全等三角形证明题大全：辅助线作法 证明 中考精选共101题(含试题解析与答案及空白试卷).pdf

全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种：1）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的 思维模式是全等变换中的“旋转”.2）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条 线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法 适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.3）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变 换中的“对折”.4）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角 形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.5）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平 移”或“翻转折叠”特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答.一、倍长中线（线段）造全等例1.已知：如图3所示，AD为AABC的中线，/J 求证：AB+AO2AD。b c分析：要证 AB+AO2AD,由图形想至l j：AB+BDAD,AC+CDAD,所以有：AB+AC+BD+CD AD+AD=2AD,口 图一 3但它的左边比要证结论多BD+CD,故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD,即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。证明：延长AD至E,使DE=AD,连接BE,CE。3图例3、如图，AABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证：AD平分NBAE.因为 BD=DC=AC,所以 AC=1/2BC因为E是DC中点，所以EC=1/2DC=1/2ACZAC E=ZBC A,所以 BC AMAC E 所以 NABC:/C AE因为 DC=AC,所以NADONDACZADC=ZABC+ZBAD所以 NABC+NBAD=NDAE+NC AE 所以/BAD:NDAE即AD平分NBAE 应用:二、截长补短例1.已知：如图1所示，AD为a ABC的中线，且N1=N2,N3=N4。求证：BE+CFEFo分析：要证BE+CFEF,可利用三角形三 边关系定理证明，须把BE,CF,EF移 到同一个三角形中，而由已知N1=N2,N3=N4,可在角的两边截取相等的线段，利用全 等三角形的对应边相等，把EN,FN,EF移到同个三角形中。证 明：在 DN 上截取 DN=DB,连接 NE,NF。再连结EGBG1、如图，AA3C 中，AB=2AC,AD 平分NA4C,且 AD=BD,求证：CDAC 证明：取AB中点E,连接DEVAD=BDADE1 AB,即NAED=90。【等腰三角形三线合一】VAB=2ACAAE=ACXVZEAD=ZC AD【AD 平分/BAC】AD=AD./AED0/AC D(SAS).*.ZC=ZAED=90A CD AC2、如图，AC/BD,EA,EB 分别平分NCAB,NDBA,CD 过点 E,求证;AB=AC+BD在AB上取点N，使得AN=ACZC AE=ZEAN,AE为公共边，所以三角形C AE全等三角形EAN所以 NANE二NAC E又AC平行BD所以 NAC E+NBDE=1 80而 NANE+NENB=1 80所以 NENB二NBDENNBE二NEBNBE为公共边，所以三角形EBN全等三角形EBD所以BD=BN所以 AB=AN+BN=AC+BD3、如图，已知在口 A3C内，ABAC=60,ZC=40,P,Q分别在BC,CA上，并且AP,BQ分别是NA4C,NABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 证明：做辅助线PMIIBQ,与QC相交与M。（首先算清各角的度数）丁 ZAPB=1 80ZBAPZABP=1803080=70 且 NAPM=1 80 NAPB NMPC=1 8070 NQBC 角相等）=1 807 040=70二.NAPB=NAPM又TAP是BAC的角平分线，.