非线性电路中的混沌现象实验报告.doc

基础物理实验报告
非线性电路中的混沌现象

学号：37073112
姓名：蔡正阳
日期：2009年3月24日

五：数据处理：
1．计算电感L
本实验采用相位测量。根据RLC谐振规律，当输入激励的频率时，RLC串联电路将达到谐振，L和C的电压反相，在示波器上显示的是一条过二四象限的45度斜线。
测量得：f=32.8kHz；实验仪器标示：C=1.095nF
由此可得：

估算不确定度：
估计u(C)=0.005nF，u(f)=0.1kHz
则：

即
最终结果：

2．用一元线性回归方法对有源非线性负阻元件的测量数据进行处理：
（1）原始数据：
R
V
R
V
R
V
71200
-12
2044.9
-8
1753.4
-4
21000
-11.8
2036.2
-7.8
1727.5
-3.8
12150
-11.6
2027.2
-7.6
1699.6
-3.6
8430
-11.4
2017.8
-7.4
1669.4
-3.4
6390
-11.2
2007.9
-7.2
1636.7
-3.2
5100
-11
1997.5
-7
1601.2
-3
4215
-10.8
1986.7
-6.8
1562.4
-2.8
3564
-10.6
1975.3
-6.6
1519.7
-2.6
3070
-10.4
1963.4
-6.4
1472.3
-2.4
2680
-10.2
1950.9
-6.2
1420
-2.2
2369
-10
1937.6
-6
1360.9
-2
2115
-9.8
1923.7
-5.8
1295.1
-1.8
2103.1
-9.6
1909
-5.6
1281.8
-1.6
2096.8
-9.4
1893.4
-5.4
1276.7
-1.4
2090.2
-9.2
1876.9
-5.2
1270.1
-1.2
2083.4
-9
1859.5
-5
1261.1
-1
2076.3
-8.8
1840.9
-4.8
1247.8
-0.8
2068.9
-8.6
1821.2
-4.6
1226
-0.6
2061.2
-8.4
1800.1
-4.4
1148.9
-0.4
2053.3
-8.2
1777.6
-4.2
1075
-0.2

V
R
R1
（2）数据处理：
根据可以得出流过电阻箱的电流，由回路KCL方程和KVL方程可知：

由此可得对应的值。

对非线性负阻R1，将实验测得的每个（I，U）实验点均标注在坐标平面上，可得：

图中可以发现，（0.0046336，-9.8）和（0.0013899，-1.8）两个实验点是折线的拐点。故我们在、、这三个区间分别使用线性回归的方法来求相应的I-U曲线。
使用Excel的Linest函数可以求出这三段的线性回归方程：

经计算可得，三段线性回归的相关系数均非常接近1（r=0.99997），证明在区间内I-V线性符合得较好。
应用相关作图软件可以得出非线性负阻在U<0区间的I-U曲线。

