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(word完整版)中考数学几何综合试题解析
中考数学几何综合试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2018•贵港）如图，在△ABC中,EF∥BC,AB=3AE，若S四边形BCFE=16，则S△ABC=（　　）

A．16 B．18 C．20 D．24
解：∵EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC，
∵AB=3AE，
∴AE：AB=1：3，
∴S△AEF:S△ABC=1:9，
设S△AEF=x，
∵S四边形BCFE=16，
∴=，
解得:x=2，
∴S△ABC=18，
故选：B．
2．（2018•梧州）如图，AG：GD=4:1,BD：DC=2：3，则AE：EC的值是（　　)

A．3：2 B．4：3 C．6：5 D．8:5
解：过点D作DF∥CA交BE于F，如图，
∵DF∥CE,
∴=，
而BD：DC=2：3，
∴=，则CE=DF,
∵DF∥AE，
∴=,
∵AG：GD=4：1，
∴=,则AE=4DF，
∴==．
故选:D．

3．(2018•广西)如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧,得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积)为(　　）

A． B． C．2 D．2
解：过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°,
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=1，AD=BD=,
∴△ABC的面积为=，
S扇形BAC==π,
∴莱洛三角形的面积S=3×π﹣2×=2π﹣2，
故选:D．
4．（2018•桂林）如图，在正方形ABCD中，AB=3,点M在CD的边上，且DM=1,△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF,连接EF，则线段EF的长为（　　）

A．3 B． C． D．
解:如图，连接BM．
∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，
∴AE=AD,∠MAD=∠MAE．
∵△ADM按照顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF,
∴AF=AM,∠FAB=∠MAD．
∴∠FAB=∠MAE
∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠MAE．
∴∠FAE=∠MAB．
∴△FAE≌△MAB（SAS）．
∴EF=BM．
∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD=AB=3．
∵DM=1，
∴CM=2．
∴在Rt△BCM中，BM==，
∴EF=，
故选：C．

解法二：如图,过E作HG∥AD，交AB于H,交CD于G,作EN⊥BC于N，则∠AHG=∠MGE=90°,
由折叠可得，∠AEM=∠D=90°,AE=AD=3，DM=EM=1，
∴∠AEH+∠MEG=EMG+∠MEG=90°，
∴∠AEH=∠EMG，
∴△AEH∽△EMG，
∴==,
设MG=x，则EH=3x，DG=1+x=AH,
∴Rt△AEH中，(1+x）2+（3x）2=32，
解得x1=，x2=﹣1（舍去），
∴EH==BN，CG=CM﹣MG==EN,
又∵BF=DM=1，
∴FN=,
∴Rt△AEN中,EF==，
故选:C．

5．（2018•广西）如图，矩形纸片ABCD,AB=4，BC=3，点P在BC边上,将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则cos∠ADF的值为（　　)

A． B． C． D．
解：根据折叠,可知：△DCP≌△DEP,
∴DC=DE=4，CP=EP．
在△OEF和△OBP中，，
∴△OEF≌△OBP（AAS）,
∴OE=OB，EF=BP．
设EF=x，则BP=x，DF=DE﹣EF=4﹣x，
又∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC﹣BP=3﹣x，
∴AF=AB﹣BF=1+x．
在Rt△DAF中，AF2+AD2=DF2，即（1+x)2+32=（4﹣x）2，
解得：x=，
∴DF=4﹣x=，
∴cos∠ADF==．
故选：C．

6．（2018•贵港）如图，在菱形ABCD中，AC=6,BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC,AB上的动点,连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（　　）

A．6 B．3 C．2 D．4.5
解:如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，

则点P、M即为使PE+PM取得最小值，
其PE+PM=PE′+PM=E′M，
∵四边形ABCD是菱形,
∴点E′在CD上,
∵AC=6，BD=6,
∴AB==3，
由S菱形ABCD=AC•BD=AB•E′M得×6×6=3•E′M，
解得：E′M=2，
即PE+PM的最小值是2，
故选：C．
7．（2018•玉林）如图，∠AOB=60°，OA=OB,动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（　　）

A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行、相交或垂直
解：∵∠AOB=60°，OA=OB,
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB,∠OAB=∠ABO=60°
①当点C在线段OB上时,如图1，

∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°,
∴∠OAC=∠BAD，
在△AOC和△ABD中，，
∴△AOC≌△ABD，
∴∠ABD=∠AOC=60°,
∴∠DBE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB，
∴BD∥OA，
②当点C在OB的延长线上时，如图2，

同①的方法得出OA∥BD，
∵△ACD是等边三角形,
∴AC=AD，∠CAD=60°，
∴∠OAC=∠BAD，
在△AOC和△ABD中，，
∴△AOC≌△ABD，
∴∠ABD=∠AOC=60°，
∴∠DBE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB,
∴BD∥OA，
故选：A．

8．（2018•贺州）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H,已知sin∠CDB=，BD=5，则AH的长为（　　）

A． B． C． D．
解：连接OD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径,且经过弦CD的中点H,
∴AB⊥CD，
∴∠OHD=∠BHD=90°,
∵sin∠CDB=，BD=5,
∴BH=4，
∴DH==4，
设OH=x,则OD=OB=x+3，
在Rt△ODH中，由勾股定理得：x2+42=（x+3）2，
解得：x=，
∴OH=；
∴AH=OA+OH=,
故选：B．

二．填空题（共9小题）
9．（2018•柳州）如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠DCA=30°，AC=,AD=，则BC的长为　2　．

解：过A作AE⊥CD,交CD的延长线于E，过D作DF⊥BC于F，
Rt△AEC中,∠ACD=30°，AC=，
∴AE=，CE=,
Rt△AED中，ED===，
∴CD=CE﹣DE=﹣=,
∵DF⊥BC,AC⊥BC，
∴DF∥AC，
∴∠FDC=∠ACD=30°，
∴CF=CD=，
∴DF=，
∵DF∥AC，
∴△BFD∽△BCA，
∴,
∴=,
∴BC=2,
故答案为:2．

10．（2018•贵港）如图，将矩形ABCD折叠，折痕为EF,BC的对应边B'C′与CD交于点M,若∠B′MD=50°,则∠BEF的度数为　70°　．

解：∵∠C'=∠C=90°,∠DMB’=∠C’MF=50°，
∴∠C'FM=40°，
设∠BEF=α，则∠EFC=180°﹣α，∠DFE=∠BEF=α，∠C'FE=40°+α，
由折叠可得，∠EFC=∠EFC’,
∴180°﹣α=40°+α,
∴α=70°，
∴∠BEF=70°，
故答案为：70°．

11．（2018•梧州)如图,点C为Rt△ACB与Rt△DCE的公共点，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD、BE，过点C作CF⊥AD于点F，延长FC交BE于点G．若AC=BC=25，CE=15，DC=20,则的值为　　．

解：如图，过E作EH⊥GF于H，过B作BP⊥GF于P，则∠EHG=∠BPG=90°，
又∵∠EGH=∠BGP，
∴△EHG∽△BPG，
∴=，
∵CF⊥AD，
∴∠DFC=∠AFC=90°，
∴∠DFC=∠CHF，∠AFC=∠CPB，
又∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠CDF=∠ECH,∠FAC=∠PCB,
∴△DCF∽△CEH，△ACF∽△CBP，
∴==， ==1，
∴EH=CF，BP=CF，
∴=，
∴=，
故答案为：．

12．（2018•玉林）小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4"和“16"(单位：cm)，请你帮小华算出圆盘的半径是　10　cm．

解：如图，

记圆的圆心为O，连接OB，OC交AB于D，
∴OC⊥AB,BD=AB，
由图知,AB=16﹣4=12cm，CD=2cm，
∴BD=6，设圆的半径为r，则OD=r﹣2，OB=r，
在Rt△BOD中，根据勾股定理得，OB2=AD2+OD2，
∴r2=36+（r﹣2）2，
∴r=10cm，
故答案为10．

13．(2018•贵港）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为　4π　（结果保留π)．

解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2,
∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，AC=2．
∵将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，
∴△ABC≌△A′BC′，
∴∠ABA′=120°=∠CBC′，
∴S阴影=S扇形ABA′+S△ABC﹣S扇形CBC′﹣S△A′BC′
=S扇形ABA′﹣S扇形CBC′
=﹣
=﹣
=4π．
故答案为4π．
14．（2018•玉林)如图，在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是　2＜AD＜8　．

