黑龙江省大庆市铁人中学2020届高三数学考前模拟训练试题文.doc

黑龙江省大庆市铁人中学2020届高三数学考前模拟训练试题文

黑龙江省大庆市铁人中学2020届高三数学考前模拟训练试题文

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黑龙江省大庆市铁人中学2020届高三数学考前模拟训练试题（二）文（含解析）
一、选择题
1. 若全集则集合等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据补集、并集的定义计算即可；
【详解】解：因为
所以，
所以
故选：D
【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.
2. 已知单位向量、满足，则（ ）
A. 0 B. C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
本题首先可以通过题意得出以及，然后通过即可得出结果.
【详解】因为单位向量、满足，
所以，，
所以，
故选：C
【点睛】本题考查单位向量以及向量垂直的相关性质，若向量，则，考查计算能力，体现了基础性，是简单题.
3. 欧拉公式，把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数和联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z满足则 | z | =（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
由新定义将化为复数的代数形式，然后由复数的除法运算求出后再求模．
【详解】由欧拉公式有：.
由，即
所以，即
所以
故选：A
【点睛】本题考查复数的新定义，考查复数的除法运算和求复数的模，解题关键是由新定义化为代数形式，然后求解．属于中档题.
4. 某中学从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的平均数是86，则的值为（ ）

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】
对甲组数据进行分析，得出x的值，利用平均数求出y的值，解答即可．
【详解】由茎叶图可知，茎为8时，甲班学生成绩对应数据只能是83，80+x，85，因为甲班学生成绩众数是83，所以83出现的次数最多，可知x＝3．
由茎叶图可知乙班学生的总分为76+81+82+80+y+91+91+96＝597+y，
又乙班学生的平均分是86，
总分等于86×7＝602．所以597+y＝602，解得y＝5，
可得x+y＝8．
故选B．
【点睛】本题主要考查统计中的众数与平均数的概念．解题时分别对甲组数据和乙组数据进行分析，分别得出x，y的值，进而得到x+y的值．
5. 等比数列{an}中，a5、a7是函数f（x）＝x2﹣4x+3的两个零点，则a3•a9等于（ ）
A. ﹣3 B. 3 C. ﹣4 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据根与系数关系关系列方程，结合等比数列的性质求得的值.
【详解】∵a5、a7是函数f（x）＝x2﹣4x+3的两个零点，∴a5、a7是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，
∴a5•a7＝3，由等比数列的性质可得：a3•a9＝a5•a7＝3．
故选：B
【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查根与系数关系，属于基础题.
6. 从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.
详解：设2名男同学为，3名女同学为，
从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能，
选中的2人都是女同学的情况共有共三种可能
则选中的2人都是女同学的概率为，
故选D.
点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.
7. 我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径。“开立圆术”相当给出了一个已知球的体积V，求这个球的直径d的近似公式，即.随着人们对圆周率π值的认知越来越精确，还总结出了其他类似的近似公式.若取，试判断下列近似公式中最精确的一个是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用球体的体积公式得，得出的表达式，再将的近似值代入可得出的最精确的表达式.
【详解】由球体的体积公式得，，，
，，，与最为接近.
故选：D
【点睛】本题考查球体的体积公式，解题的关键在于理解题中定义，考查学生分析问题和理解问题的能力.
8. 已知是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
【答案】C
【解析】
【分析】
在A中，a与b可以成任意角；在B中a与b是平行的；在C中，可得，从而得到；在D中，可得a与b可以成任意角，从而得到正确结果.
【详解】由a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，
在A中，，，，因为的方向不确定，则a与b可以成任意角，故A错误；
在B中，，，，根据对应的性质可知，可知a与b是平行的，故B错误；
在C中，由，，，可知，由线面垂直的性质可知，故C正确；
在D中，，，，可得a与b可以成任意角，故D错误．
故选：C.
【点睛】该题考查线线垂直的充分条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，在解题的过程中，注意结合图形去判断，属于中档题目．
9. 若直线被圆截得弦长为4，则的最小值是（ ）
A. 9 B. 4 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
圆方程配方后求出圆心坐标和半径，知圆心在已知直线上，代入圆心坐标得满足的关系，用“1”的代换结合基本不等式求得的最小值．
【详解】圆标准方程为，圆心为，半径为，
直线被圆截得弦长为4，则圆心在直线上，∴，，
又，
∴，当且仅当，即时等号成立．
∴的最小值是9．
故选A．
【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题时需根据直线与圆的位置关系求得的关系，然后用“1”的代换法把凑配出可用基本不等式的形式，从而可求得最值．
10. 已知函数，是函数的导函数，则的图象大致是（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求得导函数解析式，根据导函数的奇偶性可排除，再根据，可排除，从而得到结果.
【详解】由题意得：
为奇函数，图象关于原点对称
可排除
又当时，，可排除
本题正确选项：
【点睛】此题考查函数图象的识别，考查对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，关键是能够利用奇偶性和特殊位置的符号来排除错误选项，属于中档题．
11. 双曲线的左、右焦点分别为、在双曲线C上，且是等腰三角形，其周长为22，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意画出图形，分类由三角形周长列式求得，进一步求得，则双曲线的离心率可求．
【详解】如图，由，得，．

