江西省新余市第一中学2019-2020学年高二数学下学期第一次段考试题-理.doc

江西省新余市第一中学2019-2020学年高二数学下学期第一次段考试题 理

江西省新余市第一中学2019-2020学年高二数学下学期第一次段考试题 理

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江西省新余市第一中学2019-2020学年高二数学下学期第一次段考试题 理（含解析）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）
1.已知复数满足（为虚数单位），则共轭复数等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意得
考点：复数运算
2.已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先利用坐标法，排除错误选项，然后对符合的选项验证存在使得，由此得出正确选项.
【详解】不妨设.
对于A选项，，由于的竖坐标，故不在平面上，故A选项错误.
对于B选项，，由于的竖坐标，故不在平面上，故B选项错误.
对于C选项，，由于的竖坐标，故不在平面上，故C选项错误.
对于D选项，，由于的竖坐标为，故在平面上，也即四点共面.下面证明结论一定成立：
由，得，
即，故存在，使得成立，也即四点共面.
故选：D.

【点睛】本小题主要考查空间四点共面的证明方法，考查空间向量的线性运算，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
3.设，，则三个数（ ）
A. 都小于4 B. 至少有一个不大于4
C. 都大于4 D. 至少有一个不小于4
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意知利用反证法推出矛盾，即可得正确答案．
【详解】假设三个数且且，相加得：
，由基本不等式得：
；；；
相加得：，与假设矛盾；
所以假设不成立，
三个数、、至少有一个不小于4．
故选．
【点睛】本题考查反证法和基本不等式的应用，属于简单题．
4.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴的取值范围是．故选D．
考点：利用导数研究函数的单调性.

5.已知点和，动点满足，则的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设，由两点的距离公式可得，再化简可得解.
【详解】解：设，
因为，所以，
即 ，两边平方整理得：，，
两边平方整理得：，即 ，
故选:B.
【点睛】本题考查了两点的距离公式，主要考查了轨迹方程的求法，重点考查了运算能力.
6.过抛物线的焦点作两条垂直的弦,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：由抛物线，可知，设的倾斜角为，则的倾斜角为，过焦点的弦，所以，故选D.
考点：抛物线的标准方程及其简单的几何性质.
7.已知椭圆：的右焦点为，短轴的一个端点为，直线：交椭圆于，两点，若，点与直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】分析：设为椭圆的左焦点，连接，由椭圆的对称性，结合椭圆的定义可得，利用点与直线的距离不小于列不等式求解即可.
详解：

可设为椭圆的左焦点，连接，
根据椭圆的对称性可得四边形是平行四边形，
，
，取，
点到直线的距离不小于，
所以，，
解得，
椭圆的离心率的取值范围是，故选B.
点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.
8.已知，，对任意，不等式恒成立，则m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
对任意，不等式恒成立，即，参变分离，得，令，求函数在给定的区间上的最大值，解得．
【详解】解：由题意，对任意，不等式恒成立，即，参变分离，得，
令，
则
令
解得
可知在上递增，上递减，所以
，
故选B．
【点睛】本题考查不等式恒成立问题，利用导数求函数的最值，属于基础题．
9.设点是曲线上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用导数几何意义可知，由正切函数图象与性质可确定倾斜角范围.
【详解】，，
，.
故选：.
【点睛】本题考查利用导数几何意义求解切线倾斜角所处范围的问题，关键是能够通过导函数的值域确定切线斜率的取值范围，进而利用正切函数性质求得结果.
10.已知是双曲线上的三个点，经过原点，经过右焦点，若且，则该双曲线的离心率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，连接，构造矩形；根据双曲线定义表示出各个边长，由直角三角形勾股定理求得 的关系，进而求出离心率．
【详解】
设左焦点为， ，连接
则 ， ， ，
因为，且经过原点
所以四边形 为矩形
在Rt△中， ，代入

化简得
所以在Rt△中，，代入

化简得 ，即
所以选B
【点睛】本题考查了双曲线的综合应用，根据条件理清各边的相互关系，属于中档题．
11.下列命题中正确命题的个数是（ ）
（1）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数的充要条件为对任意的，都成立；
（2）若函数的定义域关于原点对称，则“”是“为奇函数”的必要条件；
（3）函数对任意的实数都有，则在实数集上是增函数；
（4）已知函数在其定义域内有两个不同极值点，则实数的取值范围是.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据偶函数定义知（1）正确；若定义域不包含，可知必要性不成立，（2）错误；通过反例知（3）错误；将问题转化为与函数在上有两个交点，利用数形结合的方式可知（4）正确.
【详解】对于（1），根据偶函数的定义可得：若函数为偶函数，则对应定义域内的任意，都有；反之也成立；故（1）正确；
对于（2），函数的定义域不包含时，由“为奇函数”不能推出“”，故（2）错误；
对于（3），对于函数，对于任意的实数都有，但不满足在实数集上是增函数，故（3）错误；
对于（4），函数的定义域为，且，
令得：，即，构造函数，
则直线与函数在上有两个交点.
，令，得，列表如下：