解：如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．

在Rt△ABE中，∵∠E=30°，AB=4，
∴AE=2AB=8，
在Rt△ABF中，AF=AB=2，
∴AD的取值范围为2＜AD＜8，
故答案为2＜AD＜8．

15．(2018•贺州）如图,将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接BB',若∠A′B′B=20°,则∠A的度数是　65°　．

解:∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，
∴BC=B′C，
∴△BCB′是等腰直角三角形，
∴∠CBB′=45°，
∴∠B′A′C=∠A′B′B+∠CBB′=20°+45°=65°，
由旋转的性质得∠A=∠B′A′C=65°．
故答案为：65°．　
16．（2018•玉林)如图,正六边形ABCDEF的边长是6+4,点O1，O2分别是△ABF,△CDE的内心，则O1O2=　12+4　．

解:过A作AM⊥BF于M,连接O1F、O1A、O1B，
∵六边形ABCDEF是正六边形，

∴∠A==120°,AF=AB，
∴∠AFB=∠ABF=（180°﹣120°）=30°,
∴△AFB边BF上的高AM=AF=（6+4）=3+2，FM=BM=AM=3+6，
∴BF=3+6+3+6=12+6，
设△AFB的内切圆的半径为r，
∵S△AFB=S+S+S，
∴×(3+2）×(3+6)=×r+×r+×（12+6）×r,
解得:r=3,
即O1M=r=3,
∴O1O2=2×3+6+4=12+4，
故答案为：12+4．

17．（2018•贺州）如图，正方形ABCD的边长为12，点E在边AB上，BE=8，过点E作EF∥BC，分别交BD、CD于G、F两点．若点P、Q分别为DG、CE的中点,则PQ的长为　2　．

解：作QM⊥EF于点M，作PN⊥EF于点N，作QH⊥PN交PN的延长线于点H，如右图所示，
∵正方形ABCD的边长为12，BE=8，EF∥BC，点P、Q分别为DG、CE的中点,
∴DF=4,CF=8，EF=12，
∴MQ=4,PN=2,MF=6,
∵QM⊥EF，PN⊥EF，BE=8，DF=4,
∴△EGB∽△FGD，
∴，
即，
解得，FG=4，
∴FN=2，
∴MN=6﹣2=4，
∴QH=4，
∵PH=PN+QM，
∴PH=6，
∴PQ==,
故答案为：2．

三．解答题（共11小题）
18．（2018•广西)如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．
(1）求证:▱ABCD是菱形;
（2）若AB=5,AC=6,求▱ABCD的面积．

(1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵BE=DF，
∴△AEB≌△AFD
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是菱形，AC=6，
∴AC⊥BD，
AO=OC=AC=×6=3，
∵AB=5，AO=3，
∴BO===4，
∴BD=2BO=8，
∴S平行四边形ABCD=×AC×BD=24．

19．（2018•柳州)如图,△ABC为⊙O的内接三角形,AB为⊙O的直径,过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．
（1）求证：△DAC∽△DBA;
(2)过点C作⊙O的切线CE交AD于点E，求证：CE=AD；
(3）若点F为直径AB下方半圆的中点，连接CF交AB于点G，且AD=6，AB=3，求CG的长．

解:（1)∵AB是⊙O直径，
∴∠ACD=∠ACB=90°，
∵AD是⊙O的切线，
∴∠BAD=90°，
∴∠ACD=∠DAB=90°，
∵∠D=∠D,
∴△DAC∽△DBA；
(2）∵EA,EC是⊙O的切线，
∴AE=CE（切线长定理）,
∴∠DAC=∠ECA,
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE+∠DCE=90°,∠DAC+∠D=90°，
∴∠D=∠DCE，
∴DE=CE，
∴AD=AE+DE=CE+CE=2CE，
∴CE=AD；
（3）如图，在Rt△ABD中，AD=6，AB=3,
∴tan∠ABD==2，
过点G作GH⊥BD于H,
∴tan∠ABD==2，
∴GH=2BH，
∵点F是直径AB下方半圆的中点，
∴∠BCF=45°，
∴∠CGH=∠CHG﹣∠BCF=45°,
∴CH=GH=2BH，
∴BC=BH+CH=3BH，
在Rt△ABC中，tan∠ABC==2，
∴AC=2BC,
根据勾股定理得，AC2+BC2=AB2，
∴4BC2+BC2=9，
∴BC=，
∴3BH=，
∴BH=,
∴GH=2BH=，
在Rt△CHG中，∠BCF=45°,
∴CG=GH=．