设，，
由题意，，
若，
，
则，解得；
若，
．
则，解得．
，．
．
【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，考查了运算求解能力和推理论证能力，属于中档题．
12. 众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因此被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”的一个示意图，整个图形是一个圆面，其中黑色区域在轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：

①在太极图中随机取一点，此点取自黑色部分的概率是；
②当时，直线与白色部分有公共点；
③黑色阴影部分中一点，则的最大值为2；
④设点，点在此太极图上，使得，的范围是．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①④
【答案】D
【解析】
【分析】
根据几何概型概率计算，判断①的正确性；
根据直线和圆的位置关系，判断②的正确性；
根据线性规划的知识求得的最大值，由此判断③的正确性；
将转化为过的两条切线所成的角大于等于，由此求得的取值范围，进而求得的取值范围，从而判断出④的正确性.
【详解】对于①，将y轴右侧黑色阴影部分补到左侧，即可知黑色阴影区域占圆的面积的一半，
根据几何概型的计算公式，所以在太极图中随机取一点，
此点取自黑色阴影部分的概率是，①正确；
对于②，当时，直线,
过点，所以直线与白色部分在第I和第IV象限部分没有
公共点.圆的圆心为，半径为，圆心到直线
，即直线的距离为，
所以直线与白色部分在第III象限的部分没有公共点.
综上所述，直线y＝ax+2a与白色部分没有公共点，②错误；
对于③，设l：z＝x+y，由线性规划知识可知，当直线l与圆x2+（y﹣1）2＝1相切时，
z最大，由解得z（舍去），③错误；
对于④，要使得∠OPQ＝45°，即需要过点P的两条切线所成角大于等于，
所以，即OP≤2，于是22+b2≤8，解得，④正确．
故选：D
【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查几何概型概率计算，属于中档题.
二、填空题
13. 求值：_________．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据对数运算,化简即可得解.
【详解】由对数运算,化简可得

故答案为:1
【点睛】本题考查了对数的基本运算,属于基础题.
14. 在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为______
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用异面直线所成的角的求法及解三角形的知识即可求出结果．
【详解】如图所示：

