函数与数列的极限的强化练习题标准答案(含详细分析).doc

第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案
一、单项选择题
1．下面函数与为同一函数的是（ ）

解：，且定义域， ∴选D
2．已知是的反函数，则的反函数是（ ）

解:令反解出：互换，位置得反函数，选A
3．设在有定义，则下列函数为奇函数的是（ ）

解：的定义域且∴选C
4．下列函数在内无界的是（ ）

解: 排除法：A 有界，B有界，C
故选D
5．数列有界是存在的（ ）
A 必要条件 B 充分条件
C 充分必要条件 D 无关条件
解：收敛时，数列有界（即），反之不成立，（如有界，但不收敛，
选A
6．当时，与为等价无穷小，则= （ ）
A B 1 C 2 D -2
解：， 选C
二、填空题（每小题4分，共24分）
7．设，则的定义域为
解： ∵

∴定义域为

8．设
则
解：（1）令

（2）
9．函数的反函数是
解：（1），反解出：
（2）互换位置，得反函数
10．
解：原式
11．若
则
解：左式= 故
12．=
解：当时，～ ∴原式==
三、计算题（每小题8分，共64分）
13．求函数的定义域
解：

∴函数的定义域为
14．设 求
解：
故
15．设，的反函数，求
解: （1） 求 ∴反解出：
互换位置得
(2)
16．判别的奇偶性。
解法（1）：的定义域，关于原点对称

为奇函数
解法（2）：

故为奇函数
17．已知为偶函数，为奇函数，且，求及
解： 已知
即有

得
故
得
故
18．设，求的值。
解：

故
19．求
解：（1）拆项，

（2）原式=
20．设
求
解： 原式=

四、综合题（每小题10分，共20分）
21．设=，求=
并讨论的奇偶性与有界性。
解：（1）求

（2）讨论的奇偶性

为奇函数
（3）讨论的有界性
有界
22．从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形，把留下的中心角为的扇形做成一个漏斗（如图），试将漏斗的容积V表示成中心角的函数。
解：（1）列出函数关系式，设漏斗高为，底半径为，依题意：漏斗容积V=

故

（2）函数的定义域

故
五、证明题（每小题9分，共18分）
23．设为定义在的任意函数，证明可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。
证：(1)
(2)令

为偶函数
(3)令

为奇函数
（4）综上所述：偶函数+奇函数
24 设满足函数方程2+
=，证明为奇函数。
证：（1）
令 函数与自变量的记号无关

（2）消去，求出

（3）的定义域
又
为奇函数
＊选做题
1已知，求
解:

且

∴由夹逼定理知，原式
2 若对于任意的，函数满足：，证明为奇函数。
解 (1)求：令

(2)令
为奇函数
第二讲：函数的极限与洛必达法则的强化练习题答案
一、单项选择题（每小题4分，共24分）
1． 下列极限正确的（ ）
A． B． 不存在
C． D．
解： 选C
注：
2． 下列极限正确的是（ ）
A． B．
C．
D．
解： 选A
注：
3． 若，，则下列正确的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
解： 选D
4．若，
则 （ ）
A．3 B． C．2 D．
解：

选B
5．设且存在，则= （ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
解：

　　　　　　选C
6．当时，是比高阶无穷小，则 （ ）
A． B．
C．为任意实数 D．
解：
故选A
二 、填空题（每小题4分，共24分）
7．
解：原式
8．
解：原式

9．
解：原式

10．已知存在，
则=
解：

11．
解：又 故 原式=1
12．若
且,则正整数=
解：
故
三、计算题（每小题8分，共64分）
13．求
解： 原式=

原式
14．求
解：原式

15．求
解：令，当时，
原式

16．求
解：原式

注:原式

17．求
解： 原式

18．设且存在，求的值。
解：

19．
解： 原式

也可以用两个重要极限中的一个，凑一个1出来（凡是可以用换底的都可以用重要极限来求）

20．求
无穷大与0之间的转换（笔记）
解： 原式

四、证明题（共18分）
21．当时且
,
证明
证：

证毕（利用两个重要极限）
22．当时，证明以下四个差函数的等价无穷小。
（1）
Tanx-sinx可以提取一个tanx，从而凑成
Tanx*(1-cosx)，用等价无穷小可以得出1-cosx~1/2x^2,从而整体等价于x^3/2;
(总结规律：注意tanx-sinx有公共因子tanx，从而充分利用等价无穷小的规律，在不定积分中也同样可以用此方法化解式子)
（2）
（3）
（4）
证：

