四川省成都市树德中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题.doc

四川省成都市树德中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题

四川省成都市树德中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题

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- 20 -

四川省成都市树德中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）
一、选择题（共12小题）.
1.已知，则值为 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
两边平方解得，由此可求的值
【详解】由已知，两边平方得
可得 即即
故选：C
【点睛】本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数关系式的应用，属于基础题．
2.下列结论不正确的是( )
A. 若a＞b，c＞0，则ac＞bc B. 若a＞b，则a﹣c＞b﹣c
C. 若ac2＞bc2，则a＞b D. 若a＞b，c＜0，则
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，逐项判断，即可得出结果.
【详解】对于选项A：由于a＞b，c＞0，根据不等式性质2，则ac＞bc，故正确.
对于选项B：由于a＞b，根据不等式性质1，则a﹣c＞b﹣c，故正确.
对于选项C：由于ac2＞bc2，根据不等式性质2，则a＞b，故正确.
对于选项D：当a＝0，b＝﹣1时，没有意义，故错误.
故选：D
【点睛】本题主要考查判断命题的真假，熟记不等式的性质，灵活运用特殊值法处理即可，属于常考题型.
3.已知等差数列{an}前n项和为Sn，且a3+a4＝12，S7＝49，则a1＝( )
A. 9 B. 10 C. 1 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】
根据所给等式利用等差数列的通项公式及求和公式列出方程组求解即可.
【详解】设等差数列{an}的公差为d，∵a3+a4＝12，S7＝49，
∴2a1+5d＝12，7a1+21d＝49，
解得：a1＝1.
故选：C
【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，属于基础题.
4.已知，且，则（ ）
A 2 B. C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由同角三角函数的基本关系计算可得、，再根据两角差的正切公式计算可得.
【详解】解：因为，所以，又，
所以，则，
所以.
故选：
【点睛】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于基础题.
5.已知实数x，y满足，z＝4x﹣y的最小值的是( )
A. ﹣2 B. 8 C. ﹣1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到答案.
【详解】作出实数x，y满足对应的平面区域如图：
由z＝4x﹣y得y＝4x﹣z，表示直线在轴截距的相反数，
由图象可知当直线y＝4x﹣z与直线AB重合时，纵截距最大，此时z最小，此时.
故选：A.

【点睛】本题考查了线性规划问题，意在考查学生的应用能力，画出图象是解题的关键.
6.在中，若，那么是（ ）
A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】
由tanAtanB>1可得A，B都是锐角，故tanA和tanB都是正数，可得tan（A+B）<0，故A+B为钝角，C为锐角，可得结论.
【详解】由△ABC中，A，B，C为三个内角，若tanAtanB>1，可得A，B都是锐角，故tanA和tanB都是正数，
∴tan（A+B）0，故A+B为钝角．由三角形内角和为180°可得，
C为锐角，故△ABC是锐角三角形，
故选C．
【点睛】本题考查根据三角函数值的符号判断角所在的范围，两角和的正切公式的应用，判断A+B为钝角，是解题的关键．
7.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其面积为S，若满足关系式a2+b2﹣c2＝4S，则角C＝( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知结合余弦定理和面积公式，求出，即可求解.
【详解】因为a2+b2﹣c2＝4S，
所以2abcosC＝2absinC，
故sinC＝cosC即tanC＝1，
因为C为三角形的内角，所以C.
故选：A.
【点睛】本题考查余弦定理和面积公式解三角形，熟记定理和公式是解题的关键，属于基础题.
8.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，且，则m＝( )
A. ﹣4 B. 4 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由列出方程求出，再利用等比数列的求和公式由列出方程，代入的值即可求得m.
【详解】，且，即，解得或(舍去)，
，，
又，，，解得.
故选：D
【点睛】本题考查等比数列基本量的求解、等比数列的前n项和公式，属于基础题.
9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方（即尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺.将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）.试问水深、芦苇的长度各是多少？假设，现有下述四个结论：
①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③；④.
其中所有正确结论的编号是（ ）

A. ①③ B. ①③④ C. ①④ D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】
利用勾股定理求出的值，可得，再利用二倍角的正切公式求得，利用两角和的正切公式求得的值.
【详解】设，则，
∵，∴，∴.
即水深为12尺，芦苇长为12尺；
∴，由，解得（负根舍去）.
∵，
∴.
故正确结论的编号为①③④.
故选：B.
【点睛】本题主要考查二倍角的正切公式、两角和的正切公式，属于基础题.
10.已知数列的通项公式，则 （　　）
A. 150 B. 162 C. 180 D. 210
【答案】B
【解析】
【分析】
由通项公式，首先判断数列的单调性，去掉要求和式的绝对值，再进行计算．
【详解】由对勾函数的性质可知：
当时，数列为递减；当时，数列为递增．
所以
=
=
=
=162
【点睛】数列问题常见的方法和注意点：
（1）求和常常要根据数列的通项公式的形式和特点，灵活选择方法，不可以用固定的思维模式去考虑问题．如含绝对值的求和问题的关键点在于先把绝对值去掉，再求和．
（2）常见的求和方法有：倒序求和，错位相消，裂项法，分组求和法，公式法等．
11.( )
A. B. 1 C. ﹣1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
用诱导公式化，同时用二倍角公式化为，分母提取后逆用两角和的余弦公式化简，分子中，用两角差的正弦公式化简后可得．
【详解】