在正方体体中，连接，
所以异面直线与所成角，即为直线和所成的角或其补角．
设正方体的棱长为，由于平面，
所以为直角三角形．
所以，
所以．
故答案为
【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求法，涉及转化思想及运算求解能力，属于基础题型．
15. 已知数列的各项均为正数，其前项和满足，设，为数列的前项和，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
令求出的值，令，由得，两式作差可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式，然后计算出，利用等差数列求和公式可求得的值.
【详解】由于正项数列的前项和为，且.
当时，，得，，解得；
当时，由得，
两式作差得，可得，
，
对任意的，，则，，
所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，.
，
，
所以，可视为数列的前项和，因此，.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用与之间的关系求通项，同时也考查了并项求和法，考查计算能力，属于中等题.
16. 下列说法正确的是：
①在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差；
②回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；
③在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.1个单位
④若，，则；
⑤已知正方体，为底面内一动点，到平面的距离与到直线的距离相等，则点的轨迹是抛物线的一部分．
正确的序号是：______．
【答案】②③④⑤
【解析】
【分析】
根据回归分析概念及回归系数的含义，可判定①不正确；②是正确的；③是正确的；由三角恒等变换的公式，可判定④是正确的；根据正方体结构特征和抛物线的定义以⑤是正确的.
【详解】对于①中，在做回归分析时，由残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，所以①不正确；
对于②中，回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好是正确的，所以②是正确的；
对于③中，在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.1个单位，所以③是正确的.
对于④中，若，，
可得，，
解得，所以，所以④是正确的；
⑤在正方体，则是点到直线的距离，过作垂直于直线，则到平面的距离为，
因为到平面的距离到直线的距离，所以，
根据抛物线的定义，可得点的轨迹是抛物线的一部分，所以⑤是正确的.

故答案为：②③④⑤.
【点睛】本题主要考查了命题的真假判定，其中解答中涉及到回归直线分析，以及三角函数的恒等变换，以及抛物线的定义等知识点的综合应用，涉及到的知识点较多，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
三、解答题
17. 如图，在四边形ABCD中，，_________，DC=2，在下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答.(选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记分)①；②；③.

（1）求的大小；
（2）求△ADC面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）若选①，利用正弦定理得出，再结合，即可得出；
若选②，由，得出，再结合，即可得出；
若选③，利用正弦定理的边化角公式化简得出得出，再结合，即可得出；
（2）由余弦定理结合基本不等式得出，最后由三角形的面积公式得出△ADC面积的最大值.
【详解】（1）解：若选①在，由正弦定理可得：
又，可得：
又，，
（2）在中，，由余弦定理可得：

即

当且仅当时取“=”
若选择②
（1）由可得：
又，
（2）在中，，由余弦定理可得：

即

当且仅当时取“=”.
若选③（1），由正弦定理得：

即

又，所以；
（2）中，，由余弦定理可得：

即

当且仅当时取“=”
【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，涉及了基本不等式的应用，属于中档题.
18. 如图，三棱锥中，底面△是边长为2的正三角形，，底面，点分别为，的中点.

（1）求证：平面平面；
（2）在线段上是否存在点，使得三棱锥体积为？若存在，确定点位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析.（2）存在，为中点.
【解析】
【分析】
（1）由底面推出，结合可推出平面，线面垂直推出面面垂直；（2）过G作，由面面垂直的性质证明平面ABC，再利用等体积法由即可求得，根据线面垂直的性质及中位线的性质即可求得点G的位置.
【详解】（1）因为底面，底面，所以，
因为△是等边三角形且E为AC的中点，所以，
又，平面PAC，平面PAC，
所以平面，
因为平面，所以平面平面；
（2）过G作,

平面ABC，平面PAB，平面PAB平面ABC
又平面PAB平面ABC=AB，平面ABC,
，，
，，
平面ABC，平面ABC，,
，为PB中点.
【点睛】本题考查面面垂直的判定及性质、线面垂直的性质、等体积法求点到平面的距离，属于中档题.
19. 某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表
周跑量（km/周）

人数
100
120
130
180
220
150
60
30
10

（1）在答题卡上补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图:

注:请先用铅笔画，确定后再用黑色水笔描黑
（2）根据以上图表数据计算得样本的平均数为，试求样本的中位数（保留一位小数），并用平均数、中位数等数字特征估计该市跑步爱好者周跑量的分布特点
（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如下表:
周跑量
小于20公里
20公里到40公里
不小于40公里
类别
休闲跑者
核心跑者
精英跑者
装备价格（单位：元）
2500
4000
4500

