青海省青海师大附属第二中学高一数学对数函数及其性质学案.doc

研卷知古今；藏书教子孙。
青海省青海师大附属第二中学高一数学

课时一：
一、教学要求：通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型.能够用描点法画出对数函数的图象.能根据对数函数的图象和性质进行值的大小比较.培养学生数形结合的意识.用联系的观点分析问题.
二、教学重点：对数函数的图象和性质
三、教学难点：对数函数的图象和性质及应用
四、教学过程：
（一）、复习准备：
1、对数概念：若ab=N,⇔则有b=logaN (常用对数lgN,自然对数lnN)Þ负数和零没有对数。
2、对数的运算性质：(换底公式的应用）：①loga1=0； ② logaa=1； ③=_____； ④logab·logbc=____； ⑤ logab·logba=____； ⑥=___; ⑦loga(M·N)=____； ⑧loga()= _______； ⑨logaNb=____
（二）、讲授新课：
1.教学对数函数的图象和性质：
① 定义：一般地，当a＞0且a≠1时，函数叫做对数函数(logarithmic function).
自变量是x； 函数的定义域是（0，+∞）
② 辨析： 对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制 ，且．
③ 探究：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？
名称
指数函数
对数函数
一般解析式
y=ax (a>0,a≠1)
y=logax (a>0,a≠1)
定义域

值域

当a>1时的图像
①注意特殊点、单调性、变化范围等。
②同一坐标系中两个图像时底数的确定方法。
当0<a<1时的图像
两者的关系

2. 教学例题
① 出示P71：例7．求下列函数的定义域：； ；
② 出示P72：例8. 比较大小：；；
课堂练习：P73：题1、2、3；P74：练习题：7、8、9
课时二|：
一、教学要求：了解对数函数在生产实际中的简单应用.进一步理解对数函数图象和性质;学习反函数的概念,理解对数函数和指数函数互为反函数,能够在同一坐标上看出互为反函数的两个函数的图象性质.
二、教学重点与难点：理解反函数的概念
三、教学过程：
（一）、复习准备：
提问：对数函数的图象和性质？
（二）、讲授新课：
1. 教学对数函数模型思想及应用:
出示P72：例题9：溶液酸碱度的测量问题：溶液酸碱度pH的计算公式，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升. （Ⅰ）分析溶液酸碱读与溶液中氢离子浓度之间的关系？ （Ⅱ）纯净水摩尔/升，计算纯净水的酸碱度.
2．反函数的教学:
①、 分析：函数由解出，是把指数函数中的自变量与因变量对调位置而得出的. 习惯上我们通常用x表示自变量，y表示函数，即写为.那么我们就说指数函数与对数函数互为反函数
②、在同一平面直角坐标系中，画出指数函数及其反函数图象，发现什么性质？
③、 探究：如果在函数的图象上，那么P0关于直线的对称点在函数图象上吗，为什么？由上述过程可以得到什么结论？(互为反函数的两个函数的图象关于直线对称)
（三）、巩固练习：
1.求下列函数的反函数： y=(x∈R)； y= (a＞0,a≠1,x＞0)
2．己知函数的图象过点（1，3）其反函数的图象过（2，0）点，求的表达式.
（四）、提高练习：
★1题.（1）证明函数在上是增函数（可利用复合函数法去处理）。（2）、探究：函数在上是减函数还是增函数？（可利用偶函数的性质去处理）。
2. 求函数的单调区间．（强调：复合函数的单调性：同增异减，注意利用图象处理）
（五）、巩固补充练习
1.比较大小： ；
2．已知恒为正数，求的取值范围．
3．求函数的定义域及值域．
4．函数在[2，4]上的最大值比最小值大1，求的值；
5. 求函数的最小值．
6. 求下列函数的反函数：
； ； ；
（六）、课后提高作业
1．求的单调递增区间；
2．已知在[0，1]上是的减函数，求的取值范围
（七）相关高考题摘录（供课时选择之用）：
★【例题1】函数的定义域为（ A ）
A．（1，2）∪（2，3）B．C．（1，3）D．[1，3]
【★题3】函数¦（x）=的定义域为____(｛x|1<x≤2｝)
【★题4】函数y= 的单调递增区间为___([2,6)注意6是达不到的)
【★题5】函数y=lg(mx2-4mx+m+3)；①当定义域为R时，求m的取值范围； ②当值域为R时，求m的取值范围。 解、①{m|0≤m<1} ②{m|m≥1 或m<0}
【★题8】解不等式log2(-x)<x+3的解集为( D )
A （-∞,-1） B （-∞,-2） C （-1,0） D （-2,0）
★【例题9】设则（ ）
（A） （B） （C） （D）
解： 则，选A.
※ 【★题11】如图中的曲线是对数函数y=logax 的图象,已知a取, , ,四个值,则相应于曲线c1,c2,c3,c4 的a之值依次为_________
※ 【★题12】设a>0,a≠1,函数¦（x）=,g（x）=1+loga(x-1)
① 求 ¦（x） 和 g（x）的定义域的公共部分D,并判定¦（x）在D内的单调性；若[m,n]ÜD,且¦（x）在[m,n]上的值域恰好为[g（n）, g（m）],求a的取值范围
解、① >0
x-1>0 Þx>3 则D=｛x|x>3｝；②当0<a<1时, ¦（x）为↘;当a>1时, ¦（x）为↗
③由g（n）< g（m）则loga(n-1)< loga(m-1) 而m<n,则0<a<1,故¦（x）为↘
则¦（n）= g（n）, ¦（m）= g（m）其中3<m<n,故方程¦（x）= g（x）有两个大于3的不同实根,⇔ =1+loga(x-1)有大于3的两个实根⇔方程ax2+(2a-1)x+3(1-a)=0有两个大于3的实根⇔
△ >0
>3
0<a<1
a·32+(2a-1)·3+3(1-a)>0 ∴0<a<为所求
（七）、课后巩固练习（供选择之用）：
★【题1】已知，则（ D ）
(A) n＜m ＜ 1 (B) m＜n＜ 1 (C) 1＜ m＜n (D) 1 ＜n＜m
★【题2】设f(x)＝，则的定义域为（B）
A. B.(－4,－1)(1，4) C. (－2,－1)(1，2) D. (－4,－2)(2，4)
★【题5】方程的解为．
解：Û；即解得（负值舍去）
★【题7】 函数的反函数是（ D ）
A． B．
C． D．
8．已知是（-，+）上的增函数，那么a的取值范围是
（A）(1，+) （B）(-,3) (C)[，3) (D)(1,3)
解：依题意，有a>1且3－a>0，解得1<a<3，又当x<1时，（3－a）x－4a<3－5a，当x³1时，logax³0，所以3－5a£0解得a³，所以1<a<3故选D
9．（福建卷）已知是周期为2的奇函数，当时，设则（A）　　　（B）　　　（C）　　　（D）
解：已知是周期为2的奇函数，当时，设，，<0，∴，选D.
11．（辽宁卷）与方程的曲线关于直线对称的曲线的方程为
(A) (B) (C) (D)
解：，，即：，所以，故选择答案A。
12．（全国卷I）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则
A、 B、 C、 D．
解：函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以是的反函数，即=，∴ ，选D.