.
故选：D.
【点睛】本题考查二倍角公式，两角和与差的正弦、余弦公式，解题关键是确定角的关系，根据角的关系选用相应的公式变形化简．
12.设数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*总有2Sn＝an2+n，且an＜an+1.若对任意n∈N*，θ∈R，不等式λ（n+2）恒成立，求实数λ的最小值( )
A. 1 B. 2 C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由得数列的递推关系，确定数列是等差数列，从而得其通项公式，不等式化为λ，不等式右边分子平方展开后应用基本不等式可求得其最大值，从而得的最小值．
【详解】由2Sn＝an2+n，①
可知，当n≥2时，2Sn﹣1＝an﹣12+(n﹣1)，②
①﹣②，得2an＝an2﹣an﹣12+1，
故(an﹣1)2＝an﹣12，
于是an﹣1＝an﹣1或an﹣1＝﹣an﹣1，
若an﹣1＝﹣an﹣1，则an+an﹣1＝1，不合题意；
于是an﹣1＝an﹣1，即an﹣an﹣1＝1，
即数列{an}是公差为1的等差数列，又a1＝1，
∴an＝1+(n﹣1)×1＝n.
故an＝n.
依题意知∀n∈N*，λ 都成立，
然后通过基本不等式得，

2，
当且仅当，即时，取“＝”，
所以 的最大值为2，
所以λ≥2，
所以λ的最小值为2，
故选：B.
【点睛】本题考查由数列前项和与项的关系求通项公式，考查有关数列不等式恒成立问题，解题关键有两个方面，一是通过得出数列是等差数列，从而得通项公式，二是用基本不等式求最大值，得不等式中参数范围．
二、填空题（本大建共4个小题，每小题5分，共20分）
13.f（x）＝sin2xcos2x对称轴_____.
【答案】x，k∈Z
【解析】
【分析】
逆用两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质得对称轴．
【详解】∵f（x）＝sin2xcos2x＝，
∴令2xk，k∈Z，解得x，k∈Z
∴f（x）＝sin2xcos2x对称轴为x，k∈Z
故答案为：x，k∈Z．
【点睛】本题考查求三角函数的对称轴，解题方法是利用三角恒等变换公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质求解．
14.若不等式ax2+2ax﹣1＜0解集为R，则a的范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】
对是否等于0分类讨论，若，不等式解集为R，若，根据已知可得，求解即可.
【详解】a＝0时，不等式ax2+2ax﹣1＜0化为，解集为R；
a≠0时，不等式ax2+2ax﹣1＜0解集为R时，
应满足，
解得；
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查已知不等式的解集求参数范围，掌握一元二次不等式的解与之对应的条件是解题的关键，考查分类讨论思想，属于基础题.
15.已知Sn是数列{an}的前n项和，若，则的值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
先确定周期，再求一个周期数列的和，最后根据，结合周期求和.
【详解】
且， ，，，，， ，…，
所以数列{an}的周期为6，又，
∴.
故答案为：.
【点睛】本题考查数列求和、数列周期性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
16.如图，平面四边形ABCD中，AC与BD交于点P，若3BP＝BD，AB＝ADBC，，则_____.

【答案】
【解析】
【分析】
延长BC到E，使得BE＝3BC，连结DE，结合已知得3，由相似三角形性质得P是BD的三等分点，且AP＝PC，分别过A，C作BD的垂线，垂足为N，M，PM＝PN＝BM，得BC＝PC，过C作CF//AD交DE于F，则四边形ACFD是平行四边形，设BC＝1，计算出各线段长，可得CF⊥DE，四边形ACFD是矩形，这样可计算出，得所求比值．
【详解】延长BC到E，使得BE＝3BC，连结DE，
则3，又33，
∴3，
∴DE//AC，DE＝3AP.
∴，
∴，
∴P是BD的三等分点，且AP＝PC.
分别过A，C作BD的垂线，垂足为N，M， ∵，
∴PM＝PN＝BM，
∴BC＝PC，
过C作CF//AD交DE于F，则四边形ACFD是平行四边形，
设BC＝1，则AB＝AD，CE＝2BC＝2，CF＝AD，DE＝3PC＝3，
∴EFDE＝1，
∴CE2＝CF2+EF2，∴CF⊥DE，
∴四边形ACFD是矩形，∴∠CAD，
∴CD，
∴.
故答案为：.