20．（2018•广西)如图,△ABC内接于⊙O，∠CBG=∠A，CD为直径，OC与AB相交于点E,过点E作EF⊥BC,垂足为F,延长CD交GB的延长线于点P，连接BD．
（1）求证：PG与⊙O相切；
(2）若=，求的值；
（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为8,PD=OD,求OE的长．

解：（1）如图，连接OB，则OB=OD,

∴∠BDC=∠DBO，
∵∠BAC=∠BDC、∠BDC=∠GBC，
∴∠GBC=∠BDC，
∵CD是⊙O的直径,
∴∠DBO+∠OBC=90°,
∴∠GBC+∠OBC=90°,
∴∠GBO=90°,
∴PG与⊙O相切；
（2)过点O作OM⊥AC于点M,连接OA，
则∠AOM=∠COM=∠AOC，
∵=，
∴∠ABC=∠AOC,
又∵∠EFB=∠OMA=90°,
∴△BEF∽△OAM，
∴=，
∵AM=AC，OA=OC,
∴=，
又∵=，
∴=2×=2×=;
（3）∵PD=OD，∠PBO=90°，
∴BD=OD=8，
在Rt△DBC中,BC==8,
又∵OD=OB，
∴△DOB是等边三角形,
∴∠DOB=60°,
∵∠DOB=∠OBC+∠OCB,OB=OC，
∴∠OCB=30°，
∴=， =，
∴可设EF=x，则EC=2x、FC=x,
∴BF=8﹣x，
在Rt△BEF中，BE2=EF2+BF2，
∴100=x2+（8﹣x)2，
解得：x=6±，
∵6+＞8，舍去，
∴x=6﹣，
∴EC=12﹣2，
∴OE=8﹣（12﹣2)=2﹣4．

．（2018•桂林）如图1，已知⊙O是△ADB的外接圆,∠ADB的平分线DC交AB于点M，交⊙O于点C,连接AC，BC．
(1）求证：AC=BC；
（2)如图2，在图1的基础上做⊙O的直径CF交AB于点E，连接AF，过点A做⊙O的切线AH，若AH∥BC，求∠ACF的度数；
（3)在（2）的条件下，若△ABD的面积为，△ABD与△ABC的面积比为2：9，求CD的长．

解：（1)∵DC平分∠ADB,
∴∠ADC=∠BDC，
∴，
∴AC=BC
（2）连接AO并延长交BC于I交⊙O于J,
∵AH是⊙O的切线且AH∥BC，
∴AI⊥BC，
由垂径定理得，BI=IC,
∵AC=BC，
∴IC=AC，
在Rt△AIC中,IC=AC，
∴∠IAC=30°
∴∠ABC=60°=∠F=∠ACB，
∵FC是直径,
∴∠FAC=90°，
∴∠ACF=180°﹣90°﹣60°=30°；
（3）过点D作DG⊥AB，连接AO
由(1)(2）知,△ABC为等边三角形，
∵∠ACF=30°，
∴AB⊥CF，
∴AE=BE，
∴，
∴AB=,
∴，
在Rt△AEC中，CE=AE=9,
在Rt△AEO中，设EO=x，则AO=2x，
∴AO2=AE2+OE2，
∴,
∴x=6，
∴⊙O的半径为6，
∴CF=12，
∵，
∴DG=2,
过点D作DP⊥CF，连接OD，
∵AB⊥CF，DG⊥AB,
∴CF∥DG，
∴四边形PDGE为矩形，
∴PE=DG=2，
∴CP=PE+CE=2+9=11
在Rt△OPD中,OP=5,OD=6，
∴DP==，
∴在Rt△CPD中,根据勾股定理得，CD==2．