当时，

（0/0型，先用洛比达法则进行求导，然后利用tanx与secx之间的关系转换，再利用等价无穷小）
规律总结：见到tanx的想法：
与sinx同幂组合，注意看是否可以提取公因式tanx;
有平方项看是否可以转化为secx（转化的时候把转化式子写出来，要注意是加1还是减1.。。）；
注意利用万能公式（看书复习万能公式，归纳适用条件）
（怎样将一个word文要分两边显示。。。怎样就可以将这样的文档转化为习惯的样子？？？问老哥）
当时，

当时，

当时，
（规律总结：
三角函数，反三角函数与X组合，0/0型的时候应该先用洛比达法则求一次导，（求导的时候可以对分母先应用等价无穷小，再求导），然后再应用等价无穷小进行化简，，此外应该特别注意，可以先应用极限的四则运算，（四则不仅只有加减，还有乘除，应格外熟悉）,将某些难化简，但极限好求的先进行计算，（一般题目要求求的都是极限存在的，所以可以用此方法解题，若解出来发现极限不存在，这说明不能用四则运算，因而再想别的方法））
五、综合题（每小题10分，共20分）
23．求
有根号，无从下手时想到用分母有理化，化成指数次幂除以指数次幂的形式。
解： 原式

24． 已知，求常数的值。
解：（1）∵原极限存在且

（2）

答
选做题
求
解：原式

令

原式

第三讲：函数的连续性与导数、微分的概念的强化练习题答案
一、单项选择题（每小题4分，共24 分）
1．若为是连续函数，
且，
则( )
A． -1 B．0
C．1 D． 不存在
解： 原式
，选B
2． 要使在点处连续，应给补充定义的数值是( )
A． B．
C． D．
解：

选A
3．若，则下列正确的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
解： 选B
4．设
且在处可导，
,则是的 ( )
A． 可去间断点 B． 跳跃间断点
C． 无穷间断点 D． 连续点
解：
，故是的第一类可去间断点。选A
5．在处 (　)
A． 极限不存在 B．极限存在但不连续
C ．连续但不可导 D．可导但不连续
解：，且
在连续，又
不存在，在不可导 选C
（判断函数是否可导，应该用定义法去判断。。。）
6．设在可导，则为 （ ）
A． B．
C． D．
解：（1）在连续，

故
（2）

，代入得，选C
（两个未知数找准两个方程，第一人利用连续的性质，第二个利用可导，求出特殊点的导数）
二、 填空题（每小题4分，共24分）
7．设为连续奇函数，则=
解：（1）为奇函数，
（2）
又在连续
故
规律总结：连续的奇函数在0点的函数值为0；
可导的偶函数，0点的导函数为0；
8．若为可导的偶函数，则
解：（1）为偶函数，
(2)可导， 故
即
9．设是曲线的
一条切线，则
解： （1）
（2）故
10． 若满足：
，且
则=
解：

（在不确定函数是否可以求的导的情况下一定要用定义求在某点的导数）
11． 设在连续，且=4，
则
解： 原式=

12．的间断点个数为
解： 令
为间断点，
故有三个间断点
（间断点就是函数没有意义的点）
三 、计算题（每小题8分，共64分）
13． 已知
在上连续，求的值
解：在连续

且
故
14． 讨论在连续性
解：（1）在处，
且
在处连续
（2）在处，

在不连续
(判断连续性即找准分段点，求极限)
15． 设有连续的导函数，且若在连续，求常数A。
解：

且， 答
16． 设在可导，求的值。
（看到可导的条件要求变量，一定是两个方程，一个关于连续性，一个是关系某点的导数值（都是左导等于右导）
找一个题目自己动手计算，看是否有问题！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！）
解：（1）在连续，
故有
（2）在可导

