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2021-2022学年高中数学 4 指数函数与对数函数章末综合测评新人教A版必修第一册

2021-2022学年高中数学 4 指数函数与对数函数章末综合测评新人教A版必修第一册

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章末综合测评(四)　指数函数与对数函数
(满分：150分　时间：120分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若a<，则化简的结果是(　　)
A．　 B．－
C． D．－
C　[∵a<，∴2a－1<0.
于是，原式＝＝.]
2．函数y＝·ln(2－x)的定义域为(　　)
A．(1,2) B．[1,2)　　
C．(1,2] D．[1,2]
B　[要使解析式有意义，则解得1≤x<2，所以所求函数的定义域为[1,2)．]
3．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是(　　)
A．y＝x B．y＝x4
C．y＝x－2 D．y＝x
B　[对A，y＝x的定义域为[0，＋∞)，不是偶函数；C中，y＝x－2不过(0,0)点，D中，y＝x是奇函数，B中，y＝x4满足条件．]
4．函数f(x)＝x－x的零点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
B　[令f(x)＝0，可得x＝x，在同一平面直角坐标系中分别画出幂函数y＝x和指数函数y＝x的图象，如图所示，可得交点只有一个，所以函数f(x)的零点只有一个．
]
5．若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值是(　　)
A．15 B．75
C．45 D．225
C　[由loga3＝m，得am＝3，由loga5＝n，得an＝5，
∴a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45.]
6．已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝log30.3，则(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>a>b
C　[c＝5log3，只需比较log23.4，log43.6，log3的大小，又0<log43.6<1，log23.4>log33.4>log3>1，所以a>c>b.]
7．函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是(　　)
A．f(－4)＝f(1) B．f(－4)>f(1)
C．f(－4)<f(1) D．不能确定
B　[因为函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a>1，又函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的图象关于直线x＝－1对称，所以f(－4)>f(1)．]
8．已知函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2都有<0成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，2) B．
C．(－∞，2] D．
B　[由题意知函数f(x)是R上的减函数，于是有由此解得a≤，即实数a的取值范围是，选B.]
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．关于函数f(x)＝说法正确的是(　　)
A．定义域关于原点对称 B．图象关于直线y＝x对称
C．图象关于x轴对称 D．图象关于y轴对称
AD　[易知f(x)的定义域为R，关于原点对称．
∵f(－x)＝＝＝f(x)，∴f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称．]
10．已知a>0，且a≠1，下列函数中一定经过点(2,1)的是(　　)
A．y＝loga(x－1) B．y＝ax－2
C．y＝(x－1)a D．y＝ax2－5ax＋6a＋1
BCD　[因为x＝2时，y＝loga(2－1)＝0，
y＝a2－2＝1，y＝(2－1)a＝1，
y＝4a－10a＋6a＋1＝1，故选BCD.]
11．若f(x)＝lg(|x－2|＋1)，则下列命题正确的是(　　)
A．f(x＋2)是偶函数
B．f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数
C．f(x)没有最大值
D．f(x)没有最小值
ABC　[f(x)＝lg(|x－2|＋1)，所以f(x＋2)＝lg(|x|＋1)为偶函数，故A正确．同时画出函数的图象，如图所示：所以函数在(－∞，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，且存在最小值，没有最大值，故ABC正确．故选ABC.]
12．已知正实数x，y满足log2x＋y<x－y，则下列结论正确的是(　　)
A．< B．x3<y3
C．ln(y－x＋1)>0 D．2x－y<
BC　[∵正实数x，y满足log2x＋y<x－y，
∴log2 x－x<log2y－y.
易知f(x)＝log2x－x为单调递增函数，故x<y，
∴>，x3<y3，故A不正确、B正确；
∴y－x>0，y－x＋1>1，ln(y－x＋1)>0，故C正确；2x－y<20＝1，故D不一定正确，故选BC.]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
13．若f(x)＝为R上的奇函数，则实数a的值为________．
　[因为f(x)＝为R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，所以a＝.]
14．已知125x＝12.5y＝1 000，则＝________.
　[因为125x＝12.5y＝1 000，所以x＝log125 1 000，y＝log12.5 1 000，＝－＝log1 000 125－log1 000 12.5＝log1 000＝log1 000 10＝.]
15．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙．研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋log2(其中a是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，其耗氧量至少需要__________个单位．
80　[由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为20个单位，故有a＋log2＝0，即a＝－1.∴v＝－1＋log2，
要使飞行速度不低于2 m/s，则有v≥2，即－1＋log2≥2，也就是log2≥3，解得Q≥80，即飞行的速度不低于2 m/s，则其耗氧量至少要80个单位．
16．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(8，m)和(9,3)．
(1)实数m的值为________；
(2)若函数g(x)＝af(x)(a>0，a≠1)在区间[16,36]上的最大值等于最小值的两倍，则实数a的值为________．(本题第一空2分，第二空3分)
(1)2　(2)或　[(1)设f(x)＝xα，依题意可得9α＝3，
∴α＝，f(x)＝x，
∴m＝f(8)＝8＝2.
(2)g(x)＝a，∵x∈[16,36]，
∴∈[4,6]，
当0<a<1时，g(x)max＝a4，g(x)min＝a6，
由题意得a4＝2a6，解得a＝；
当a>1时，g(x)max＝a6，g(x)min＝a4，
由题意得a6＝2a4，解得a＝.
综上，所求实数a的值为或.]
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)求值：

