湖南省湖南师范大学附属中学2020-2021学年高二数学下学期第二次月考试题.doc

湖南省湖南师范大学附属中学2020-2021学年高二数学下学期第二次月考试题

湖南省湖南师范大学附属中学2020-2021学年高二数学下学期第二次月考试题

年级：
姓名：

15

湖南省湖南师范大学附属中学2020-2021学年高二数学下学期第二次月考试题
时量：120分钟 满分：150分
得分：___________
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 设集合，，且，则实数的取值集合为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A. 12 B. 24 C. 42 D. 48
3. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知正数，满足：，则的最小值为（ ）
A. B. C. 6 D.
5. 如图所示，为线段外一点，若，，，，…，中任意相邻两点间的距离相等，，，则用，表示，其结果为（ ）
A. B.
C. D.
6. 若函数在上是增函数，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数在处取得极值0，则（ ）
A. 4 B. 11 C. 4或11 D. 3或9
8. 几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点，是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大”.如图，其结论是：点为过，两点且和射线相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是（ ）

A. -7 B. 1或-7 C. 2或-7 D. 1
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 设，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若且，，则
10. 已知函数是上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，，下列结论正确的是（ ）
A.
B. 点是函数的图象的一个对称中心
C. 函数在上单调递增
D. 函数在上有3个零点
11. 已知点是双曲线：的右支上一点，、分别为双曲线的左、右焦点，若的面积为20，则下列说法正确的有（ ）
A. 点的横坐标为 B. 为锐角三角形
C. 的周长为 D. 的内切圆半径为
12. 如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示的六面体，则下列说法正确的是（ ）

A. 六面体的体积为
B. 若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为
C. 折后棱，所在直线异面且垂直
D. 折后棱，所在直线相交
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 设函数，则__________.
14. 已知是抛物线：的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为线段的中点，则__________.
15. 已知函数，，若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是___________.
16. 在锐角中，若，则的最小值为___________.
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17. 在中，，，分别为内角，，的对边，.
（1）求角；
（2）若，为中点，在下列两个条件中任选一个，求的长度.
条件①：的面积且；条件②：.
注：若选择两条件分别解答，按第一个解答计分.
18. 已知数列满足，.
（1）求；
（2）若数列满足，，求证：.
19. 如图，已知，是直径为的球表面上两点，.

（1）证明：；
（2）若，二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
20. 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：
潜伏期/天

人数
85
205
310
250
130
15
5
（1）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有的把握认为潜伏期与患者年龄有关；

潜伏期天
潜伏期天
总计
50岁以上（含50岁）

100
50岁以下
55

总计

200
（2）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立，为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？
附：，其中.

0.05
0.025
0.010

3.841
5.024
6.635
21. 设椭圆：的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线交椭圆于、两点，为椭圆上一点，求面积的最大值.
22. 已知曲线在处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.

湖南师大附中2020—2021学年度高二第二学期第二次大练习
数学参考答案
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1-5：AADBB 6-8：BBD
1. A 【解析】由题集合且，所以，-1，-2，故选A.
2. A 【解析】，则，∴，则.故选A.
3. D 【解析】若“，”为真命题，则有，所以，故选项中范围对应的集合是的真子集.故选D.
4. B 【解析】由题可知，
（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故选B.
5. B 【解析】设的中点为，则也是，…，的中点，
可得，同理可得，
故，故选B.
6. B 【解析】函数，令，解得，故当时，函数的单调递增区间为.
∵在上是增函数，∴，∴，，∴，故的最大值为，故选B.
7. B 【解析】因为，由题有，即，解得或，检验：当时，不合题意，舍掉；
当'时，，令，得或；令得.
所以在，上单调递增，在上单调递减，符合题意，则，故选B.
8. D 【解析】设圆的标准方程为：，
由于的中点为，且，
则或，
因为是锐角，故不符合题意，舍去，即.
因为圆心的横坐标与的横坐标一致，所以点的横坐标是1，故选D.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. ACD 10. AB 11. ACD 12. ABD
9. ACD 【解析】若，则，所以，故A正确；若，则，故B不正确；若，则，故C正确；设函数，则在上单调递增，若且，，则，故D正确.正确答案为ACD.
10. AB 【解析】在中，令，得.又因为函数是上的奇函数，所以，A正确；，故是一个周期为4的奇函数，因为是函数的图象的一个对称中心，所以也是函数的图象的一个对称中心，B正确；作出函数的部分图象，如图所示，易得函数在上不具有单调性，C错误﹔根据上图可知，函数在上有7个零点，D错误.故选AB.

