八年级第三章3.4平行四边形(第2课时)(顾厚春).doc

苏科版教学案 八年级第三章 3.4平行四边形（第2课时）顾厚春
§3.4平行四边形（第2课时）审核人：夏建平
【目标导航】
1.探索并掌握平行四边形的判定条件；
2.能利用平行四边形的判定方法解决有关问题．
【要点梳理】
1.平行四边形的判定方法：
（1）（定义）两组对边分别 的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别 的四边形是平行四边形；
（3）一组对边 的四边形是平行四边形；
（4）两组对角分别 的四边形是平行四边形；
（5）两条对角线 的四边形是平行四边形．
2. 平行四边形的作图：用尺规作图作一个平行四边形，比较简便的方法是：（1）利用两组对边分别 来作；（2）利用对角线 来作．
【问题探究】
知识点1：平行四边形的判定方法
例1．（2010·四川成都）已知四边形，有以下四个条件：①；②；③；④．从这四个条件中任选两个，能使四边形成为平行四边形的选法种数共有（ ）
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
【变式】（2010·湖南衡阳）在如图所示的四边形ABCD中，已知AB∥CD，要使它为平行四边形，在不添加
任何辅助线的前提下，还需添加一个条件，这个条件是______________.

（图3.4-2-1）
例2．如图3.4-2-1，在□ABCD中，P1、P2是对角线BD的三等分点，四边形AP1CP2是平行四边形吗？为什么？

（图3.4-2-2）
【变式】（2010·江苏宿迁）如图，在□ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE＝CF．求证：∠EBF=∠FDE．

（图3.4-2-3）
知识点2：平行四边形的作图
例3．（2010·浙江绍兴）如图3.4-2-4,已知△ABC,分别以A、C为圆心,BC、AB长为半径画弧,两弧在直线BC上方交于点D,连结AD,CD.则有 ( )
A.∠ADC与∠BAD相等 B.∠ADC与∠BAD互补 C.∠ADC与∠ABC互补 D.∠ADC与∠ABC互余

（图3.4-2-4）

【变式】（2010•宁夏）点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有 （ ）
A．1个 B．2个 C.3个 D．4个

知识点3：构造平行四边形解决问题
例4．如图3.4-2-5，平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，E、G分别为OA、OC的中点，过点O任作一直线交AD于H，交BC于F.线段 EF与GH有何关系？说明理由.
【点拨】通过观察，容易猜想线段EF与GH的数量关系是相等，位置关系是平行，而要证明EF与GH平行且相等，可考虑证明连接EH、FG,证明四边形EFGH为平行四边形.

（图3.4-2-5）
【变式】请利用构造平行四边形的方法解决下列问题：
如图，AD是△ABC的边BC上的中线，求证：.

（图3.4-2-6）
【课堂操练】
1.在四边形ABCD中，AD=BC，若ABCD是平行四边形，则还应满足 （ ）
A.∠A+∠C=180° B.∠B+∠D=180° C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠D=180°
2.（2010·湖南郴州）已知：如图，把△ABC 绕边BC 的中点O旋转得到△DC B.
求证：四边形ABDC 是平行四边形.

（图3.4-2-7）
3.如图，在□ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别是E、F，四边形AECF是平行四边形吗？为什么？

（图3.4-2-8）

4.（2010山东东营） 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点.
求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形BFDE是平行四边形.

（图3.4-2-9）
【每课一测】
（完成时间：45分钟，满分：100分）
一、选择题（每题5分，共25分）
1．下列两个图形，一定可以组成平行四边形的是 （ ）
A．两个等腰三角形 B. 两个直角三角形 C. 两个锐角三角形 D. 两个全等三角形
2．能确定四边形是平行四边形的条件是 （ ）
A.一组对边平行，另一组对边相等 B. 一组对边平行，一组对角相等
C.一组对边平行，一组邻角相等 D. 一组对边平行，两条对角线相等
3．下列条件中，能使四边形ABCD成为平行四边形的是 （ ）
A．∠A:∠B:∠C:∠D=1:2:3:4 B. ∠A:∠B:∠C:∠D=1:1:2:2
C. ∠A:∠B:∠C:∠D=1:2:2:1 D. ∠A:∠B:∠C:∠D=1:2:1:2
4．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD交于O，点E、F分别在OA、OC上，则下列四个条件中，满足该项条件不一定能证明四边形BEDF是平行四边形的为 （ ）
A.AE=CF B.∠ADE=∠CBF C.DE=BF D.∠AED=∠CFB

（第4题图） （第5题图） （第7、8题图） （第9题图）
5．（2009·山东威海）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连结DE并延长，交AB的延长线于F点，．
添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是 （　 　）
A． B． C． D．

二、填空题（每题5分，共25分）
6．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,若OA=OC、OB=OD,则四边形ABCD是______ ____,根据是________________ _____．
7．（2009·湖南郴州）如图，在四边形中，已知，再添加一个条件___________（写出一个即可），则四边形是平行四边形．(图形中不再添加辅助线) ．
8．（2010·湖南常德）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则可添加的条件为_________________.(填一个即可) ．
9．在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC=6cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C出发向B运动， 秒后四边形ABQP是平行四边形．
10．已知四边形ABCD中，AB = 6，BC = 8，∠A =，∠B =，∠C =，则AD的长为 ．

三、解答题（每题10分，共50分）
11．（2010·福建晋江）（8分）如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形
是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）
关系：①∥，②，③，④．
已知：在四边形中，　　　　　，　　　　　；
求证：四边形是平行四边形．

（第11题图）

12．（2010·贵州贵阳）已知，如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．
（1）求证：△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．

（第12题图）

13．（2009·湖南株洲）如图，在中，，，将绕点沿逆时针方向旋转得到．
（1）线段的长是 ，的度数是 ；
（2）连结，求证：四边形是平行四边形；
（3）求四边形的面积．

（第13题图）

14．（2010·湖北恩施）如图，已知，在□ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．
求证：四边形MFNE是平行四边形．

（第14题图）

15.请利用构造平行四边形的方法解决下列问题：
如图，AD为△ABC的中线，E为AC上一点，连结BE交AD于F，且AE＝FE.
求证：BF＝AC.