0

极大值

函数的单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为，又时，，
可得图象如下图所示：

当时，直线与函数在上有两个交点，
实数的取值范围是，故（4）正确.
故选：.
【点睛】本题考查与函数性质有关的命题的辨析，涉及到函数奇偶性的应用、函数单调性的判断、根据极值点个数求解参数范围的问题；属于函数与导数部分知识的综合应用.
12.已知函数过点作曲线的两条切线，，切点分别为，，设，若对任意的正整数，在区间内，总存在个数，，…，，使得不等式，则的最大值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义可求得切线方程，得到是方程的两根，得到韦达定理的形式，代入两点间距离公式可求得；将所给不等式转化为，分离变量得到，根据可求得，由此确定正整数的最大值.
【详解】设两点的横坐标分别为，
，，
切线的方程为：，
又切线过点，，整理得：；
同理可得：，则是方程的两根，
，，
，
，则在上单调递增，
，，
由知：，
，
（当且仅当，即时取等号），
，，
为正整数，，
当时，存在，对所有的满足条件，
最大值为.
故选：.
【点睛】本题考查能成为问题的求解，涉及到导数几何意义的应用；解题关键是能够将能成立的不等式转化为函数最大值和最小值之间的关系，进而通过分离变量将问题转化为所求参数与函数最值之间的关系.
二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.
13.设，则函数最小值是_____.
【答案】2
【解析】
【分析】
利用绝对值三角不等式可直接求得结果.
【详解】（当且仅当时取等号），
的最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用绝对值三角不等式求解函数的最值的问题，属于基础题.
14.若中心在原点，焦点在轴上的双曲线离心率为，则此双曲线的渐近线方程为___.
【答案】
【解析】
【分析】
利用可求得，进而得到渐近线方程.
【详解】设双曲线方程为，则其渐近线方程为，
，，解得，，
双曲线渐近线方程为.
故答案为：.
【点睛】本题考查根据双曲线离心率求解渐近线方程的问题，属于基础题.
15.点，抛物线的焦点为，若对于抛物线上的任意点，的最小值为41，则的值等于______.
【答案】42或22
【解析】
【分析】
当点在抛物线的内部时，得到当三点共线时，此时的距离最小，即可求解；当点在抛物线的外部时，当三点共线时，的距离最小，即可求解.
【详解】由题意，（1）当点在抛物线的内部或曲线上时，则满足，解得，
过点点作抛物线的准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可得，
所以,
当三点共线时，此时的距离最小，且最小值为，
可得，解得；
（2）当点在抛物线的外部时，则满足，解得，
如图所示，
当三点共线时，的距离最小，且最小值为，
即，解得或（舍去），
综上所述，实数的值等于42或22.
故答案为42或22.
【点睛】
本题主要考查了抛物线的标准方程，以及抛物线的定义的应用，着重考查了分类讨论思想，以及数形结合思想，属于基础题.
16.已知是定义在上的奇函数，记的导函数为，当时，满足，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
构造函数，可通过导数得到，从而可得到，结合奇偶性可知在上单调递增，从而将不等式化为，将问题转化为有解的问题，利用导数求得的最小值，从而求得结果.
【详解】令，则，上单调递增，
，
是定义在上的奇函数，，，即，
当时，，在上恒成立，
在上单调递增，又为上的奇函数，
在上单调递增，
若，则，
原问题等价于有解，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，，
，即的最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的能成立问题，涉及到构造函数求解函数的单调性、函数奇偶性的应用等知识；解决能成立问题的关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系的比较问题.
三、解答题（共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）
17.设命题实数满足，命题实数满足.
（1）若，且为真，求实数的取值范围；
（2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）解出命题、中的不等式，由为真，得出真或真，然后将两个不等式的解集取并集可得出结果；
（2）解出命题、中对应不等式的解集，由两个条件之间的充分不必要条件关系，可得出两个解集之间的包含关系，然后列关于的不等式，解出即可.
【详解】（1）当时，，即.
由，得.
若为真，即真或真，.
因此，实数的取值范围；
（2）若，，即.
，或，
且是的充分不必要条件，则或，即或.
因此，实数的取值范围.
【点睛】本题考查由复合命题的真假求参数的取值范围，以及由命题的充分必要性求参数的取值范围，一般转化为集合的包含关系，利用集合包含关系列不等式（组）求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
18.如图所示，四棱锥中，底面，，为中点.
（1）试在上确定一点，使得平面；
（2）点在满足（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1). (2).
【解析】
【试题分析】（1）先确定点的位置为等分点，再运用线面平行的判定定理进行证明平面；（2）借助（1）的结论，及线面角的定义构造三角形找出直线与平面所成角，再通过解直角三角形求出其正弦值：
解：(1)证明: 平面PAD.过M作交PA于E,连接DE. 因为,所以，又，故,且，即为平行四边形,则 ,又平面PAD, 平面PAD, 平面；
(2)解:因为，所以直线MN与平面PAB所成角等于直线DE与平面PAB所成角
底面ABCD,所以 ，又因为，所以底面PAB , 即为直线DE与平面PAB所成角.因为，所以，所以直线MN与平面PAB所成角的正弦值为．
19.已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于、两点（不同于点），直线、分别交直线于点、.
（1）求抛物线方程及其焦点坐标；
（2）求证：以为直径的圆恰好经过原点.
【答案】（1）抛物线方程为，焦点坐标为；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可得出抛物线的方程，并求出抛物线的焦点坐标；
（2）设，，、，设直线的方程为，其中，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用向量共线求出点、的坐标，然后将韦达定理代入，利用向量数量积的坐标运算计算出，即可证明出结论成立.
【详解】（1）将代入，得，因此，抛物线方程为，焦点坐标为；
（2）设，，、
因为直线不经过点，所以直线一定有斜率，设直线方程为，
与抛物线方程联立得到，消去，得，
则由韦达定理得，.
，，
，，即，
显然，，，，
则点，同理可求得点的坐标为，
所以，，
，因此，以为直径的圆过原点.
【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了直线与抛物线位置关系的综合问题，考查圆过定点问题的证明，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法求解，考查运算求解能力，属于中等题.
20.已知(e为目然对数的底数).
(1)设函数，求函数的最小值；
(2)若函数在上为增函数，求实数的取值范围.
【答案】(1) ；(2).
【解析】
【分析】
（1）表示出g（x），利用导数可求得其最小值；
（2）原问题等价于a≥lnx﹣ex+1在[1，+∞）上恒成立，令h（x）＝lnx﹣ex+1（x≥1），求导后可得函数h（x）在[1，+∞）上单调递减，由a≥h（x）max，进而求得答案．
【详解】（1），函数g（x）的定义域为（0，+∞），，
令g′（x）＞0，解得x＞1，故函数g（x）在（1，+∞）单调递增，令g′（x）＜0，解得0＜x＜1，故函数g（x）在（0，1）单调递减，
∴g（x）min＝g（1）＝e﹣1+a；
（2）由题意，f′（x）＝ex﹣lnx+a﹣1≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥lnx﹣ex+1在[1，+∞）上恒成立，
令h（x）＝lnx﹣ex+1（x≥1），则，显然h′（x）为[1，+∞）的减函数，
∴h′（x）≤h′（1）＝1﹣e＜0，
∴函数h（x）在[1，+∞）上单调递减，
∴h（x）max＝h（1）＝1﹣e，则a≥1﹣e，即实数a的取值范围为[1﹣e，+∞）．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值及单调性，考查不等式的恒成立问题及转化思想，是常规题目．
21.已知椭圆的两个焦点，，且椭圆过点，，且是椭圆上位于第一象限的点，且的面积.