根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元?
【答案】(1)见解析；(2) 中位数为29.2，分布特点见解析； (3)3720元
【解析】
【分析】
（1）根据频数和频率之间的关系计算，即可得到答案；
（2）根据频率分布直方图利用中位数两边频率相等，列方程求出中位数的值，进而得出结论；
（3）根据频率分布直方图求出休闲跑者，核心跑者，精英跑者分别人数，进而求出平均值．
【详解】（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图，如下：

（2）中位数的估计值：
由，
所以中位数位于区间中，
设中位数为，则，
解得，因为，
所以估计该市跑步爱好者多数人的周跑量多于样本的平均数．
（3）依题意可知，休闲跑者共有人，
核心跑者人，
精英跑者人，
所以该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要元．
【点睛】本题主要考查了平均数、中位数的求法，以及频率分布直方图的性质等相应知识的综合应用，着重考查了化简能力，推理计算能力，以及数形结合思想的应用，属于基础题．
20. 已知函数，其中，为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，，求实数的取值范围．
【答案】（1）单调递增区间：，单调递减区间：，；（2）．
【解析】
试题分析：（Ⅰ），令，当，，单增，，，单减； （Ⅱ）令，即恒成立，而，利用导数的性质和零点存在定理，即可求出结果．
试题解析：（Ⅰ），
令，
当，，单增，
，，单减；
（Ⅱ）令，
即恒成立，而，
令，
∵，在上单调递增，，
当时，，在上单调递增，，符合题意；
当时，在上单调递减，，与题意不合；
当时，为一个单调递增的函数，而，，
由零点存在性定理，必存在一个零点，使得，
当时，，从而在上单调递减，
从而，与题意不合，综上所述：的取值范围为．
考点：1．导数在函数单调性中的应用；2．函数的零点存在定理．
21. 已知抛物线，过点的直线交于，两点，圆是以线段为直径的圆．
（1）证明：坐标原点在圆上；
（2）设圆过点，求直线与圆的方程．
【答案】（1）证明见解析；（2）当时，直线的方程为，圆的方程为．当时，直线的方程为，圆的方程为．
【解析】
【分析】
（1）设，，，与抛物线方程联立可得，，可证的斜率与的斜率之积为，即可得证明结论.
（2）因为圆的直径为，且过点，由圆的性质得出⃑，结合（1）中的韦达定理，代数化简求得的值，因此得出直线的方程和圆的方程.
【详解】解：（1）证明：设，，，
由，可得，则．
又，，故．
因此的斜率与的斜率之积为，
所以，故坐标原点在圆上．
（2）由（1）可得，
，
故圆心的坐标为，圆的半径．
由于圆过点，因此，
故，
即，
由（1）可知，，
所以，解得，或．
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，
圆的半径为，圆的方程为．
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，
圆的半径为，圆的方程为．
【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，联立方程并写出韦达定理，求圆的方程，还结合运用圆的性质和向量垂直，以及直线方程和圆的标准方程，属于中档题.
22.
在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3与C的交点，求M的极径.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）消去参数得的普通方程；消去参数m得l2的普通方程.
设,由题设得，消去k得.
所以C的普通方程为.
（2）C极坐标方程为.
联立得.
故，
从而.
代入得，
所以交点M的极径为.
【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.
23. 选修4-5不等式选讲
设均为正数，且，证明：
（Ⅰ）若，则；
（Ⅱ）是的充要条件．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．
【解析】
（Ⅰ）因为，，由题设，，得．因此．
（Ⅱ）（ⅰ）若，则．即．因为，所以，由（Ⅰ）得．
（ⅱ）若，则，即．因为，所以，于是．因此，综上，是的充要条件．
考点：推理证明．