高二数学推理与证明知识点与习题.doc

选修2-2：推理与证明
一、推理
1.推理 ：前提、结论
2.合情推理:
合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：
（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理
（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。
3.演绎推理:
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。
重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明
题型1 用归纳推理发现规律
1、观察：；； ；….对于任意正实数，试写出使成立的一个条件可以是 ____.
【点拨】：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故
2、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂
巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂
巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图
有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以
表示第幅图的蜂巢总数.则=_____;=___________.
【解题思路】找出的关系式
[解析]
【点评】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系
题型2 用类比推理猜想新的命题
[例 ]已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______.
【解题思路】从方法的类比入手
[解析]原问题的解法为等面积法，即，类比问题的解法应为等体积法， 即正四面体的内切球的半径是高
【点评】（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比
（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等

二、直接证明与间接证明
三种证明方法:
综合法、分析法、反证法
反证法：它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一般步骤：
(1) 假设命题的结论不成立；
(2) 根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止
(3) 断言假设不成立
(4) 肯定原命题的结论成立
重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题
考点1 综合法
在锐角三角形中,求证:
[解析]为锐角三角形，，
在上是增函数，
同理可得，

考点2 分析法
已知,求证
[解析]要证，只需证
即，只需证，即证
显然成立，因此成立
【点评】注意分析法的“格式”是“要证---只需证---”，而不是“因为---所以---”
考点3 反证法
已知，证明方程没有负数根
【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾
[解析]假设是的负数根，则且且
，解得，这与矛盾，
故方程没有负数根
【点评】否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较多

三、数学归纳法
一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数N的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:
(1)证明当n=n0时命题成立;
(2)假设当n=k时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.
在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.
考点1 数学归纳法
题型：对数学归纳法的两个步骤的认识
[例1 ] 已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（且为偶数）时命题为真，，则还需证明（ ）
A.n=k+1时命题成立 B. n=k+2时命题成立
C. n=2k+2时命题成立 D. n=2（k+2）时命题成立
[解析] 因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k+2，故选B
【名师指引】用数学归纳法证明时，要注意观察几个方面：（1）n的范围以及递推的起点（2）观察首末两项的次数（或其它），确定n=k时命题的形式（3）从和的差异，寻找由k到k+1递推中，左边要加（乘）上的式子
考点2 数学归纳法的应用
题型1：用数学归纳法证明数学命题
用数学归纳法证明不等式
[解析]（1）当n=1时，左=，右=2，不等式成立
（2）假设当n=k时等式成立，即
则

当n=k+1时， 不等式也成立
综合（1）（2），等式对所有正整数都成立
【点评】（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；
（2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；
（3）由k推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面

推理与证明习题
1、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。
(A)假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度；
(C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。

2、在十进制中，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 （ ）
A.29 B. 254 C. 602 D. 2004
3、利用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1=， (a≠1，n∈N)”时，在验证n=1成立时，左边应该是 （ ）
(A)1 (B)1＋a (C)1＋a＋a2 (D)1＋a＋a2＋a3
4、用数学归纳法证明“”（）时，从 “”时，左边应增添的式子是 （ ）
A． B． C． D．
5、已知n为正偶数，用数学归纳法证明
时，若已假设为偶
数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （ ）
A．时等式成立 B．时等式成立
C．时等式成立 D．时等式成立
6、否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是(　　)
A．有一个解　　　　　　B．有两个解
C．至少有三个解 D．至少有两个解
7、否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为(　　)
A．a、b、c都是奇数 B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数
C．a、b、c都是偶数 D．a、b、c中至少有两个偶数

8、已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.
求证：a>0，b>0，c>0.

9、 已知a，b，c∈(0,1)．求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于.

10、（1）用数学归纳法证明：能被6整除；
（2）求证 n(n∈N*)能被9整除

11、若a,b,c均为实数，且,,,
求证：a，b，c中至少有一个大于0。

12、 用数学归纳法证明： ；

13、用数学归纳法证明下述不等式：