22．（2018•贵港）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆,且AB=BC=CD，AB∥CD，连接BD．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AB=10,cos∠BAC=，求BD的长及⊙O的半径．

（1） 证明：如图1,

作直径BE，交⊙O于E,连接EC、OC，
则∠BCE=90°，
∴∠OCE+∠OCB=90°,
∵AB∥CD,AB=CD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴∠A=∠D，
∵OE=OC，
∴∠E=∠OCE,
∵BC=CD，
∴∠CBD=∠D，
∵∠A=∠E，
∴∠CBD=∠D=∠A=∠OCE,
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBC+∠CBD=90°，
即∠EBD=90°，
∴BD是⊙O的切线；
（2） 如图2，

∵cos∠BAC=cos∠E=,
设EC=3x，EB=5x，则BC=4x,
∵AB=BC=10=4x，
x=，
∴EB=5x=，
∴⊙O的半径为，
过C作CG⊥BD于G,
∵BC=CD=10,
∴BG=DG，
Rt△CGD中,cos∠D=cos∠BAC=，
∴，
∴DG=6，
∴BD=12．

23．（2018•梧州)如图，AB是⊙M的直径,BC是⊙M的切线，切点为B,C是BC上（除B点外）的任意一点，连接CM交⊙M于点G，过点C作DC⊥BC交BG的延长线于点D，连接AG并延长交BC于点E．
(1）求证：△ABE∽△BCD；
（2）若MB=BE=1,求CD的长度．

（1）证明：∵BC为⊙M切线
∴∠ABC=90°
∵DC⊥BC
∴∠BCD=90°
∴∠ABC=∠BCD
∵AB是⊙M的直径
∴∠AGB=90°
即：BG⊥AE
∴∠CBD=∠A
∴△ABE∽△BCD
（2)解:过点G作GH⊥BC于H

∵MB=BE=1
∴AB=2
∴AE=
由（1）根据面积法
AB•BE=BG•AE
∴BG=
由勾股定理：
AG=，GE=
∵GH∥AB
∴
∴
∴GH=
又∵GH∥AB
①
同理：②
①+②，得

∴
∴CD=

24．(2018•贵港）已知:A、B两点在直线l的同一侧，线段AO，BM均是直线l的垂线段,且BM在AO的右边，AO=2BM，将BM沿直线l向右平移，在平移过程中,始终保持∠ABP=90°不变，BP边与直线l相交于点P．
（1）当P与O重合时（如图2所示）,设点C是AO的中点，连接BC．求证:四边形OCBM是正方形;
（2）请利用如图1所示的情形，求证: =；
（3）若AO=2，且当MO=2PO时，请直接写出AB和PB的长．

解：（1）∵2BM=AO,2CO=AO
∴BM=CO，
∵AO∥BM,
∴四边形OCBM是平行四边形，
∵∠BMO=90°,
∴▱OCBM是矩形，
∵∠ABP=90°，C是AO的中点，
∴OC=BC，
∴矩形OCBM是正方形．
（2）连接AP、OB，
∵∠ABP=∠AOP=90°，
∴A、B、O、P四点共圆，
由圆周角定理可知:∠APB=∠AOB，
∵AO∥BM，
∴∠AOB=∠OBM，
∴∠APB=∠OBM,
∴△APB∽△OBM，
∴
（3）当点P在O的左侧时，如图所示，
过点B作BD⊥AO于点D，
易证△PEO∽△BED，
∴
易证：四边形DBMO是矩形，
∴BD=MO，OD=BM
∴MO=2PO=BD，
∴，
∵AO=2BM=2，
∴BM=，
∴OE=，DE=，
易证△ADB∽△ABE，
∴AB2=AD•AE，
∵AD=DO=DM=,
∴AE=AD+DE=
∴AB=,
由勾股定理可知：BE=，
易证：△PEO∽△PBM，
∴=，
∴PB=
当点P在O的右侧时，如图所示，
过点B作BD⊥OA于点D，
∵MO=2PO,
∴点P是OM的中点,
设PM=x，BD=2x，
∵∠AOM=∠ABP=90°，
∴A、O、P、B四点共圆，
∴四边形AOPB是圆内接四边形，
∴∠BPM=∠A,
∴△ABD∽△PBM，
∴,
又易证四边形ODBM是矩形，AO=2BM，
∴AD=BM=，
∴=，
解得：x=，
∴BD=2x=2
由勾股定理可知：AB=3，BM=3