*.ZBAP=ZMAPAP是公共边 ABP04AMP（角边角）.*.AB=AM,BP=MP在 MPC 中，ZMC P=ZMPC=40.MP=MC二.AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC在 QBC中ZQBC=QC B=40.*.BQ=QCBQ+AQ=AQ+QC二AC二.BQ+AQ=AB+BPA4、角平分线如图，在四边形ABCD中，BCBA,AD=CD,BD平分NA8C,D求证：ZA+ZC=180延长BA,作DF_LBA的延长线，作DE_LBCBVZ1=Z2ADE=DF（角分线上的点到角的两边距离相等）.在 RtADFA 与 RtADEC 中 AD=DC,DF=DEARtADFARtADEC（HL）.Z3=ZC因为 N4+N3=1 80.*.Z4+ZC=1 80即 NA+NC=1 8025、如图在AABC 中，ABAC,N1=N2,P 为 AD 上任意一点，求证;AB-ACPB-PC延长AC至E,使AE=AB,连结PE。然后证明一下AABP会AEP得至lj PB=PE备用（角边角证很容易吧）PC E 中，E8PE-PC VEC=AE-AC,AE=AB.*.EC=AB-AC 又 PB=PE，PE-PC=PB-PC.AB-AC PB-PC应用:三、平移变换例1 AD为4ABC的角平分线，直线MN1AD于A.E为MN上一点，ABC周长记为PA,EBC周长记为PB.求证PBPA.例2如图，在ABC的边上取两点D、E,且BD=CE,求证：AB+AOAD+AE.B DE C四、借助角平分线造全等1、如图，已知在a ABC中，ZB=60,4ABC的角平分线AD,CE相交于点0,求证：0E=0D在AC上取点F,使AF=AE 太AD是角A的平分线 E/.角庆0=角FAE/VAO=AO三角形AEO与AFO全等（两边夹角相等）.-.EO=FO,角人0=角人0尸VC E是角C的平分线.角口。3=角FC O 角 B=60 角 A+角 0=1 80-60=1 20.角C OD二角C AO+角（2人=角A/2+角C/2=60度.角 OC F=1 80一 角 AOF-角 C OD=1 8060 60=60.角（2尸=角C ODVOC=OC 三角形OC D与C FO全等（两边夹角相等）.C F=C D.AC=AF+C F=AE+C D即：AE+CD=AC2、如图，ZABC 中，AD 平分NBAC,DGLBC 且平分 BC,DE_LAB 于 E,DFLAC 于 F.(1)说明BE=CF的理由；(2)如果AB=a,AC=Z?,求AE、BE的长.证明：连接BD,C DDG_LBC于G且平分BC所以GD为BC垂直平分线垂直平分线上的点到线段两端点距离相等BD=C D角平分线上的点到角两边距离相等,AD 平分NBAC,DE_LAB 于 E,DF_LAC 的延长于F所以DE=DF在 RTABED.RTAC FD 中DE=DFBD=C DRTABEDRTAC FD（HL）BE=C F应用:五、旋转例1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF,求NEAF的度数.将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABG贝IGE=GB+BE=DF+BE=EF 又 AE=AE,AF=AG,所以三角形AEF全等于AEG所以/EAF=Z GAE=Z BAE+Z GAB=Z BAE+Z DAF又 Z EAF+Z BAE+Z DAF=90所以NEAF=45度B E例2 D为等腰RtAABC斜边AB的中点，DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。(1)当NMDN绕点D转动时，求证DE=DF。(2)若AB=2,求四边形DECF的面积。b做DP_LBC,垂足为P,做DQ_LAC,垂足为Q|TD为中点，且AABC为等腰RT4ABC a/.DP=DQ=%BC=%AC e又,NFDQ:NPDE(旋转)ZDQF=ZDPE=90.,.DQFADPE M f a.-.SADQF=SADPE 又IS四边形DEC F=S四边形DFC P+SADPE AS 四边形 DEC F二S 四边形 DFC P+SADQF=%BC*%AC=%AC2 N(AC=BC 二定值)四边形DEC F面积不会改变例3如图，AA3C是边长为3的等边三角形，A5QC是等腰三角形，且N3OC=120,以D为顶点做一个60角，使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则AAMN 的周长为；A我简单说一下过D点做DEJ_AB的延长线然后证明DMNDME（注意4DBE实际上是4DC N旋转后得来的）全等三角形证明经典50题（含答案）1.