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整式的乘除与二元一次方程

整式的乘除与二元一次方程
一．选择题(共6小题）
1．（2013•台湾）下列何者是22x7﹣83x6+21x5的因式？（　　）

A．
2x+3
B．
x2（11x﹣7)
C．
x5(11x﹣3）
D．
x6（2x+7）

2．(2013•台湾)若A=101×9996×10005，B=10004×9997×101,则A﹣B之值为何？（　　)

A．
101
B．
﹣101
C．
808
D．
﹣808

3．(2013•台湾）若一多项式除以2x2﹣3，得到的商式为7x﹣4，余式为﹣5x+2，则此多项式为何?（　　）

A．
14x3﹣8x2﹣26x+14
B．
14x3﹣8x2﹣26x﹣10

C．
﹣10x3+4x2﹣8x﹣10
D．
﹣10x3+4x2+22x﹣10

4．(2011•台湾）若多项式2x3﹣10x2+20x除以ax+b，得商式为x2+10,余式为100，则之值为何？（　　）

A．
0
B．
﹣5
C．
﹣10
D．
﹣15

5．（2001•天津）某商品原价为100元,现有下列四种调价方案，其中0＜n＜m＜100，则调价后该商品价格最低的方案是(　　）

A．
先涨价m%，再降价n％
B．
先涨价n％，再降价m%

C．
行涨价%，再降价%
D．
先涨价％，再降价%

6．(1997•甘肃）把二次三项式x2﹣3x+4分解因式，结果是（　　)

A．
（x+）(x+2）
B．
（x﹣）（x﹣2）
C．
(x+)2
D．
（x﹣）2

二．填空题(共6小题）
7．若关于x，y的二元二次方程：x2+2xy+8y2+14y+m=0（其中m为常数）表示两条直线，则常数m的值为　_________　．

8．已知a+2b+3c+4d=30,a2+b2+c2+d2=30．则ab+bc+cd+da的值是　_________　．

9．△ABC的三边为a，b,c且满足条件：a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断三角形的形状．
解：因为a2c2﹣b2c2=a4﹣b4①，c2(a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）②，所以c2=a2+b2③,所以△ABC为直角三角形④．上述解答过程中，代码　_________　出现错误;正确答案应为△ABC是　_________　三角形．

10．248﹣1能够被60～70之间的两个数整除，则这两个数是　_________　．

11．已知x2+y2+z2﹣2x+4y﹣6z+14=0,则（x﹣y﹣z）2002=　_________　．

12．在△ABC中，若c4﹣2(a2+b2)c2+a4+a2b2+b4=0,则∠C=　_________　．

三．解答题(共7小题）
13．题目:“分解因式：x2﹣120x+3456．”
分析：由于常数项数值较大，则常采用将x2﹣120x变形为差的平方的形式进行分解，这样简便易行．
解：x2﹣120x+3456=x2﹣2×60x+602﹣602+3456
=（x﹣60）2﹣144=(x﹣60）2﹣122=（x﹣60+12）(x﹣60﹣12）
=（x﹣48）（x﹣72）．
通过阅读上述题目，请你按照上面的方法分解因式：x2﹣140x+4875．

14．已知：，求代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值．

15．已知a、b、c为△ABC三边的长．
（1)求证：a2﹣b2+c2﹣2ac＜0．
（2）当a2+2b2+c2=2b（a+c）时,试判断△ABC的形状．

16．已知2x2+x﹣5=0，求代数式6x3+7x2﹣13x+11的值．

17．设3x3﹣x=1，求9x4+12x3﹣3x2﹣7x+2001的值．

18．解下列方程组：
(1)
（2）
（3）

19．某水库共有6个相同的泄洪闸,在无上游洪水注入的情况下,打开一个水闸泄洪使水库水位以a米/时匀速下降．某汛期上游的洪水在未开泄洪闸的情况下使水库水位以b米/时匀速上升，当水库水位超警戒线^米时开始泄洪．
（1）如果打开n个水闸泄洪x小时，写出表示此时相对于警戒线的水面高度的代数式;
(2）经考察测算，如果只打开一个泄洪闸，则需30个小时水位才能降至警戒线；如果同时打开两个泄洪闸,则需10个小时水位才能降至警戒线．问该水库能否在3个小时内使水位降至警戒线？

整式的乘除与二元一次方程
参考答案与试题解析

一．选择题(共6小题）
1．(2013•台湾）下列何者是22x7﹣83x6+21x5的因式？(　　）

A．
2x+3
B．
x2（11x﹣7）
C．
x5（11x﹣3）
D．
x6（2x+7）

考点：
因式分解—十字相乘法等;因式分解—提公因式法．3677407
专题：
计算题．
分析：
已知多项式提取公因式化为积的形式，即可作出判断．
解答：
解：22x7﹣83x6+21x5=x5（22x2﹣83x+21）=x5（11x﹣3)(2x﹣7),
则x5（11x﹣3）是多项式的一个因式．
故选C
点评：
此题考查了因式分解﹣十字相乘法与提公因式法,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

