知，求的值．

19．（12分）
如图，在中，是边的中点， ，和交于点，设，．
（1）用和表示向量，；
（2）若，求实数的值．

20．（12分）
的面积为，的对边分别为且，_____．
（1）求；
（2）若，求．
从①，②，③ 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．（注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答给分）

21．（12分）
在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量与垂直．
（1）求角A的大小；
（2）求的取值范围．

22．（12分）
邳州市沙沟湖水杉公园为了更好的服务游客，对赏柳观光区进行改造升级．如图，已知扇形是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为10米，，为了便于游客观光和旅游，提出以下两种设计方案：
（1）如图1，拟在观光区内规划一条三角形形状的道路，道路的一个顶点在弧上，另一顶点在半径上，且，求周长的最大值；
（2）如图2，拟在观光区规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃的一个顶点在弧上，另两个顶点在半径上，且，求花圃面积的最大值．

数学参考答案与评分标准
1~8 CDCA BBCD 9．BD 10．AC 11．BC 12．ABD
13． 14． 15． 16．
17．解：（1）因为是纯虚数，所以，解得，，
所以的值为； ……………………………5分
（2）因为在复平面内对应的点在第二象限，所以，
解得，，所以的取值范围是．
18．解：（1）如图，若，则 ……………………………2分
所以 ……………………………4分
……………………………6分
（2）如图可得，，
因为，所以
即 ………………………………8分
化简得，，所以，
所以的值为1 ……………………………12分
19．解：（1）如图，因为是边的中点，
所以， ……………3分
……………………6分
（2）如图，因为是边的中点，
所以，…9分
因为三点共线，所以，解得，，
所以实数的值为．
20．解：（1）在中，因为，
所以，即
因为，所以． ……………………………6分
（2）若选① 则在中，由余弦定理，
得，解得或(舍去)，所以 …………………12分
若选② ，则
，
由正弦定理，得，解得，
所以． ……………………………12分
若选③ ，由余弦定理
得
，解得或(舍去)
所以． ……………………………12分
21．解：（1）因为，所以，
在△ABC中，由正弦定理得，，所以，
化简得，，即， ………………3分
又因为，所以，所以，
又因为，所以； ……………………………6分
（2）由（1）可知，…8分
因为是锐角三角形，所以所以 ……10分
所以，所以
所以的取值范围为 ……………………………12分
22．解：（1）因为，，所以，
又，设，，
在中，由正弦定理可知，，
，，
所以的周长，．
化简得． ……………………………4分
所以时，的周长有最大值为米．
答：周长的最大值为米； ……………………………6分
（2）因为图2中与图1中面积相等，
而在中，因为，，，所以．
由余弦定理知，， …………8分
所以，，
所以，，当且仅当时取“”． ……10分
所以平方米．
答：花圃面积的最大值为平方米，此时米．…12分