已知：AB=4,AC=2,D是BC中点，AD是整数，求AD解：延长AD至IE,使AD=DE,.,D是BC中点.,.BD=DC在4ACD和4BDE中AD=DEZBDE=ZADCBD=DC/.ACDABDE.AC=BE=2VAABE 中AB-BEAEAB+BEVAB=4即 4-22AD4+2KADO.AD=22.已知：D是AB中点，ZACB=90,求证：CZ)二AB2延长CD与P,使D为CP中点。连接AP,BPVDP=DC,DA=DBAACBP为平行四边形又 NACB=90平行四边形ACBP为矩形，AB=CP=1/2AB3.已知：BC=DE,ZB=ZE,ZC=ZD,F 是 CD 中点，求证：Z1=Z2证明：连接BF和EF,Z BC=ED,CF=DF,NBCF=NEDF.三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)BF=EF,ZCBF=ZDEF连接BE在三角形BEF中,BF=EF二 ZEBF=ZBEFo,Z ZABC=ZAEDo二.ZABE=ZAEBo.AB=AEo在三角形ABF和三角形AEF中AB=AE,BF=EF,ZABF=ZABE+ZEBF=ZAEB+ZBEF=ZAEF.三角形ABF和三角形AEF全等。二.ZBAF=ZEAF(Z1=Z2)O4.已知：Z1=Z2,CD=DE,EF/AB,求证：EF=AC过C作CG EF交AD的延长线于点GCGEF,可得，NEFD=CGDDE=DCNFDE=NGDC（对顶角）.,.EFDACGDEF=CGNCGD=NEFD又，EFABA,ZEFD=Z1Z1=Z2.,.ZCGD=Z2/.AGO为等腰三角形,AC=CG又 EF=CG.EF=AC5.已知：AD 平分NBAC,AC=AB+BD,求证：ZB=2ZCA证明：延长AB取点E,使AE=AC,连接DEVAD 平分 NBAC Z.ZEAD=ZCAD VAE=AC,AD=AD AAAEDAACD(SAS)AZE=ZC VAC=AB+BD.AE=AB+BD VAE=AB+BE.,.BD=BE.NBDE=NEVZABC=ZE+ZBDE.ZABC=2ZE.NABC=2NC6.已知：AC 平分NBAD,CEAB,NB+ND=180,求证：AE=AD+BE证明：在AE上取F,使EF=EB,连接CFVCE1AB.ZCEB=ZCEF=90VEB=EF,CE=CE,.,.CEBACEF.NB=NCFEVZB+ZD=180,ZCFE+ZCFA=180，ND=NCFAVAC 平分NBAD，NDAC=NFAC：AC=ACA ADC AFC(SAS)，AD=AF，AE=AF+FE=AD+BE7.已知：AB=4,AC=2,D是BC中点，AD是整数，求AD解：延长AD至IJE,使AD=DE,D是BC中点.BD=DC在4ACD和4BDE中AD=DE ZBDE=ZADCBD=DC.,.ACDABDE.AC=BE=2 VAABE 中 AB-BEAEAB+BEVAB=4 P4-22AD4+2 1AD3.AD=28.已知：D 是 AB 中点，ZACB=90,求证：2解：延长AD至U E,使AD=DED是BC中点.BD=DC在4ACD和4BDE中AD=DEZBDE=ZADCBD=DCAAACDABDE.,.AC=BE=2VAABE 中AB-BEAEAB+BEVAB=4P4-22AD4+21AD3?.AD=29.已知：BC=DE,NB=NE,ZC=ZD,F 是 CD 中点，求证：Z1=Z2证明：连接BF和EF。BC=ED,CF=DF,ZBCF=ZEDF0.三角形BCF全等于三角形EDF（边角边）。BF=EF,ZCBF=ZDEFo连接BEo在三角形BEF中,BF=EF。二.ZEBF=ZBEFo又，:ZABC=ZAEDo二.ZABE=ZAEBo二.AB=AEo在三角形ABF和三角形AEF中，AB=AE,BF=EF,ZABF=ZABE+ZEBF=ZAEB+ZBEF=ZAEFo.三角形ABF和三角形AEF全等。二.ZBAF=ZEAF（Z1=Z2）O10.已知:Z1=Z2,CD=DE,EF/AB,求证：EF=AC过C作CGEF交AD的延长线于点GCGEF,可得，ZEFD=CGDDE=DCNFDE=NGDC（对顶角）.,.EFDACGDEF=CGNCGD=NEFD又 EFABAZEFD=Z1Z1=Z2.ZCGD=Z2/.AGC为等腰三角形，AC=CG又 EF=CG.EF=AC11.