将曲线关于原点对称可得到非线性负阻在U>0区间的I-U曲线：

3．观察混沌现象：
（1）一倍周期：

一倍周期 Vc1-t
（2）两倍周期：

两倍周期 Vc1-t
（3）四倍周期：

四倍周期 Vc1-t
（4）单吸引子：

单吸引子 阵发混沌

三倍周期 Vc1-t
(5)双吸引子：

双吸引子 Vc1-t

4．使用计算机数值模拟混沌现象：
（1）源程序（Matlab代码）：
算法核心：四阶龙格库塔数值积分法
文件1：chua.m
function [xx]=chua(x,time_variable,aaa,symbol_no)
h=0.01;
a=h/2;
aa=h/6;
xx=[];
for j=1:symbol_no;
k0=chua_map(x,time_variable,aaa);
x1=x+kO*a;
k1=chua_map(xl,time_variable,aaa);
xl=x+k1*a;
k2=chua_map(x1,time_variable,aaa);
x1=x+k2*h;
k3=chua_map(x1,time-variable,aaa);
x=x+aa*(kO+2*(k1+k2)+k3);
xx=[xx x];
end
文件2：chua_initial.m:
function [x0]=chua_initial(x,aaa)
h=0.01;a=h/2;aa=h/6;
x=[-0.03 0.6 -0.01]';
k0=chua_map(x,1,aaa);
x1=x+k0*a;
k1=chua_map(xl,1,aaa);
x1=x+k1*a;
k2=chua_map(x1,1,aaa);
x1=x+k2*h;
k3=chua_map(x1,1,aaa);
x=x+aa*(k0+2*(kl+k2)+k3);
for k=2:400
kO=chua_map(x,k,aaa);
x1=x+k0*a;
k1=chua_map(x1,k,aaa);
x1=x+k1*a;
k2=chua_map(x1,k,aaa);
x1=x+k2*h;
k3=chua_map(xl,k,aaa);
x=x+aa*(kO+2*(k1+k2)+k3);
end
x0=x;
文件3：chua_map.m:
function[x]=chua_map(xx,time_variable,aaa)
m0=-1/7.0;
m1=2/7.0;
if xx(1)>=1
hx=m1*xx(1)+m0-m1;
elseif abs(xx(1))<=1
hx=m0*xx(1);
else
hx=m1*xx(1)-m0+m1;
end
A=[0 9.0 0
1.0 -1.0 1.0
O aaa 0];
x=A*xx;
x=x+[-9*hx 0 O]';
文件4：chua_demo.m
x0=0.05*randn(3,1);
[x0]=chua_initial(x0,-100/7);
[xx]=chua(x0,1,-100/7,20000);
plot(UVI(1,1:end),UVI(2,1:end));
xlabel('Uc1 (V)');ylabel('Uc2 (V)');
figure;
plot3(UVI(3,1:end),UVI(2,1:end),UVI(1,1:end))
xlabel('I (V)');ylabel('Uc1 (V)');zlabel('Uc2 (V)'); (2)

对于本实验，其微分方程组的求解还可以采用离散化的处理。具体代码如下：（Matlab代码）
function discrete_chai
dt=0.04;
c1=1/9;
c2=1;
L=1/7;
G=0.7;
N=10000;
a0=0.8;a1=0.1;
MT=[1-dt*G/c1,dt*G/c1,0;dt*G/c2,(1-dt*G/c2),dt/c2;0,-dt/L,1];

UVI=zeros(3,N);
UVI(:,1)=[0.1;0.1;0.1];
for k=1:N-1;
Bd=[-dt/c1*a0*UVI(1,k)*(a1^2*UVI(1,k)^2/3-1);0;0];
UVI(:,k+1)=MT*UVI(:,k)+Bd;
end
plot(UVI(1,1:end),UVI(2,1:end));
xlabel('Uc1 (V)');ylabel('Uc2 (V)');
figure;
plot3(UVI(3,1:end),UVI(2,1:end),UVI(1,1:end))
xlabel('I (V)');ylabel('Uc1 (V)');zlabel('Uc2 (V)');

经验证：该代码的执行效率比四阶龙格库塔数值积分法要高，但初始精度稍差。
（2）数值仿真结果：
改变G的值，当G=0.7时，数值仿真出现双吸引子：
Uc1-Uc2图
使用matlab的Plot3可以做出I-Uc1-Uc2的三维图：

I-Uc1-Uc2图
同时可以使用Plot做出I、Uc1和Uc2对时间的曲线：

改变G值，使G=0.35，数值仿真出现单吸引子：

Uc1-Uc2图
使用matlab的Plot3可以做出I-Uc1-Uc2的三维图：

同时可以使用Plot做出I、Uc1和Uc2对时间的曲线：

在结果中可以看到，计算机数值模拟的相图特点和前述示波器的相图极为相似。同时利用计算机可以方便地更改系统参数，充分显现出计算机仿真的优越性。
六、选做实验：
费根鲍姆常数的测量：
以G作为系统参数，将RV1+RV2由一个较大值逐渐减小，记录出现倍周期分岔时的参数值Gn，得到倍周期分岔之间相继参量间隔之比：

测量时n越大值越趋近于费根鲍姆常数。在本实验中由于条件限制，费根鲍姆常数的近似值可取：

实验测得：R1=8700；R2=11060；R3=11829。代入上述公式，可得：
4.1728

七、实验后思考题：
1．什么叫相图？为什么要用相图来研究混沌现象？本实验中的相图是怎么获得的？
答：将电路方程x=V1(t)和y=V2(t)消去时间变量t而得到的空间曲线，在非线性理论中这种曲线称为相图。
在非线性理论中，我们会看到使用运动状态之间的关系，更有利于揭示事物的本质，它突出了电路系统运动的全局概念。
在本实验中，示波器CH1端接Vc1电压，CH2端接Vc2电压，这样就能获得Vc1-Vc2相图。

2．什么叫倍周期分岔，表现在相图上有什么特点？
答：系统在改变某些参数后，运动周期变为原先的两倍，即系统需要两倍于原先的时间才能恢复原状。这在非线性理论中称为倍周期分岔。
倍周期分岔在相图上表现为原先的一个椭圆变为两个分岔的椭圆，运动轨线从其中的一个椭圆跑到另一个椭圆，再在重叠处又跑到原来的椭圆上。