11. ACD 【解析】设的内心为，连接，，，易知双曲线：中，，，不妨设，，，由的面积为20，可得，即，由，可得，故A正确；由且，可得，则为钝角，所以为钝角三角形，故B错误﹔由，则的周长为，故C正确；设的内切圆半径为，可得，可得，解得，故D正确.故答案选ACD.

12. ABD 【解析】六面体由两个全等的正四面体组成，其中每个四面体的棱长为1，四面体的高为，故六面体的休积，故A正确；由图形的对称性，小球的体积要达到最大，即球与六面体的每个面都相切时体积达到最大，六面体的每个面的面积是，连接球心与五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥，设球的半径为，所以，解得，所以球的体积，故B正确；折后、在共底的两个四面体的底面，则直线与相交，故D正确，故答案选ABD.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共 20分.）
13. 【解析】由题有，则.
14. 6 【解析】由抛物线：得，所以抛物线的焦点的坐标为.因为是线段的中点，点在轴上，所以根据中点坐标公式，得.又因为点在抛物线上，所以，.
15. 【解析】如图所示，方程有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线的斜率大于坐标原点与点的连续的斜率，且小于直线的斜率时符合题意，故答案为.

16. 【解析】因为，又，所以.
因为为锐角三角形，所以，.又，
所以，当且仅当，即时取等号，即，
解得或（舍去）.
故的最小值为.
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.【解析】（1）在中，由余弦定理知：，
所以，所以，
又由正弦定理知：，得，
所以，
即：，
所以，
因为，所以，所以，
又因为，所以.
（2）若选择条件①：，
因为，所以，
由余弦定理知：，
所以，
由，解得：或，
因为，所以，所以，所以，
在中，，
所以；
若选择条件②：，
因为，所以，
又因为，
由正弦定理知：，所以，
在中，由余弦定理知：，
解得：.
18.【解析】（1）由题意，
∴，也适合.
所以.
（2）由已知，，，
当时，，
因此
，
则，
综上，.
19.【解析】解法一：
（1）因为，是直径为的球面上两点，所以，
因为，所以.
在平面内作，垂足为，连接，则平面，于是.

（2）由（1）可知是二面角的平面角，所以.
因为，所以，因为，所以，于是，，所以的面积为，四面体的体积为，因此三棱锥的体积为.
的面积为，设到的距离为，由，可得.因此直线与平面所成角的正弦值为.
解法二：
（1）同解法1.
（2）由（1）可知是二面角的平面角，
所以.
因为，所以，因为，所以，于是.
由（1）知平面平面，交线是，在平面内过作，垂足为，交于，则平面.
以，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，.
设是平面的一个法向量，则，即，取，可得，∴.
所以直线与平面所成角的正弦值为.

20.【解析】（1）根据题意补充完整的列联表如下：

潜伏期天
潜伏期天
总计
50岁以上（含50岁）
65
35
100
50岁以下
55
45
100
总计
120
80
200
则，，
所以没有的把握认为潜伏期与患者年龄有关；
（2）由题可得该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率为，
设调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为，则，
，，
由，即，
化简得，解得，又，所以，
即这20名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是8人.
21.【解析】（1）双曲线的离心率为，
则椭圆的离心率为，
由，故椭圆的方程为.
（2）由得，
由，得.
∵，.
∴.
由已知可得点的坐标为，故到的距离为，
则
，
当且仅当时取等号，
∴.
22.【解析】（1）由得，，
由题意得在处的切线斜率为，
又，可得，解得，.
（2）由（1）知，，
，即为，
由知，上式等价于函数在为增函数，
，即，
令，，
当时，时，递减；，时，递增，，
则，即，所以实数的范围为.