【点睛】本题考查向量线性运算在平面几何上的应用，考查向量数乘的意义，辅助线作得较多，对学生的逻辑思维能力要求较高，考查了学生逻辑推理能力．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.已知数列{an}为等差数列，S2＝0，S6﹣S3＝21.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn，求数列{bn}的前n项和Tn.
【答案】（1）an＝2n﹣3；（2）Tn
【解析】
【分析】
（1）设等差数列的首项为，公差为，根据所给条件得到方程组，解得即可；
（2）由（1）可得，再利用裂项相消法求前项和；
【详解】（1）数列{an}为等差数列，S2＝0，S6﹣S3＝21.
设数列的首项为a1，公差为d，
则：，
解得：，d＝2，
所以，an＝2n﹣3；
（2）由于：an＝2n﹣3，
所以：，
所以：（），
，
.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，裂项相消法求和，属于中档题.
18.已知.
（1）解不等式；
（2）求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由得出，将不等式变形为，解此不等式，结合可得出原不等式的解集；
（2）将函数的解析式化简为，利用基本不等式可求得函数的最小值.
【详解】（1）由可得，由可得，即，
解得或，
由于，因此，不等式的解集为；
（2）由可得，，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时取等号，
因此，函数的最小值为.
【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式求函数的最值，考查计算能力，属于中等题.
19.已知函数f（x）＝sin2x﹣cos2x﹣2sinxcosx（x∈R）.
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间[，]上的最大值和最小值.
【答案】（1）[]（k∈Z）；（2）最大值为1，最小值为﹣2.
【解析】
【分析】
试题分析：（1）利用倍角公式以及两角和的正弦对函数解析式进行化简，再由正弦函数的单调减区间，求出函数的递增区间；（2）由，求出的范围，进而求出最值.
【详解】（1）函数f（x）＝sin2x﹣cos2x﹣2sinxcosx＝﹣cos2xsin2x＝﹣2sin（2x）.
令（k∈Z），
解得：（k∈Z），
故函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）；
（2）由于，
所以，
所以当时，即x时，函数的最大值为1，
当，即x时，函数的最小值为﹣2.
【点睛】本题主要考查三角函数的周期性、三角函数的图象变换及最值，属于基础题.三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过和、差、倍角公式把函数化为的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.
20.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且满足4cos2cos2（B+C）.
（1）求角A；
（2）若△ABC的面积为，周长为8，求a.
【答案】（1） ；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角公式化简等式可得关于cosA的复合型二次方程，求出cosA再根据角A的范围即可确定角A；（2）利用三角形面积公式求出bc，再利用余弦定理及周长可求得关于a的一元二次方程，求解即可.
详解】（1）∵A+B+C＝π，
∴4cos2cos2（B+C）＝2（1+cosA）cos2A＝2cos2A+2cosA+3，
即2cos2A2cosA0，解得cosA或（舍去），
∵0＜A＜π，∴A.
（2）∵bcsinA，bc＝4，
由余弦定理可得，
又∵a+b+c＝8，∴a2＝（8﹣a）2﹣4，解得a.
【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积公式、二倍角的余弦公式，属于中档题.
21.在数列{an}中a1＝1，an＝3an﹣1+3n+4（，n≥2）.
（1）证明：数列{}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn.
【答案】（1）证明见解析，；（2）Sn2n
【解析】
【分析】
（1）递推公式通过变形可得1，即可证明数列{}为等差数列，求出其通项公式通过变形即可求得数列{an}的通项公式；（2）利用错位相减法及等比数列的求和公式求解.
【详解】（1）证明：因为an＝3an﹣1+3n+4（，n≥2）.
∴an+2＝3（an﹣1+2）+3n（，n≥2）.
∴1
所以数列{}是公差为1，首项为1的等差数列，
所以，则，
所以数列{an}的通项公式为.
（2）令①
则②
②﹣①得

所以
所以.
【点睛】本题考查利用递推公式证明等差数列、等差数列的通项公式、等比数列的求和公式、错位相减法求和，属于中档题.
22.已知都是各项不为零的数列，且满足，，其中是数列的前项和，是公差为的等差数列.
（1）若数列的通项公式分别为，求数列的通项公式；
（2）若（是不为零的常数），求证：数列是等差数列；
（3）若（为常数，），（，），对任意，，求出数列的最大项（用含式子表达）.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）代入数据得到，根据通项和前项和关系并验证得到答案.
（2）代入数据化简得到，退项作减法得到（），再验证的情况得到答案.
（3）根据题意代数化简得到，令，证明时，单调递减，得到最大项.
【详解】（1）因为，所以，
由，得，
当时，，两式作差，可得，
当时，满足上式，则.
（2），当时，，
两式相减得：，
即，即，
又，所以，即，
所以当时，，两式相减得：，
所以数列是从第二项起成公差为的等差数列.
又当时，由，得，
当时，由，得，
故数列是公差为的等差数列.
（3）当时，，
因为，所以，即，
所以，即，即，
故从第二项起数列是等比数列，所以当时，，
，
另外由已知条件可得，又，
所以，因而，
令，则，
故对任意的时，，恒成立，
所以时，，单调递减，中最大项为.
【点睛】本题考查了数列的通项公式，证明等差数列，根据数列的单调性求最大项，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.