已知：AD 平分NBAC,AC=AB+BD,求证：ZB=2ZC证明：延长AB取点E,使AE=AC,连接DEVAD 平分NBACA ZEAD=ZCADVAE=AC,AD=AD/.AEDAACD(SAS)：.ZE=ZCVAC=AB+BD，AE=AB+BDVAE=AB+BE.BD=BEr.ZBDE=ZEVZABC=ZE+ZBDE.,.ZABC=2ZE.NABC=2NC12.已知：AC 平分/BAD,CEAB,ZB+ZD=180，求证：AE=AD+BE在AE上取F,使EF=EB,连接CFVCEAB.*.ZCEB=ZCEF=90oEB=EF,CE=CE,/.CEBACEF.*.ZB=ZCFEVZB+ZD=180,ZCFE+ZCFA=180.ZD=ZCFAVAC 平分NBAD.NDAC=NFACXVAC=AC.ADC丝 AFC(SAS)，AD=AF；.AE=AF+FE=AD+BE12.如图，四边形ABCD中，ABDC,BE、CE分别平分NABC、ZBCD,且点E在AD 上。求证：BC=AB+DCo在BC上截取BF=AB,连接EF BE 平分NABC.NABE=NFBE XVBE=BEJ/ABE也/FBE(SAS)ZA=ZBFEVAB/CD.ZA+ZD=180VZBFE+ZCFE=180ZD=ZCFEXVZDCE=ZFCE CE平分NBCD CE=CE二./DCEg/FCE(AAS).*.CD=CF/.BC=BF+CF=AB+CD13.已知：AB/ED,ZEAB=ZBDE,AF=CD,EF=BC,求证：ZF=ZCAB II ED,得：NEAB+NAED=NBDE+NABD=180 度,Z NEAB=NBDE,.NAED=NABD,.四边形ABDE是平行四边形。二.得：AE=BD,VAF=CD,EF=BC,.三角形AEF全等于三角形DBC,.,.ZF=ZCo14.已知：AB=CD,ZA=ZD,求证：ZB=ZC证明：设线段AB,CD所在的直线交于E,（当ADBC时，E点是射线AB,DC的交点）。则：AED是等腰三角形。.,.AE=DE而 AB=CD.BE=CE（等量加等量，或等量减等量）/.BEC是等腰三角形二.ZB=ZC.15.P 是 NBAC 平分线 AD 上一点，AO AB,求证：PC-PBAC-AB在AC上取点E,使 AE=AB。VAE=ABAP=APZEAP=ZBAE,.,.EAPABAP.,.PE=PBo PCEC+PE.,.PC DC=AE,为AS的中点,(1)求证：bED9XEBC.(2)观看图前，在不添辅助线的情况下，除所。外，请再写出两个与的面积 相等的三角形.(直接写出结果，不要求证明)：证明：VDC/7AB ZCDE=ZAEDVDE=DE,DC=AE.,.AEDAEDC,.E为AB中点Z.AE=BEA BE=DCV DC/ZAB二 ZDCE=ZBECVCE=CE.,.EBCAEDC/.AEDAEBC24.(7分)如图，ABC中，NBAC=90度，AB=AC,BD是NA8C的平分线，BD的延长 线垂直于过C点的直线于区 直线CE交3A的延长线于求证：BD=2CE.AABCE四点共元ZAB E=ZCB E.AE=CE.ZECA=ZEAC取线段BD的中点G,连接AG,则：AG=BG=DG.ZGAB=ZABG而：ZECA=ZGBA（同弧上的圆周角相等）.ZECA=ZEAC=ZGBA=ZGAB而：AC=AB.AAECAAGB.EC=BG=DG.BE=2CE25、如图：DF=CE,AD=BC,ZD=ZC0 求证：AED0ZiBFC。证明：VDF=CE,.DF-EF=CE-EF,即 DE=CF,在4AED和4BFC中，V AD=BC,ZD=ZC,DE=CF.,.AEDABFC（SAS）26、（10 分）如图：AE、BC 交于点 M,F 点在 AM 上，BECF,BE=CF0求证：AM是AABC的中线。E证明:VBE II CF.ZE=ZCFM,ZEBM=ZFCM VBE=CF.,.BEMACFM Z.BM=CM二.AM是a ABC的中线.27、（10分）如图：在a ABC中，BA=BC,D是AC的中点。求证：BDAC0ABD和4BCD的三条边都相等.AABD=ABCD.ZADB=ZCD二.ZADB=ZCDB=90Z.BD1AC28、（10分）AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF在AABD与4ACD中AB=ACBD=DCAD=AD二.AABDAACD，ZADB=ZADC.ZBDF=ZFDC在ABDE与4FDC中BD=DCZBDF=ZFDCDF=DF.,.FBDAFCD/.BF=FC29、（12 分）如图：AB=CD,AE=DF,CE=FB0 求证：AF=DE0VAB=DCAE=DF,CE=FB CE+EF=EF+FB 二 AABE=ACDF VZDCB=ZABFAB=DC BF=CEABF=ACDE Z.AF=DE30.