25．（2018•玉林）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于点D，∠DAC=∠B．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）点E是AB上一点，若∠BCE=∠B，tan∠B=，⊙O的半径是4，求EC的长．

（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ADB=90°,
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠DAC=∠B，
∴∠DAC+∠BAD=90°，
∴∠BAC=90°，
∴BA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线．
(2）解:∵∠BCE=∠B，
∴EC=EB，设EC=EB=x，
在Rt△ABC中,tan∠B==，AB=8,
∴AC=4，
在Rt△AEC中,∵EC2=AE2+AC2,
∴x2=(8﹣x）2+42，
解得x=5，
∴CE=5．
26．（2018•贺州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O、D分别是边AC、AB的中点，过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若四边形AECD的面积为24，tan∠BAC=，求BC的长．

(1）证明：∵点O是AC中点,
∴OA=OC，
∵CE∥AB，
∴∠DAO=∠ECO，
在△AOD和△COE中，
，
∴△AOD≌△COE(ASA）,
∴AD=CE，
∵CE∥AB，
∴四边形AECD是平行四边形，
又∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD=AD，
∴四边形AECD是菱形;
（2）由（1）知，四边形AECD是菱形,
∴AC⊥ED，
在Rt△AOD中，tan∠DAO=，
设OD=3x，OA=4x，
则ED=2OD=6x，AC=2OA=8x，由题意可得：，
解得：x=1，
∴OD=3，
∵O，D分别是AC，AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴BC=2OD=6．

27．（2018•玉林）如图,在▱ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F,过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM'与NN'，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M′，N′，连接EF．
（1）求证：四边形EFNM是矩形；
（2）已知:AE=4，DE=3,DC=9，求EF的长．

解:（1）证明：过点E、F分别作AD、BC的垂线,垂足分别是G、H．
∵∠3=∠4，∠1=∠2，EG⊥AD,EM⊥CD，EM′⊥AB
∴EG=ME,EG=EM′
∴EG=ME=ME′=MM′
同理可证：FH=NF=N′F=NN′
∵CD∥AB，MM′⊥CD，NN′⊥CD，
∴MM′=NN′
∴ME=NF=EG=FH
又∵MM′∥NN′，MM′⊥CD
∴四边形EFNM是矩形．
(2）∵DC∥AB，
∴∠CDA+∠DAB=180°，
∵，∠2=∠DAB
∴∠3+∠2=90°
在Rt△DEA,∵AE=4,DE=3，
∴AB==5．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠DCB,
又∵∠2=∠DAB,∠5=∠DCB，
∴∠2=∠5
由（1）知GE=NF
在Rt△GEA和Rt△CNF中

∴△GEA≌△CNF
∴AG=CN
在Rt△DME和Rt△DGE中
∵DE=DE，ME=EG
∴△DME≌△DGE
∴DG=DM
∴DM+CN=DG+AG=AB=5
∴MN=CD﹣DM﹣CN=9﹣5=4．
∵四边形EFNM是矩形．
∴EF=MN=4

28．（2018•贺州）如图，AB是⊙O的弦,过AB的中点E作EC⊥OA，垂足为C，过点B作直线BD交CE的延长线于点D，使得DB=DE．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AB=12,DB=5，求△AOB的面积．

(1）证明：∵OA=OB,DB=DE，
∴∠A=∠OBA，∠DEB=∠DBE，
∵EC⊥OA，∠DEB=∠AEC,
∴∠A+∠DEB=90°,
∴∠OBA+∠DBE=90°，
∴∠OBD=90°,
∵OB是圆的半径，
∴BD是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接OE，
∵点E是AB的中点，AB=12，
∴AE=EB=6，OE⊥AB，
又∵DE=DB,DF⊥BE，DB=5，DB=DE，
∴EF=BF=3，
∴DF==4，
∵∠AEC=∠DEF，
∴∠A=∠EDF,
∵OE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠AEO=∠DFE=90°，
∴△AEO∽△DFE，
∴,
即，得EO=4。5，
∴△AOB的面积是： =27．