云南省昆明市第一中学2021届高三数学下学期3月第六次复习检测试题-理.doc

云南省昆明市第一中学2021届高三数学下学期3月第六次复习检测试题 理

云南省昆明市第一中学2021届高三数学下学期3月第六次复习检测试题 理

年级：
姓名：

15

云南省昆明市第一中学2021届高三数学下学期3月第六次复习检测试题 理
注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上的指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
5. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，，若，则（ ）
A. -3 B. -2 C. 3 D. -2或3
3. 已知是坐标原点，，有向线段绕点逆时针旋转到的位置，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
4. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（），则是的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道，若令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第二次用“调日法”后可得的近似分数为（ ）
A. B. C. D.
5. 一组数据的平均数为，方差为，将这组数据的每个数都乘以得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ）
A. 这组新数据的平均数为 B. 这组新数据的平均数为
C. 这组新数据的方差为 D. 这组新数据的标准差为
6. 设，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，是两个不重合的平面，，是两条不重合的直线，则下列命题不正确的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则与所成的角和与所成的角相等
8. （ ）
A. B. C. D.
9. 已知，，三点，动点不在轴上，且满足，其中为原点，则直线的斜率取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数，其中，且，若对一切恒成立，则（ ）
A. B. C. 是偶函数 D. 是奇函数
11. 点是双曲线右支上的一点，，分别是双曲线的左、右焦点，点是的内切圆圆心，记，，的面积分别为，，，若恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知是定义在上的奇函数，当时，，若存在实数，使在上的值域为，则的值为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 有五张不同的扑克牌，它们分别为方块2、方块5、.红桃3、红桃4、黑桃3各一张，从中随机选取三张，则这三张牌的数字之和为10的概率是_________（结果用最简分数表示）.
14. 在上函数满足，且，其中，若，则_________.
15. 在中，内角，，对应的边分别是，，，若，则的大小为__________.
16. 如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在的延长线上，在的延长线上，且对角线过点.已知米，米.设且（单位：米），花坛的最大面积为__________平方米.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 某次数学测验后，数学老师统计了本班学生对选做题（第22，23题）的选做情况，得到如下表数据（单位：人）：

第22题（坐标系与参数方程）
第23题（不等式选讲）
合计
男同学

8
30
女同学
8

20
合计

20

（1）请完成题中的列联表，并根据表中的数据判断，是否有超过的把握认为选做“坐标系与参数方程”或“不等式选讲”与性别有关？
（2）经过多次测试后，甲同学发现自己解答一道“坐标系与参数方程”题所用的时间为区间内一个随机值（单位：分钟），解答一道“不等式选讲”题所用的时间为区间内一个随机值（单位：分钟），试求甲同学在考试中选做“坐标系与参数方程”比选做“不等式选讲”所用时间更长的概率.
附：，其中.

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
18. 在三棱锥中，平面，，，点在棱上且是的外心，点是的内心，.

（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
19. 设数列满足，且，.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）设，求数列的前项和.
20. 已知函数（且）.
（1）若，求函数的极值；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
21. 已知，是椭圆：上的两点.
（1）若直线的斜率为1，求的最大值；
（2）线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.
（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）已知点，直线与曲线交于，两点，求的值.
23. [选修4-5：不等式选讲]
已知函数，.
（1）若，且恒成立，求实数的最大值；
（2）若，求的最大值.