（1）求点的坐标；
（2）过点的直线与椭圆相交于点，，直线，与轴相交于，两点，点，则是否为定值，如果是定值，求出这个定值，如果不是请说明理由.
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】
试题分析：（1）通过已知条件首先求得椭圆的标准方程，再结合三角形的面积计算公式，即可求得的坐标；（2）将直线的方程设出，联立直线方程与椭圆方程，通过计算说明是否为定值即可.
试题解析：（1）∵椭圆过点，，
∴，计算得，，∴椭圆的方程为.
∵的面积，∴，∴，代入椭圆方程.
∵，∴，∴；（2）法一：设直线的方程为，，，
直线的方程为，可得，即，
直线的方程为，可得，即.
联立，消去，整理，得.
由，可得，，，

∴为定值，且.
法二：设，，，，直线，，的斜率分别为，，，由，得，，可得，，，

，
由，令，得，即，
同理得，即，则

∴为定值，该定值为.
考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.椭圆中的定值问题．
【名师点睛】求解定值问题的方法一般有两种：1.从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；2.直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.
22.某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于万件时，（万元）；当年产量不小于7万件时，（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.
（1）写出年利润（万年）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）
（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？
（取）.
【答案】（1） （2）当年产量约为万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为万元
【解析】
【分析】
（1）根据年利润=年销售收入-固定成本-流动成本，分和两种情况，得到与x的关系式即可；（2）求出两种情况的最大值，作比较即可得到本题答案.
【详解】（1）产品售价为元，则万件产品销售收入为万元.
依题意得，当时，，
当时，，
；
（2）当时，，
当时，的最大值为（万元），
当时，，
当时，单调递增，当单调递减，
当时，取最大值（万元），
当时，取得最大值万元，
即当年产量约为万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为万元.
【点睛】本题主要考查利用分段函数解决实际问题，其中涉及到二次函数的值域问题以及用导数求最值问题.