＝－1－－2＋2＝－1－＋＝.
(2)log25·log45－3－log24＋5log52＝－＋1－2＋2＝.
18．(本小题满分12分)已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)过点(－2,9)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(2m－1)－f(m＋3)<0，求实数m的取值范围．
[解]　(1)将点(－2,9)代入f(x)＝ax(a>0，a≠1)得a－2＝9，解得a＝，∴f(x)＝x.
(2)∵f(2m－1)－f(m＋3)<0，
∴f(2m－1)<f(m＋3)．
∵f(x)＝x为减函数，
∴2m－1>m＋3，解得m>4，
∴实数m的取值范围为(4，＋∞)．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝.
(1)判断函数f(x)在区间[0，＋∞)上的单调性，并用定义证明；
(2)函数g(x)＝f(x)＋log2x－2在区间(1,2)内是否有零点？若有零点，用“二分法”求零点的近似值(精确度0.3)；若没有零点，说明理由．
(参考数据：≈1.118，≈1.225，≈1.323，lg21.25≈0.32，log21.5≈0.585，log21.75≈0.807)．
[解]　(1)函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，
理由如下：令0≤x1<x2，
由于f(x1)－f(x2)＝－＝<0，
即f(x1)<f(x2)，
故函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数．
(2)g(x)＝＋log2x－2是增函数，
∵g(1)＝1＋log21－2＝－1<0，
g(2)＝＋log22－2＝－1>0，
∴函数g(x)在区间(1,2)内有且只有一个零点，
∵g(1.5)＝＋log21.5－2≈1.225＋0.585－2＝－0.19<0，g(1.75)＝＋log21.75－2≈1.323＋0.807－2＝0.13>0，
∴函数的零点在(1.5,1.75)，
∵1.75－1.5＝0.25<0.3，
∴g(x)零点的近似值为1.5.
(函数g(x)的零点近似值取区间[1.5,1.75]中的任意一个数都可以)
20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝log2(ax－bx)，且f(1)＝1，f(2)＝log212.
(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)的零点；
(3)设g(x)＝ax－bx，求g(x)在[0,4]上的值域．
[解]　(1)由已知得得解得a＝4，b＝2.
(2)由(1)知f(x)＝log2(4x－2x)，
令f(x)＝0得4x－2x＝1，
即(2x)2－2x－1＝0，解得2x＝，
又2x>0，∴2x＝，解得x＝log2.
(3)由(1)知g(x)＝4x－2x，令2x＝t，
则g(t)＝t2－t＝2－，t∈[1,16]，
所以g(x)∈[0,240]．
21．(本小题满分12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励．记奖金总额为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；
(2)如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
[解]　(1)由题意，得
y＝
(2)∵当x∈(0,15]时，0.1x≤1.5，
又y＝5.5>1.5，∴x>15，
∴1.5＋2log5(x－14)＝5.5，解得x＝39.
即老张的销售利润是39万元．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lg.
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)求证：f(x)＋f(y)＝f ；
(3)若f ＝1，f ＝2，求f(a)，f(b)的值．
[解]　(1)证明：由函数f(x)＝lg，可得>0，即<0，解得－1<x<1，故函数的定义域为(－1,1)，关于原点对称．再根据f(－x)＝lg＝－lg＝－f(x)，可得f(x)是奇函数．
(2)证明：1：f(x)＋f(y)＝lg＋lg ＝lg ，
而f ＝lg
＝lg＝lg，
∴f(x)＋f(y)＝f 成立．
(3)若f ＝1，f ＝2，
则由(2)可得f(a)＋f(b)＝1，f(a)－f(b)＝2，
解得f(a)＝，f(b)＝－.