昆明一中2021届高三联考第六期理科数学参考答案及解析
一、选择题
1-5：ACBAD 6-10：DACCB 11-12：BD
1. 解析：因为，所以的虚部为，选A.
2. 解析：因为，所以，
若，则，，集合中的元素不满足互异性，舍去；
若，则或-2，因为，所以.选C.
3. 解析：设的坐标为，由有向线段绕点逆时针旋转到，可知且，可得，解得点坐标是，选B.
4. 解析：第一次用“调日法”后得的更为精确的过剩近似值是，即，
第二次用“调日法”后得的更为精确的过剩近似值是，选A.
5. 解析：设原数据为，…，共个，则平均数，方差对于选项A、B：新数据的平均数，故A、B错误；对于选项C：新数据的方差为，故C错误；
对于选项D：新数据的标准差为，故D正确，选D.
6. 解析：由题可知，，，则，又，所以，选D.
7. 解析：选项A：若，，则或，又，并不能得到这一结论，故选项A错误；
选项B：若，，则由线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理可得，故选项B正确；
选项C：若，，则有面面平行的性质定理可知，故选项C正确；
选项D：若，，则由线面角的定义和等角定理知，与所成的角和与所成的角相等，故选项D正确，选A.
8. 解析：因为，选C.
9. 解析：因为，所以；设，则，整理得动点得轨迹为：；设直线的方程为，即，所以圆心到直线的距离为，所以；又因为动点不在轴上，所以直线的斜率取值范围是，选C.
10. 解析：由，知且，利用辅助角公式可得，其中，又，恒成立，知为的最值，∴，整理得：，∴.
对于A，，，又，则，所以当时，；当时，，故A错误；对于B，，故B正确；
对于C，为奇函数，故C错误；对于D，为偶函数，故D错误，选B.
11. 解析：设的内切圆半径为，则，，，
所以，所以，所以，选B.
12. 解析：因为为奇函数，所以，由区间概念可推知，
（1）当时，，从而，即，所以，而在上为减函数，所以，这两个关系等价于“，是方程的两个根，且”，
由方程，得，解得，，
所以，，即；
（2）当，同（1）可解得，，即，选D.
二、填空题
13. 解析：从这五张扑克牌中随机选取三张的基本事件有10个，其中，三张牌的数字之和为10的基本事件有：（方5，方2，红3），（方5，方2，黑3），（红4，红3，黑3）共3个，则这三张牌的数字之和为10的概率，答案为.
14. 解析：因为，所以函数的周期为2；又因为，，，所以，即.
15. 解析：，得：，
因为，所以，
即，因为，所以，因为，所以.
16. 解析：由已知得：，所以，所以，设，，所以，设，则，则，根据对勾函数可得：时，达到最大值，即，此时，，所以，，所以当，时，四边形的面积最大值为27平方米.
三、解答题
（一）必考题
17. 解：（1）列联表如下

坐标系与参数方程
不等式选讲
合计
男同学
22
8
30
女同学
8
12
20
合计
30
20
50
由表中数据得.
查表可知，有超过的把握认为选做“坐标系与参数方程”或“不等式选讲”与性别有关.
（2）设甲同学解答一道“坐标系与参数方程”需要分钟，
解答一道“不等式选讲”需要分钟.
记“甲同学在考试中选做‘坐标系与参数方程’比选做‘不等式选讲’所用时间更长”为事件.
则总的基本事件构成区域为.
而满足事件的基本事件构成区域为.即图中阴影部分：

由几何概型知.
所以甲同学在考试中选做“坐标系与参数方程”比选做“不等式选讲”所用时间更长的概率为.
18. 解：（1）延长交于点.
因为点是直角三角形的外心，所以，
所以点是的中点.
因为，所以是正三角形，
所以点是的中心，所以是的中点，
所以.
因为平面，平面，所以.
因为，所以平面，
而平面，所以平面平面.

（2）由（1）知，即求二面角的余弦值，连接.
如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系.
因为，，，，
所以，.
设平面与平面的法向量分别为与.
因为，所以.
因为平面，所以，所以.
故二面角的余弦值为.

19. 解：（1）因为，所以，
所以数列是首项为3，公比为3的等比数列.
（2）因为是首项为，公比为3的等比数列.
所以，所以，
所以，所以
，
所以.
20. 解：（1）依题意，当时，，定义域为，
，令，得.
当时，，为减函数；
当时，，为增函数，
所以，无极大值.
（2）若存在，使得成立，
即函数在上的最小值小于0.
，且.
令，得，
当，即时，恒成立，
函数在单调递减，，
由，得，即；
当，即时，恒成立，
函数在上单调递减，，不合题意；
当，即时，
在上，，为减函数；
在上，，为增函数，
所以.
由，得，
解得，即.
综上，所以实数的取值范围是.
21. 解：（1）设直线的方程为，，，
联立方程，得，
所以，，，
所以，
当（满足）时，取得最大值.
（2）设，，的中点，
第一种情况，若直线平行于轴，则线段的垂直平分线为轴，即，
第二种情况，若直线不平行于轴，
又因为线段的垂直平分线与轴相交，所以直线不平行于轴，即，
由，两式相减整理得 ①，
因为是的中点，所以，，
因为，所以，
所以①变形为，化简得，其中或，
所以或，
综上两种情况，的取值范围.
（二）选考题：第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 解：（1）曲线的直角坐标方程为，
直线的普通方程为.
（2）直线的参数方程可化为（为参数），
代入曲线得：，
设，两点所对应参数分别为，，
则，，
.
23. 解：（1），
当且仅当时，等号成立，
所以，只需，
所以实数的最大值为2.
（2）解法一：由柯西不等式，
，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为2.
解法二：由均值不等式，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
因为，所以，
所以的最大值为2.