3．什么叫混沌？表现在相图上有什么特点？
答：混沌大体包含以下一些主要内容：
（1） 系统进行着貌似无归律的运动，但决定其运动规律的基础动力学却是决定论的；
（2） 具体结果敏感地依赖初始条件，从而其长期行为具有不可测性；
（3） 这种不可预测性并非由外界噪声引起的；
（4） 系统长期行为具有某些全局和普适性的特征，这些特征与初始条件无关。
混沌在相图上的表现为轨道在某侧绕几圈似乎是随机的，但这种随机性和真正随机系统中不可预测的无规律又不相同。因为相点貌似无规律地游荡，不会重复已走过的路，但并不是以连续概率分布在相平面上随机行走，类似“线圈”的轨道本身是有界的，显然其中有某些规律。

4．什么叫吸引子？什么是非奇异吸引子？什么是奇异吸引子？表现在相图上有什么特点？
答：在系统条件一定下，无论个它什么样的初始条件，最终都将落入到各自的终态集上，这些终态集被称为“吸引子”。
周期解的吸引子称为非奇异吸引子，非周期解的吸引子称为奇异吸引子。

5．什么是费根鲍姆常数？在本实验中如何测量它的近似值？
答：对于某一系统，改变参量r，当r=r1时可以看到系统由稳定的周期一变为周期二，继续改变r，当当r=r2时周期二失稳，同时出现周期四，如此继续下去。定义：

常数被命名为费根鲍姆常数。
测量时n越大值越趋近于费根鲍姆常数。在本实验中由于条件限制，费根鲍姆常数的近似值可取：

6．非线性电阻R的伏安特性如何测量？如何对实验数据进行分段拟合？实验中使用的是哪一段曲线？
答：测量非线性电阻R时，把电感从电路中取出，这样可以把有源非线性负阻R与移相器的连线隔开。将电阻箱R0和有源非线性负阻并联，改变电阻箱R0的电阻值，用数字电压表测URO，获得有源非线性负阻在U<0V时的伏安特性。
分段时，先将实验点画在坐标平面上，确定拐点的位置，然后分组进行一元线性回归拟合。
实验中使用的是U<0V时的伏安特性曲线，需要和原点对称，获得U>0V时的伏安特性曲线。
八、实验感想：
在本次实验中，我初步了解了混沌的一些知识，并对混沌的理论和实际应用产生了兴趣。在实验后，我通过查阅相关资料了解到，20多年来，混沌一直是举世瞩目的前沿课题和研究热点，它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性、有序与无序的统一、稳定性与随机性的统一，大大拓宽了人们的视野，加深了人类对客观世界的认识。
混沌现象在非线性科学中指的是一种确定的但不可预测的运动状态。它的外在表现和纯粹的随机运动很相似，即都不可预测。但和随机运动不同的是，混沌运动在动力学上是确定的，它的不可预测性是来源于运动的不稳定性。或者说混沌系统对无限小的初值变动和微绕也具于敏感性，无论多小的扰动在长时间以后，也会使系统彻底偏离原来的演化方向。
混沌现象是自然界中的普遍现象，天气变化就是一个典型的混沌运动。而在人类的实际生活中，混沌的机理也被广泛地应用在秘密通信、改善和提高激光器的性能等方面。
在实验中我通过观察现象，加深了对RLC电路谐振的理解，并了解到这种原理在测量领域中的应用。同时，在测量非线性电阻R的伏安特性曲线中，通过思考连线方法和测量方法，锻炼了实验的能力。
参考资料：

[1]杨晓松，李清都．混沌系统与混沌电路．北京：科学出版社，2007
[2]孙志忠．数值分析．第二版．南京：东南大学出版社，2002．
[3]冯久超，陈宏滨．蔡氏电路的仿真研究．华北航天工业学院学报Vol．15 suppl，Jun 2005