公园里有一条“Z字形道路ABC。，如图所示，其中ABCO,在43,CD,3C三段路 旁各有一只小石凳E,F,M,且M在3c的中点，试说明三只石凳E,F,M恰 好在一条直线上.证明：连接EFVAB/CD工 ZB=ZC是BC中点，BM=CM在ABEM和CFM中BE=CFZB=ZCBM=CM.BEM之CFM(SAS)，CF=BE31.已知：点 A、F、E、C 在同一条直线上，AF=CE,BEDF,BE=DF.求证：AABEACDF.(第2题)VAF=CE,FE=EF.-.AE=CEVDF/BE,.ZAEB=ZCFD(两直线平行，内错角相等)VBE=DFA：AABEACDF(SAS)32.已知：如图所示，AB=AD,BC=DC,E、F分别是DC、BC的中点，求证：AE=AF。连接BD；VAB=AD BC=DZ.ZADB=ZABD NCDB=NABD;两角相力口，ZADC=ZABC；VBC=DC EF是中点.,.DE=BF；VAB=AD DE=BFZADC=ZABC.,.AE=AFo33.如图，在四边形43CQ中，七是AC上的一点，Z1=Z2,Z3=Z4,求证：Z5=Z6.证明：在ADC,AABC 中VAC=AC,ZBAC=ZDAC,ZBCA=ZDCA.ADC也 ABC（两角加一边）VAB=AD,BC=CD在ADEC与ABEC中ZBCA=ZDCA,CE=CE,BC=CD.DECABEC（两边夹一角），ZDEC=ZBEC34.已知ABQE,BC/EF,D,。在AF上，且AD=CE 求证：AAB8ADEF.,.AC=DFVAB/DEZ.ZA=ZEDFXVBC/EF.ZF=ZBCA.,.ABCADEF（ASA）35.已知：如图，AB=AC,BDLAC,CE1AB,垂足分别为。、E,BD、CE相交于点R 求 证：BE=CD.证明：VBD1AC.ZBDC=90VCEAB二.ZBEC=90ZBDC=ZBEC=90VAB=AC二.NDCB=NEBC.,.BC=BCARtABDCRtABEC(AAS).BE=CD36、如图，在43。中，AQ 为N84C 的平分线，DELAB 于 E,DF1AC 求证：DE=DF.证明：AD是NBAC的平分线.NEAD=NFADVDEAB,DFACNBFD=NCFD=90ZAED 与 NAFD=90 在4AED与4AFD中 NEAD=NFADAD=ADNAED=NAFD/.AEDAAFD(AAS)，AE=AF在a AEO与AFO中ZEAO=ZFAOAO=AOAE=AF.,.AEOAAFO(SAS).,.ZAOE=ZAOF=90AAD1EF37.已知：如图,ACJLBC 于 C,Z)E_LAC 于,ADJ_AB 于 A,8C=AE.若 AB=5,求 A。的 长？VADIAB.ZBAC=ZADE 又.AC_LBC 于 C,DE_LAC 于 E 根据三角形角度之和等于180度ZABC=ZDAEVBC=AE,AABCADAE(ASA)AAD=AB=538.如图：AB=AC,ME1AB,MFAC,垂足分别为 E、F,ME=MF。求证：MB=MC证明：VAB=AC.*.ZB=ZCVME1AB,MF1AC.,.ZBEM=ZCFM=90 在ABME和ACMF中 ZB=ZC ZBEM=ZCFM=90 ME=MFAABMEACMF（AAS）.,.MB=MC.39.如图，给出五个等量关系：AD=BCAC=8DCE=DE ZD=ZC/DAB=.请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明.已知：AD=BC,NDAB=NCBA求证：4DAB也4CBA证明：VAD=BC,ZDAB=ZCBA 又 AB=AB.,.DABACBA40.在ABC 中，ZACB=90,AC=BC,直线MN经过点C,且 AD_LMN 于。，BE JL MN于右.（1）当直线MN绕点。旋转到图1的位置时一，求证：AADC名ACEB；DE=AD+BE；当直线MN绕点。旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明;若不成立，说明理由.”A图2ENBMC图1(1)ZADC=ZACB=NBEC=90,.,.ZCAD+ZACD=90,ZBCE+ZCBE=90,ZACD+ZBCE=90.ZCAD=ZBCE.VAC=BC,.,.ADCACEB.：ADC 也CEB,.CE=AD,CD=BE.；.DE=CE+CD=AD+BE.(2)V ZADC=ZCEB=ZACB=90,.ZACD=ZCBE.又,.，AC=BC,AAACDACBE.CE=AD,CD=BE.*.DE=CE-CD=AD-BE41.如图所示，已知 AE_LAB,AFAC,AE=AB,AF=AC。