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第4讲 函数与方程
★知识梳理
一、函数的零点
方程的实数根又叫做函数的零点。
方程有实根函数的图像与x轴有交点函数有零点；
②如果函数在区间上的图像是连续不断的，且有，则函数在区间上有零点。
二、二分法
1．如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，且，通过不断地把函数的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
2．给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：
（1）确定区间，验证，给定精度；
（2）求区间的中点；
（3）计算：①若，则就是函数的零点；②若，则令（此时零点）；③若，则令（此时零点
）
（4）判断是否达到精度；
即若，则得到零点值（或）；否则重复步骤（2）-（4）
★重、难点突破
重点：函数零点的概念，掌握用二分法求函数零点的近似值
难点：用二分法求函数的零点近似值
重难点：1．函数零点的理解
函数的零点、方程的根、函数的图像与x轴交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就是函数的零点的个数，亦即函数的图像与x轴交点的个数
变号零点与不变号零点
①若函数在零点左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点
②若函数在零点左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数的不变号零点
③若函数在区间上的图象是一条连续的曲线，则是在区间内有零点的充分不必要条件。
用二分法求曲线交点的坐标要注意两个问题
（1）曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根
（2）求曲线和的交点的横坐标，实际上就是求函数的零点，即求方程的根
3．关于用二分法求函数的零点近似值的步骤须注意的问题：
（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②的值比较容易计算且
；
（2）根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程根是等价的。对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即方程的根。
★热点考点题型探析
考点1 零点的求法及零点的个数
题型1：求函数的零点.
[例1] 求函数的零点.
[解题思路]求函数的零点就是求方程的根
[解析]令 ，∴
∴，∴
即函数的零点为-1，1，2。
[名师指引] 函数的零点不是点，而是函数函数的图像与x轴交点的横坐标，即零点是一个实数。
题型2：确定函数零点的个数.
[例2] 求函数f(x)=lnx＋2x －6的零点个数.
[解题思路]求函数f(x)=lnx＋2x －6的零点个数就是求方程lnx＋2x －6=0的解的个数
[解析]方法一：易证f(x)= lnx＋2x －6在定义域上连续单调递增，
又有，所以函数f(x)= lnx＋2x －6只有一个零点。
方法二：求函数f(x)=lnx＋2x －6的零点个数即是求方程lnx＋2x －6=0的解的个数
即求的交点的个数。画图可知只有一个。
[名师指引]求函数的零点是高考的热点，有两种常用方法：
①（代数法）求方程的实数根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点．
题型3：由函数的零点特征确定参数的取值范围
[例3] (2007·广东)已知a是实数,函数,如果函数在区间上有零点，求a的取值范围。
[解题思路]要求参数a的取值范围，就要从函数在区间上有零点寻找关于参数a的不等式（组），但由于涉及到a作为的系数，故要对a进行讨论
[解析] 若 , ,显然在上没有零点, 所以 .
令 , 解得
①当 时, 恰有一个零点在上;
②当，即时，在
上也恰有一个零点.
③当在上有两个零点时, 则
或
解得或
综上所求实数的取值范围是 或 .
[名师指引]①二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，也是高考热点，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键.
②二次函数f（x）=ax2+bx+c的图像形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据.
[新题导练]
1．（09年浙江五校联考）函数有且仅有一个正实数的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．；B．；C．；D．
[解析] B；依题意得（1）或（2）或
（3）
显然（1）无解；解（2）得；解（3）得
又当时，它显然有一个正实数的零点，所以应选B
2．（中山市09届统测）方程的实数解的个数为 _______
[解析] 2；在同一个坐标系中作函数及的图象，发现它们有两个交点
故方程的实数解的个数为2
考点2 用二分法求方程的近似解
[例4]（斗门一中09届模拟）利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：