（第15题图）

§3.4平行四边形（第2课时） 参考答案
【要点梳理】
1.（1）平行；（2）相等；（3）平行且相等；（4）相等；（5）互相平分．
2．（1）相等；（2）互相平分．
【问题探究】
例1．C．
【变式】答案不唯一，AD∥BC；AD=BC；∠A=∠C；∠B=∠D.（填一个即可.）
例2．解：四边形AP1CP2是平行四边形，理由如下：
证法一：在□ABCD中，
∵BP1=P1P2=DP2，
∴BP2=DP1,
∵AB∥DC,
∴∠ABP2=∠CDP1,
又∵AB=DC,
∴△ABP2≌△CDP1(SAS),
∴AP2=CP1, ∠AP2B=∠CP1D,
∴AP2∥CP1,
∴四边形AP1CP2是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
证法二：连接AC，交BD于点O,
在□ABCD中，∵OB=OD，BP1=DP2，∴OP1=OP2，
又∵OA=OC，
∴四边形AP1CP2是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形) ．

【变式】证明：连接BD交AC于O点

∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ OA＝OC，OB＝OD
又∵ AE＝CF
∴ OE＝OF
∴ 四边形BEDF是平行四边形 ，
∴ ∠EBF=∠EDF．
例3．根据条件画出图形即可知道四边形ABCD为平行四边形，所以∠ADC与∠BAD互补，故选B.
【变式】C．
例4．解：EF=GH，且EF∥GH，理由如下：
连接EH、FG，在平行四边形ABCD中，
∵AD∥BC,∴∠OBF＝∠ODH，
又∵OB＝OD，∠BOF＝∠DOH，
∴△BOF≌△DOH（AAS），
∴OF＝OH，

又∵OA=OC, OE＝OA,＝OC,
∴OE＝OG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∴EF=GH，EF∥GH.
【变式】证明：延长AD到E，使DE=AD，连接BE、EC，
∵DE=AD，BD=CD，
∴四边形ABEC是平行四边形
∴BE=AC,

在△ABE中，AE<AB+BE,
即2AD<AB+AC,
∴.
【课堂操练】
1.C.
2.证明：因为 △DC B是由△ABC 旋转所得
所以点A、D，B、C 关于点O中心对称
所以OB=OC OA=OD
所以四边形ABC D是平行四边形
（注：还可以利用旋转变换得到AB=C D ，AC =BD相等；或证明△DC B≌△ABC 证ABC D是平行四边形）
3.解：是平行四边形，理由如下：在□ABCD中，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF,∠AEB=∠CFD=,
∵AB∥CD,∴∠ABE=∠CDF,
又∵AB=CD,∴△ABE≌△CDF(AAS),∴AE=CF,
∴四边形AECF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
4.证明:（1）在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB.
又点E，F分别是AD，BC的中点.
∴AE=CF,
∵,
∴△ABE≌△DCF (边，角，边)
（2）在平行四边形BFDE中，
∵△ABE≌△DCF ,
∴BE=DF.
又点E，F分别是AD，BC的中点.
DE=BF,
四边形BFDE是平行四边形.
【每课一测】
一、选择题（每题5分，共25分）
1．D.
2．B.
3．D.
4．C.
5．D．
二、填空题（每题5分，共25分）
6．平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形．
7．AB∥CD,或AD=BC，或∠A+∠D=，∠B+∠C=等．
8．AB＝CD或∠A＝∠C或AD∥BC或∠A+∠B=，∠D+∠C=等．
9．2．
10．14．
三、解答题（每题10分，共50分）
11．已知：①③，①④，②④，③④均可,其余均不可以.
已知：在四边形中，①∥，③.
求证：四边形是平行四边形．
证明：∵ ∥,∴，
∵，∴
∴四边形是平行四边形．
12．（1）∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC.在△AFD和△CEB中
∵DF＝BE，∠DFA＝∠BEC，AF＝CE. ∴△AFD≌△CEB（SAS）；
（2）是平行四边形.∵△AFD≌△CEB，∴AD＝CB， ∠DAF＝∠BCE.
∴AD∥CB.∴四边形ABCD是平行四边形.
13．（1）6，135°；
（2）， ∴
又，∴四边形是平行四边形．
(3) 36．
14．证明：由平行四边形可知，AB=CD，∠DAE=∠BCF，
又∵AF=CF. ∴△BAE≌△DCF,∴BE=DF，∠AEB=∠CDF
又∵M、N分别是BE、DF的中点，∴ME=NF
又由AD∥BC，得∠ADF=∠DFC,∴∠ADF=∠BEA, ∴ME∥NF
∴四边形MFNE为平行四边形．
15.证明：延长AD至N，使DN＝AD，连结BN、CN，则四边形ABNC为平行四边形，

所以BN＝AC，BN∥AC，∠1＝∠4.
因为AE＝FE，所以∠1＝∠2.
因为∠2＝∠3，∠1＝∠4，所以∠3＝∠4，所以BN＝BF.
所以BF＝AC.
中国在发展自身经济的同时，带动了沿线周边，为他们带去了先进的高铁技术、制造业技术以及优秀的中华文化，创造了更多就业岗位，拉动了当地GDP，为世界各国的经济发展起到了强大的推动作用。第7页