在结果中可以看到，计算机数值模拟的相图特点和前述示波器的相图极为相似。同时利用计算机可以方便地更改系统参数，充分显现出计算机仿真的优越性。
两倍周期
四倍周期
阵发混沌
三倍周期
单吸引子
双吸引子
使用计算机数值模拟混沌现象：
（1）源程序（Matlab代码）：
算法核心：四阶龙格库塔数值积分法
文件1：chua.m
function [xx]=chua(x,time_variable,aaa,symbol_no)
h=0.01;
a=h/2;
aa=h/6;
xx=[];
for j=1:symbol_no;
k0=chua_map(x,time_variable,aaa);
x1=x+kO*a;
k1=chua_map(xl,time_variable,aaa);
xl=x+k1*a;
k2=chua_map(x1,time_variable,aaa);
x1=x+k2*h;
k3=chua_map(x1,time-variable,aaa);
x=x+aa*(kO+2*(k1+k2)+k3);
xx=[xx x];
end
文件2：chua_initial.m:
function [x0]=chua_initial(x,aaa)
h=0.01;a=h/2;aa=h/6;
x=[-0.03 0.6 -0.01]';
k0=chua_map(x,1,aaa);
x1=x+k0*a;
k1=chua_map(xl,1,aaa);
x1=x+k1*a;
k2=chua_map(x1,1,aaa);
x1=x+k2*h;
k3=chua_map(x1,1,aaa);
x=x+aa*(k0+2*(kl+k2)+k3);
for k=2:400
kO=chua_map(x,k,aaa);
x1=x+k0*a;
k1=chua_map(x1,k,aaa);
x1=x+k1*a;
k2=chua_map(x1,k,aaa);
x1=x+k2*h;
k3=chua_map(xl,k,aaa);
x=x+aa*(kO+2*(k1+k2)+k3);
end
x0=x;
文件3：chua_map.m:
function[x]=chua_map(xx,time_variable,aaa)
m0=-1/7.0;
m1=2/7.0;
if xx(1)>=1
hx=m1*xx(1)+m0-m1;
elseif abs(xx(1))<=1
hx=m0*xx(1);
else
hx=m1*xx(1)-m0+m1;
end
A=[0 9.0 0
1.0 -1.0 1.0
O aaa 0];
x=A*xx;
x=x+[-9*hx 0 O]';
文件4：chua_demo.m
x0=0.05*randn(3,1);
[x0]=chua_initial(x0,-100/7);
[xx]=chua(x0,1,-100/7,20000);
plot(UVI(1,1:end),UVI(2,1:end));
xlabel('Uc1 (V)');ylabel('Uc2 (V)');
figure;
plot3(UVI(3,1:end),UVI(2,1:end),UVI(1,1:end))
xlabel('I (V)');ylabel('Uc1 (V)');zlabel('Uc2 (V)'); (2)

对于本实验，其微分方程组的求解还可以采用离散化的处理。具体代码如下：（Matlab代码）
function discrete_chai
dt=0.04;
c1=1/9;
c2=1;
L=1/7;
G=0.7;
N=10000;
a0=0.8;a1=0.1;
MT=[1-dt*G/c1,dt*G/c1,0;dt*G/c2,(1-dt*G/c2),dt/c2;0,-dt/L,1];

UVI=zeros(3,N);
UVI(:,1)=[0.1;0.1;0.1];
for k=1:N-1;
Bd=[-dt/c1*a0*UVI(1,k)*(a1^2*UVI(1,k)^2/3-1);0;0];
UVI(:,k+1)=MT*UVI(:,k)+Bd;
end
plot(UVI(1,1:end),UVI(2,1:end));
xlabel('Uc1 (V)');ylabel('Uc2 (V)');
figure;
plot3(UVI(3,1:end),UVI(2,1:end),UVI(1,1:end))
xlabel('I (V)');ylabel('Uc1 (V)');zlabel('Uc2 (V)');

经验证：该代码的执行效率比四阶龙格库塔数值积分法要高，但初始精度稍差。
（2）数值仿真结果：
改变G的值，当G=0.7时，数值仿真出现双吸引子：
Uc1-Uc2图
使用matlab的Plot3可以做出I-Uc1-Uc2的三维图：

I-Uc1-Uc2图
同时可以使用Plot做出I、Uc1和Uc2对时间的曲线：

改变G值，使G=0.35，数值仿真出现单吸引子：

Uc1-Uc2图
使用matlab的Plot3可以做出I-Uc1-Uc2的三维图：

同时可以使用Plot做出I、Uc1和Uc2对时间的曲线：

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104. 基于ADμC841单片机的防爆软起动综合控制器的研究
105. 基于单片机控制的井下低爆综合保护系统的设计
106. 基于单片机的空调器故障诊断系统的设计研究
107. 单片机实现的寻呼机编码器
108. 单片机实现的鲁棒MRACS及其在液压系统中的应用研究
109. 自适应控制的单片机实现方法及基上隅角瓦斯积聚处理中的应用研究
110. 基于单片机的锅炉智能控制器的设计与研究
111. 超精密机床床身隔振的单片机主动控制
112. PIC单片机在空调中的应用
113. 单片机控制力矩加载控制系统的研究
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