0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
3.4
…

1.149
1.516
2.0
2.639
3.482
4.595
6.063
8.0
10.556
…

0.04
0.36
1.0
1.96
3.24
4.84
6.76
9.0
11.56
…
那么方程的一个根位于下列区间的（ ）.
A.（0.6，1.0）；B.（1.4，1.8）；C.（1.8，2.2）；D. （2.6，3.0）
[解题思路]判断函数在各个区间两端点的符号
[解析]由，，故排除A；
由，，故排除B；
由，，故可确定方程的一个根位于下列区间（1.8，2.2），所以选择C
[名师指引]用二分法求方程的近似解的关键是先寻找使得函数在两端点异号的某区间，然后依次取其中点，判断函数在中点的符号，接着取两端函数值异号的区间作为新的区间，依次进行下去，就可以找到符合条件的近似解。
[新题导练]
3．用二分法研究函数的零点时，第一次经计算，，可得其中一个零点 ，第二次应计算 ，这时可判断
[解析] ，，；由二分法知，这时
，故
考点3 根的分布问题
[例4] 已知函数f（x）=mx2+（m－3）x+1的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围
[解题思路]由于二次函数的图象可能与x轴有两个不同的交点，应分情况讨论
[解析]（1）若m=0，则f（x）=－3x+1，显然满足要求.
（2）若m≠0，有两种情况：
原点的两侧各有一个，则m＜0；
都在原点右侧，则
解得0＜m≤1，综上可得m∈（－∞，1］.
[名师指引]二次方程根的分布是高考的重点和热点，需要熟练掌握有关二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的分布有关的结论：
①方程f（x）=0的两根中一根比r大，另一根比r小a·f（r）＜0.
②二次方程f（x）=0的两根都大于r
③二次方程f（x）=0在区间（p，q）内有两根
④二次方程f（x）=0在区间（p，q）内只有一根f（p）·f（q）＜0，或f（p）=0，另一根在（p，q）内或f（q）=0，另一根在（p，q）内.
⑤方程f（x）=0的两根中一根大于p，另一根小于q（p＜q）
[新题导练]
3．已知二次函数f(x)=4x2－2(p－2)x－2p2－p+1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c,使f(c)>0,则实数p的取值范围是_________.
[解析] (－3，） 只需f(1)=－2p2－3p+9>0或f(－1)=－2p2+p+1>0
即－3＜p＜或－＜p＜1.∴p∈(－3, ).
4．若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求实数k的取值范围.
[解析] ；令，则依题意得
，即，解得
5.(2007·韶关)若关于x的方程4x+2x a+a+1=0有实数根，求实数a的取值范围.
[解析]令t=2x， t>0关于x的方程4x+2x a+a+1=0有实数根等价于方程t2+at+a+1=0(t>0)有正实数根,令f(t)= t2+at+a+1，且故方程t2+at+a+1=0(t>0)有正实数根等价于（1）方程有一个正根一个负根：由f(0)<0,得a<-1
（2）方程有两个相等的正数根：由
（3）方程有两个不相等的正数根或有一个零根一个正根时：
由
求（1）（2）（3）的并集，得实数a的取值范围：
[备选例题] （佛山市三水中学09届）下图是函数
和图象的一部分,其中
时,两函数值相等.
(1)给出如下两个命题:①当时,;
②当时,.判断命题①②的真假并说明理由.
(2)求证:
[解析](1) 命题①是假命题,反例:,则,但是
,不成立.
命题②是真命题,因为在上是减函数,函数在上是增函数,所以当时,.
(2)构造函数,则,所一在区间有零点.有因为在区间是增函数,所以在区间有唯一个零点,即,所以.
★抢分频道
基础巩固训练：
1.（深圳九校09届联考）下图是函数的图像，
它与轴有个不同的公共点.给出下列四个区间，
不能用二分法求出函数在区间（ ）上的零点
A．；B．
C．；D．
[解析] B；由于用二分法判断函数在区间上有零点的必要条件是
，而从图可以看出，在区间 的两端的符号相同，故不能
用二分法求出函数在这个区间上的零点
2．（华侨中学09届月考）设函数与的图象的交点为，则所在的区间是（ ）
A．；B．；C．；D．
[解析] B；令，则，，，可见所在的区间是
3．方程2x=2－x的解的个数为___________.
[解析]1；方程2x=2－x的解可看作函数y=2x和y=2－x的图象交点的横坐标,分别作出这两个函数图象（如下图）.

由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解.
4．（湛江市09年高三统考）方程的解所在区间是（ ）
A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）
[解析] A；令，则，，所以方程的解所在区间是（0，1）
5．（金山中学09届月考）用二分法求方程在区间上的近似解，取区间中点，那么下一个有解区间为　　　　　
[解析] ；令，则
，故下一个有解区间为
6．（09年韶关市第一次调研考）已知函数，若实数是方程的解，且，则
的值（ ）
A．恒为正值；B．等于零；C. 恒为负值； D.不大于零
[解析] A．在同一坐标系中作出函数和的图象，发现，并且当时，
综合提高训练：
7．（09年深圳宝安中学） 定义域和值域均为[-a,a] (常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题中：
(1) 方程f[g(x)]=0有且仅有三个解； (2) 方程g[f(x)]=0有且仅有三个解；
(3) 方程f[f(x)]=0有且仅有九个解； (4)方程g[g(x)]=0有且仅有一个解。
-a
a
x
y
y=g(x)
O
a
-a
-a
a
x
y
y=f(x)
O
a
-a
那么，其中正确命题的个数是（ )
A． 1;B. 2;C. 3; D. 4

[解析] B；由图可知，，，由左图及f[g(x)]=0得
，，，由右知方程f[g(x)]=0有且仅有三个解，即(1)正确；由右图及g[f(x)]=0得，由左图知方程g[f(x)]=0有且仅有一个解，故(2)错误；由左图及f[f(x)]=0得，，，又由左图得到方程f[f(x)]=0最多有三个解，故(3)错误；由右图及g[g(x)]=0得，由右图知方程g[g(x)]=0有且仅有一个解，即(4)正确，所以应选择B
8．（2008·惠州调研）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）.
A．1.2; B．1.3;C．1.4 ; D．1.5
9．已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.
(1)若方程有两根,其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.
(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.
[解析](1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得

∴.
(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组

(这里0<－m<1是因为对称轴x=－m应在区间(0，1)内通过)

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