13．（全国II）函数y＝f(x)的图像与函数g(x)＝log2x(x＞0)的图像关于原点对称，则f(x)的表达式为
(A) f(x)＝(x＞0) (B ) f(x)＝log2(－x)(x＜0) (C) f(x)＝－log2x(x＞0) (D) f(x)＝－log2(－x)(x＜0)
解析：(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y),所以 选D
本题主要考察对称的性质和对数的相关性质,比较简单,但是容易把与搞混,其实
14.（山东卷）设(A)0 　(B)1 (C)2 (D)3
解：f（f（2））＝f（1）＝2，选C

15.(陕西卷)设函数f(x)=loga(x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(2,1),其反函数的图像过点(2,8),则a+b等于( )A.6 B.5 C.4 D.3
解析：函数f(x)=loga(x+b)(a>0，a≠1)的图象过点(2，1)，其反函数的图象过点(2，8)，
则，∴，或(舍)，b=1，∴a+b=4，选C．
20.（辽宁卷）设则__________【解析】.
21.（辽宁卷）方程的解为 ________
解：Û，即解得（负值舍去），所以。
22.(上海卷)若函数＝（＞0，且≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则＝ ．
解：由互为反函数关系知，过点，代入得：；
23.(上海卷)方程的解是_______.
解：方程的解满足，解得x=5.
25.(重庆卷)设，函数有最小值，则不等式的解集为 。
解：由，函数有最小值可知a>1，所以不等式可化为x－1>1，即x>2.
26.（上海春）方程的解 .
解：由log3(2x-1)，化为同底数的对数，得log3(2x-1)=log33，2x-1=3 ，即 x=2 ．从而应填2.
27、（04年湖南文科）若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_______.（0，1/2）