求证：(1)EC=BF；ECBF(1)VAEAB,AFAC,.,.ZBAE=ZCAF=90,.ZBAE+ZBAC=ZCAF+ZBAC,即 NEAC=NBAF,在AABF和AAEC中，VAE=AB,ZEAC=ZBAF,AF=AC,AAABFAAEC(SAS),.EC=BF；(2)如图，根据(1),AABFAAEC,ZAEC=ZABF,VAEAB,A ZBAE=90,A ZAEC+ZADE=90,V ZADE=ZBDM(对顶角相等)，A ZABF+ZBDM=90,在BDM 中，ZBMD=180-ZABF-ZBDM=180-90=90,.,.ECBF.42.如图：BEAC,CFJ_AB,BM=AC,CN=AB。求证：(1)AM=AN；AMl ANo证明：(1)VBEAC,CF1AB.ZABM+ZBAC=90,ZACN+ZBAC=90.ZABM=ZACN VBM=AC,CN=ABA ABM AN AC AAM=AN(2)VAABMANAC.ZBAM=ZNVZN+ZBAN=90.,.ZBAM+ZBAN=90 即 NMAN=90A AM AN43.如图，已知NA=ND,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC/EF在4ABF和4CDE中,AB=DEZA=ZDAF=CD.,.ABF=ACDE（边角边）.FB=CE在四边形BCEF中FB=CEBC=EF.四边形BCEF是平行四边形ABC II EF44.如图，已知ACBD,EA、EB分别平分NCAB和NDBA,CD过点E,则 相等吗？请说明理由与 AC+BD在AB上取点N,使得AN=AC VZCAE=ZEAN.AE为公共，AACAEAEAN.,.ZANE=ZACE 又二飞（3平行BD.,.ZACE+ZBDE=180而 NANE+NENB=180 NENB=NBDEZNBE=ZEBNBE为公共边AAEBNAEBD.,.BD=BNZ.AB=AN+BN=AC+BD45、(10分)如图,已知:AD是BC上的中线，且DF=DE.求证:BECF.证明：AD是AABC的中线BD=CDVDF=DE（已知）ZBDE=ZFDC.,.BDEAFDC则 NEBD=NFCD.BECF（内错角相等，两直线平行）。46、（10 分）已知：如图，ABCD,DEAC,BFLAC,E,尸是垂足，DE=BF.求证：AB/CD.证明：VDE1AC,BFAC二 ZCED=ZAFB=90又AB=CD,BF=DE ARtZl ABFRtZl CDE(HL).*.AF=CENBAF=NDCE.,.AB/CD 47、（10 分）如图，已知N1=N2,Z3=Z4,求证：AB=CDDV,Z3=Z4.OB=OC在AOB和DOC中Z1=Z2OB=OCZAOB=ZDOCAOB 也DOC.AO=DO AO+OC=DO+OB AC=DB在AACB和ADBC中AC=DB,Z3=Z4BC=CBACBADBCZ.AB=CD48、(10 分)如图，已知 ACAB,DBAB,AC=BE,AE=BD,试猜想线段 CE 与 DE 的大小与位置关系，并证明你的结论.CEDEo当NAEB越小，则DE越小。证明：过D作AE平行线与AC交于F,连接FB由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形，且4DFB为等腰三角形。RT4BAE 中，NAEB 为锐角，即 NAEB90。VDF/AE.,.ZFDB=ZAEB45RTZAFB 中，ZFBA=90-ZDBF 45.,.ABAFVAB=CE AF=DEZ.CEDE49、（10 分）如图，已知 AB=DC,AC=DB,BE=CE,求证：AE=DE.VAB=DC,AC=DB,BC=BC.,.ABCADCB,二 ZABC=ZDCB 又.BE=CE,AB=DC.,.ABEADCE.,.AE=DE50.如图9所示，4ABC是等腰直角三角形,ZACB=90,AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E,交AD于点F,求证：NADC=NBDE.图9作 CGLAB,交 AD 于 H,贝 iNACH=45o,NBCH=45。VZCAH=90o-ZCDA,ZBCE=90-ZCDA，NCAH=NBCE 又：AC=CB,ZACH=ZB=45.,.ACHACBE,.CH=BEXVZDCH=ZB=45,CD=DB.,.CFDABED AZADC=ZBDE51.