，答
17．设在可导，求与
解：（1）在连续，

且，故有
（2）在可导

答：
18． 讨论在是否可导，其中在连续。
解：（1）

（2）
答： 当时，在连续，
当时，在不连续
19． 求的间断点，并指出间断点类型
解：（1） 间断点：
（2） 在处：
是的第一类间断点。
（3） 在处：
为的第二类无穷间断点。
20． 设指出的间断点，并判断间断点的类型。
解：（1）为间断点，可能是间断点。
（2）在处：

是的第二类无穷间断点
（3）在处：

是的第一类跳跃间断点
四、 综合题（每小题10分，共20分）
21． 求的间断点，并判别间断点的类型。
解： （1）间断点：
（2）在处：

是的第一类可去间断点
（3）在处：
是的第一类可去间断点
（4）在处：
是的第二类无穷间断点
22．已知，在可导，求之值
解：（1）在连续，

故
（2）在可导

故有
（3）在连续，

即

（4）在可导：

故有
由（3）（4）解得
答：
五、证明题（每小题9分，共18分）
23． 证明在区间内至少有两个实根。
证：（1）在连续，
且
由零点定理知，
=0在上至少有一个实根。
（2）在连续,且

由零点定理知，
=0在上至少有一个实根
（3）综上所述，=0在上至少有两个实根
24． 设，证明（1）当时在连续，当时，在可导
解：（1）

当时，在连续
(2)

当时，在可导
总之，当时，在连续
当时，在可导
选做题
设对于任意的，函数满足
且证明
证：（1）令， ，即
(2)

证毕
第四讲：导数与微分的计算方法的强化练习题答案
一、单项选择题（每小题4分，共24分）
1．设则( )
A ．1 B ．3 C． -1 D． -3
解：（1）

(2)
选C
2．设
,则 （ ）
A ． B．
C． D．
解： 令

选B
注：本题用导数定义计算更方便！
3．设，则= ( )
A ． B ．
C． D．
解：

选A
4．设由方程所确定，则曲线在点（0，1）的切线斜率= ( )
A ．2 B． -2
C ． D． -
解：

选B
5． 设为可导偶函数，且，则 （ ）
A． 0 B ．1
C ．-1 D． 2
解：（1）

（2）

得
（3） 选A
6．设在有连续导数，且,则 ( )
A． 1 B． -1
C． 2 D ．-2
解：

(2)原式

选B
二、填空题（每小题4分，共24分）
7．若，
则
解：（1）
(2)
8．设，
则=
解：(1)
（2）
9． 直线与轴平行，且与曲线相切，则切点坐标是
解：
故有切点坐标
10．由方程确定，则
解：当时，得

，
11．设，
则
解：

12．设，则 =
解：

三、计算题（每小题8分，共64分）
13 ．设，求。
解： (1)

（3）
14．设，求及。
解：(1)

15．方程确定，求
解：(1)=0
（2） 当时，
（3）
，
16．设 ，求
解：（1）
(2)
17 ．设，确定，求。
解：（1）
(2)
18． 设，求
解：（1）变形，
（2）

19． 设
由方程所确定，其中F可导，且
，求
解：（1）

（2）当时，
（3）

20．已知，求
解：（1）

四、证明题（本题8分）
21．证明抛物线任一点处的切线所截两坐标轴的截距之和等于。
证：（1）求切线方程：设切点坐标为
，

故有切线方程：

（2）求截距：
令，
解得
令，
解得
（3）证明两截距之和为（即）
+

证毕
五、综合题（每小题10分，共30分）
22．若曲线与在点相切，求常数。
解：（1）求两曲线的斜率
在上，
在上，
2）求之值：依题意，两曲线在点相切，

又点在曲线上

23．设单调，且二阶可导，求及
解：（1）
（2）=
=

24．设，求
解：（1）

选做题
1．设可导，且，求
解：（1）

(2)∵（3）

2．设有任意阶导数，且
，求
解：∵
∴

3．设可导且，
证明
解：（1）当时

（2）当时：

（3）综上所述：

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