2020-2021学年高中数学-1.4-生活中的优化问题举例作业新人教A版选修2-2.doc

2020-2021学年高中数学 1.4 生活中的优化问题举例作业新人教A版选修2-2

2020-2021学年高中数学 1.4 生活中的优化问题举例作业新人教A版选修2-2

年级：
姓名：

第一章　1.4　

基础练习
1．将8分为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为(　　)
A．2和6　　　 B．4和4
C．3和5　　　 D．以上都不对
【答案】B
2．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，要使利润最大每件定价为(　　)
A．80元 B．85元 C．90元 D．95元
【答案】B
3．(2019年安徽合肥期末)设正三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为(　　)
A.V B． C.2 D.
【答案】D
4．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x(x∈N*)满足y＝－x2＋12x－25，则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大(　　)
A．3　　　 B．4　　　
C．5　　　 D．6
【答案】【答案】C
5．用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面一边比高长出0.5 m，则当高为______m时，容器的容积最大．
【答案】1
6．某车间要盖一间长方形小屋，其中一边利用已有的墙壁，另三边新砌，现有存砖只够砌20 m长的墙壁，问应围成长为______m，宽为______m的长方形才能使小屋面积最大．
【答案】10　5
7．做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，求它的高为多少时最省料．
【解析】设水箱底的边长为x m(x＞0)，则高为 m.
所以水箱的表面积为S＝x2＋4x·.
则S′＝2x－.令S′＝0，解得x＝8.
当0＜x＜8时，S′＜0；当x＞8时，S′＞0.
所以x＝8时，S有最小值，此时高为4 m.
所以当水箱的高为4 m时，最省料．
8．在高为H、底面半径为R的圆锥内作一内接圆柱体，圆柱的一个底面在圆锥的底面内，则圆柱体的半径r为多大时：

(1)圆柱体的体积最大？
(2)圆柱体的表面积最大？
【解析】设圆柱体的底面半径为r，高为h，体积为V，表面积为S，作出截面图，如图所示，△ABC中BC边上的高为H.
则V＝πr2h，S＝2πr2＋2πrh.
＝.∴h＝H.
∴V＝πr2H
＝πHr2－π·r3(0＜r＜R)，
S＝2πr2＋2πrH
＝2πr2－2π·r2＋2πHr(0＜r＜R)．
(1)V′＝2πrH－3π·r2，
令V′＝0，得r＝R(0＜r＜R)．
显然当r＝R时，体积最大，
最大体积为Vmax＝π2H＝πR2H.
(2)S′＝4πr＋2πH－4πH·，
令S′＝0，得r＝.
令0＜＜R，得H＞2R.
若H＞2R，显然当r＝时，
表面积最大，最大表面积为Smax＝.
若H≤2R，则当r∈(0，R)时，S′＞0，S单调递增，表面积趋近于2πR2，无最大值．
9.已知某工厂生产x件产品的成本(单位：元)为C＝25 000＋200x＋1,40x2(元).
(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？
(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？
解：(1)设平均成本为y元，则
y＝25 000＋200x＋1,40x2,x＝25 000,x＋200＋x,40，
所以y′＝－25 000,x2＋1,40.
令y′＝0，得x＝1 000.
当在x＝1 000附近左侧时y′<0，在x＝1 000附近右侧时y′>0，
故当x＝1 000时，y取极小值也是最小值.
所以要使平均成本最低，应生产1 000件产品.
(2)利润函数为S＝500x－25 000＋200x＋x2,40＝300x－25 000－x2,40.
令S′＝300－x,20＝0，得x＝6 000.
当在x＝6 000附近左侧时S′>0，在x＝6 000附近右侧时S′<0，故当x＝6 000时，S取极大值也是最大值.
所以要使利润最大，应生产6 000件产品.
能力提升
10.(2019年湖南长沙期末)一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的体积最大时，帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为( )

A． m B．1 m C． m D．2 m
【答案】D
【解析】设OO1为x m，底面正六边形的面积为S m2，帐篷的体积为V m3.由题设得正六棱锥底面边长为＝(m)，于是底面正六边形的面积为S＝6×()2＝(8＋2x－x2)．帐篷的体积V＝×(8＋2x－x2)(x－1)＋(8＋2x－x2)＝(8＋2x－x2)[(x－1)＋3]＝(16＋12x－x3)，V′＝(12－3x2)．令V′＝0，解得x＝2或x＝－2(不合题意，舍去)．当1＜x＜2时，V′＞0；当2＜x＜4时，V′＜0.所以当x＝2时，V最大．
11．内接于半径为R的球并且体积最大的圆柱的高为(　　)
A．R　　　 B．R
C．　　　 D．以上都不对
【答案】A
【解析】设底面半径为r，高为h，则r2＝R2－2，所以V(h)＝πr2h＝πh.V′(h)＝π，令V′(h)＝0，得h＝R，显然此时体积V(h)最大．
12．某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件的收益为200元，对于多于150件的订购合同，每超过1件，则每件的收益比原来减少1元，那么订购________件的合同会使公司的收益最大．
【答案】175
【解析】设订购x件商品，则单件商品的收益为P(x)＝故总收益R(x)＝当0≤x≤150时，x＝150，R(x)取得最大值30 000；当x＞150时，x＝175，R(x)取得最大值30 625.故订购175件的合同会使总收益最大．
13.如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km.两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？

解：设C点距D点x km，则AC＝(50－x)km，
所以BC＝BD2＋CD2＝x2＋402(km).
总的水管费用f(x)＝3a(50－x)＋5ax2＋402(0<x<50).
f′(x)＝－3a＋5ax,x2＋402.
令f′(x)＝0，解得x＝30.
在(0,50)上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30 km处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km).
故供水站建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.
14．(2018年江苏徐州模拟)水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量(单位：亿立方米)关于t的近似函数关系式为V(t)＝
(1)该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期，以i－1<t<i表示第i月份(i＝1,2，…，12)，问一年内哪几个月份是枯水期？
(2)求一年内该水库的最大蓄水量(取e≈2.7计算)．
解：(1)根据t的范围分段求解：
①当0<t≤10时，V(t)＝(－t2＋14t－40)et＋50<50，
化简得t2－14t＋40>0，解得t<4或t>10.
又0<t≤10，故0<t<4.
②当10<t≤12时，V(t)＝4(t－10)(3t－41)＋50<50，
化简得(t－10)(3t－41)<0，解得10<t<.
又10<t≤12，故10<t≤12.
综上，0<t<4或10<t≤12.
∴枯水期为1月，2月，3月，4月，11月，12月共6个月．
(2)由(1)知V(t)的最大值只能在(4,10)内达到．
V′(t)＝et＝－et(t＋2)(t－8)．
令V′(t)＝0，解得t＝8(t＝－2舍去)．
当t变化时，V′(t)与V(t)的变化情况如下表：
t
(4,8)
8
(8,10)
V′(t)
＋
0
－
V(t)
↗
极大值
↘
∴V(t)在t＝8时取得最大值V(8)＝8e2＋50≈108.32.
∴一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米．