已知：AB=10,AC=2,D是BC中点，AD是整数，求AD证明：延长AD到E,使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即 BE=AC=2在三角形 ABE 中,AB-BE AE AB+BEHp：1 0-2 2AD 1 0+24 ADzEAB+ZBAC=ZFAC+ZBAC FX V Z EAC=Z EAB+Z BAC,ZBAF=ZFAC+ZBAC A.,.ZEAC=ZBAF/在EAC与BAF中，AE=ABNEAC=NBAFAF=AC=EAC四BAFE;：A/(2)V AEAB B C.Z EAB=90.,.ZAEB+ZABE=90ZAEC+ZC EB+ZABE=90.ZC EB+ZABE+ZA B F=90(由全等可知/AEC=NABF)ZEMF=90EC BF 5 5.如图：BEAC,C FAB,BM=AC,C N=AB。求证：(1)AM=AN；(2)AM_LAN。证明：(1)VBE1 AC,C FAB.,.ZABM+ZBAC=90,ZAC N+ZBAC=90.ZABM=ZAC NVBM=AC,C N=AB.,.ABMANAC.,.AM=AN(2)VAABMANAC.ZBAM=ZNVZN+ZBAN=90.,.ZBAM+ZBAN=90即 NMAN=90AAMIAN5 6.已知：如图AC BD,AE和BE分别平分NC AB和NDBA,C D过点E.求证：（1）AE1 BE；（2）AB=AC+BD.证明：（1）.AC BD,.,.ZC AB+ZDBA=1 80（1 分）又；AE和BE分别平分NC AB和/DBA,.*.ZEAB=1 2ZC AB,ZEBA=1 2ZDBA,.ZEAB+ZEBA=1 2（ZC AB+ZDBA）=90,AAEIBE（4 分）（2）在AB上截取AF=AC,连接EF,在C AE 和 aFAE 中AC=AFNC AE=NFAEAE=AE,.C AE FAE,则NC EA=NFEA,（8 分）又 NC EA+NBED=NFEA+NFEB=90,.ZFEB=ZDEB,在aDEB 和aFEB 中NDEB=NFEBEB=EBNDBE=NFBE,.,.DEBAFEB（ASA）,（1 0 分）.,.BD=BF,.,.AB=AF+FB=AC+BD.（1 2 分）57、如图,已知:AD是BC上的中线，且DF=DE.求证:BECF.证明：.f口是BC上的中线，.,.BD=DC.XVDF=DE（已知），ZBDE=ZC DF（对顶角相等），.,.BEDAC FD（SAS）.ZE=ZC FD（全等三角形的对应角相等）.，C FBE（内错角相等，两直线平行）.RC58、已知：如图，AB=CD,DEAC,BFAC,E,b是垂足，DE=BF.求证：AB/CD.证明：（1）VDE1 AC,BFAC,.在 RtADC E 和 RtABAF 中,AB=C D,DE=BF,RtADC ERtABAF（HL）,.,.AF=C E；（2）由（1）中 RSDC E丝RtABAF,可得NC=NA,，ABC D.59、如图，已知N1=N2,Z3=Z4,求证：AB=C D设对角线交点为。VZ3=Z4.,.BO=C O在 ABO与 DC O中Z1=Z2（已知）BO=C O（已证）ZAOB=ZDOC（对顶角）.,.ABO 全等于 DC O所以AB=C D60、如图，已知AC J_AB,DBAB,AC=BE,AE=BD,试猜想线段C E与DE的大小与位置关系，并证明你的结论.解：C E=DE,C EDE,理由如下：VAC 1 AB,DB1 AB,AC=BE,AE=BD,.,.C AEAEBD.,.ZC EA=ZD.VZD+ZDEB=90,.,.ZC EA+ZDEB=90.即线段C E与DE的大小与位置关系为相等且垂直.61、如图，已知 AB=DC,AC=DB,BE=C E,求证：AE=DE.证明：VAB=DC,AC=DB,BC=BC,/.ABC ADC B(SSS).ZABC=ZDC B.VAB=DC,BE=C E,/.ABEADC E(SAS).,.AE=DE.62.如图9所示，AABC是等腰直角三角形，ZAC B=90,AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证：解：作C H_LAB于H交AD于P,.在 RtaABC 中 AC=C B,ZAC B=90,月.,.ZC AB=ZC BA=45.ZHC B=90-ZC BA=45=ZC BA.又中点D,，C D=BD.XVC H1 AB,，C H=AH=BH.XVZPAH+ZAPH=90,ZPC F+ZC PF=90,ZAPH=ZC PF,.,.ZPAH=ZPC F.在AAPH与AC EH中 ZPAH=ZEC H,AH=C H,ZPHA=ZEHC,.,.APHAC EH(ASA).,.PH=EH,又,PC=C H-PH,BE=BH-HE,.,.C P=EB.在APDC与AEDB中PC=EB,ZPC D=ZEBD,DC=DB,.,.PDC AEDB(SAS)./.ZADC=ZBDE.新人教版八年级上学期全等三角形证明题（试题卷）一.解答题（共10小题）1.（2013泉州）如图，已知AD是4ABC的中线，分别过点B、C作BEAD于点E,CFAD 交AD的延长线于点F,求证：BE=CF.2.（2013河南）如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中NC=90。,ZB=ZE=30.（1）操作发现如图2,固定ABC,使a DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是；设BDC的面积为Si，ZAEC的面积为S2，则Si与S2的数量关系是_.（2）猜想论证当a DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中Si与S2的数量关系仍然成 立，并尝试分别作出了BDC和a AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.（3）拓展探究己知NABC=60。，点D是角平分线上一点，BD=CD=4,DEAB交BC于点E（如图4）.若 在射线BA上存在点F,使S/dcf=Szbde，请直接写出相应的BF的长.BA3.（2013大庆）如图，把一个直角三角形ACB（ZACB=90）绕着顶点B顺时针旋转 60,使得点C旋转到AB边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F,G分别是BD,BE 上的点，BF=BG,延长CF与DG交于点H.（1）求证：CF=DG；（2）求出NFHG的度数.4.（2012阜新）（1）如图，在ABC 和a ADE 中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90.当点D在AC上时，如图1,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你 猜想的结论；将图1中的ADE绕点A顺时针旋转a角（Ta l),按上述操作方法，得到图，请继续探究：AM与AN的数量 关系、/MAN与NBAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明.6.（2008台州）CD经过NBCA顶点C的一条直线，CA=CB.E,F分别是直线CD上两 点，且 ZBEC=NCFA=Na.（1）若直线CD经过NBCA的内部，且E,F在射线CD上，请解决下面两个问题：如图 1,若NBCA=90,Za=90,则 BE CF；EF|BE-AF|（填或=）；如图2,若（TVNBCA 1）,ZAOB=ZCOD=a,则AC与BD间的等量关系式为；ZAPB的大小为10.（2005南宁）（A类）如图，DE_LAB、DFAC.垂足分别为E、F.请你从下面三个 条件中，再选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情 况）.AB=AC；BD=CD；BE=CF已知：deLab、dfac,垂足分别为e、f,ab=ac,bd=cd求证：BE=CF;已知：deLab、df_Lac,垂足分别为 e、f,ab=ac,be=cf/求证：BD=CD/已知：deLab、dfac,垂足分别为e、f,bd=cd,be=cf/求证：AB=AC/BC DCF（B类）如图，EGAF,请你从下面三个条件中，再选两个作为已知条件，另一个为结论,推出一个正确的命题（只需写出一种情况）.AB=AC；DE=DF；BE=CF已知：EGAF,AB=AC,DE=DF A求证：BE=CF/C D新人教版八年级上学期全等三角形证明题参考答案与试题解析一.解答题（共10小题）1.（2013泉州）如图，已知AD是4ABC的中线，分别过点B、C作BEAD于点E,CFAD 交AD的延长线于点F,求证：BE=CF.考点：全等三角形的判定与性质.专题：证明题.分析：根据中线的定义可得BD=CD,然后利用角角边证明BDE和CDF全等，根据全 等三角形对应边相等即可得证.解答：证明：:AD是a ABC的中线，BD=CD,VBEAD,cf_Lad,ZBED=ZCFD=90,在a BDE和CDF中，/BED=/CFD=9 0 ZBDE=ZCDF，tBD=CD.ABDEACDF（AAS）,/.BE=CF.点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用三角形全等证明边相等是常用的方法之 一，要熟练掌握并灵活运用.