2．(2013•台湾)若A=101×9996×10005，B=10004×9997×101，则A﹣B之值为何？（　　)

A．
101
B．
﹣101
C．
808
D．
﹣808

考点：
因式分解的应用．3677407
分析：
先把101提取出来,再把9996化成（10000﹣4)，10005化成（10000+5）,10004化成（10000+4），9997化成（10000﹣3），再进行计算即可．
解答：
解：∵A=101×9996×10005，B=10004×9997×101,
∴A﹣B=101×9996×10005﹣10004×9997×101
=101［（10000﹣4)（10000+5）﹣（10000+4）（10000﹣3）]
=101（100000000+10000﹣20﹣100000000﹣10000+12）
=101×（﹣8)
=﹣808；
故选D．
点评：
此题考查了因式分解的应用，解题的关键是提取公因式，把所给的数都进行分解，再进行计算．

3．（2013•台湾）若一多项式除以2x2﹣3，得到的商式为7x﹣4，余式为﹣5x+2，则此多项式为何?（　　)

A．
14x3﹣8x2﹣26x+14
B．
14x3﹣8x2﹣26x﹣10

C．
﹣10x3+4x2﹣8x﹣10
D．
﹣10x3+4x2+22x﹣10

考点：
整式的除法．3677407
专题：
计算题．
分析:
根据题意列出关系式,计算即可得到结果．
解答：
解：根据题意得：（2x2﹣3)（7x﹣4）+（﹣5x+2)=14x3﹣8x2﹣21x+12﹣5x+2=14x3﹣8x2﹣26x+14．
故选A
点评：
此题考查了整式的除法，涉及的知识有：多项式乘多项式法则，去括号法则，以及合并同类项法则,熟练掌握运算法则是解本题的关键．

4．（2011•台湾)若多项式2x3﹣10x2+20x除以ax+b,得商式为x2+10,余式为100，则之值为何?（　　）

A．
0
B．
﹣5
C．
﹣10
D．
﹣15

考点:
整式的除法．3677407
专题：
计算题．
分析:
根据被除式=除式×商式+余式计算即可．
解答：
解：由题意可知，可整除（2x3﹣10x2+20x）÷（ax+b）=x2+10+100，
整理得：2x3﹣10x2+20x=ax3+110ax+bx2+110b,
∴a=2，b=﹣10，
∴==﹣5,
故选B．
点评：
本题考查了整式的除法,用到的知识点:被除式=除式×商式+余式．

5．（2001•天津）某商品原价为100元，现有下列四种调价方案，其中0＜n＜m＜100,则调价后该商品价格最低的方案是（　　）

A．
先涨价m％，再降价n%
B．
先涨价n％，再降价m%

C．
行涨价％，再降价%
D．
先涨价%，再降价%

考点:
整式的混合运算．3677407
专题：
应用题；压轴题．
分析：
解此题可将四个选项的内容一一代入，然后比较大小即可．
解答：
解：经过计算可知
A、100（1+m％)（1﹣n%）;
B、100（1+n％）（1﹣m%）;
C、100（1+％）（1﹣%）；
D、100（1+％）（1﹣%）．
∵0＜n＜m＜100，
∴100（1+n%）(1﹣m%)最小．
故选B．
点评：
此题考查的是整式的运算，通过选项将数代入,然后比较大小．

6．(1997•甘肃)把二次三项式x2﹣3x+4分解因式,结果是（　　）

A．
（x+）（x+2）
B．
(x﹣)(x﹣2）
C．
（x+)2
D．
（x﹣）2

考点：
因式分解—十字相乘法等．3677407
专题：
计算题．
分析：
利用十字相乘法分解即可．
解答:
解:x2﹣3x+4=（x﹣）（x﹣2）．
故选B
点评：
此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．

二．填空题（共6小题)
7．若关于x，y的二元二次方程：x2+2xy+8y2+14y+m=0（其中m为常数）表示两条直线，则常数m的值为　7　．

考点：
因式分解的应用．3677407
分析:
首先由关于x，y的二元二次方程:x2+2xy+8y2+14y+m=0（其中m为常数）表示两条直线，可得方程左边是两个完全平方式的和，配方求解即可．
解答:
解：∵关于x，y的二元二次方程：x2+2xy+8y2+14y+m=0(其中m为常数）表示两条直线,
∴x2+2xy+8y2+14y+m=x2+2xy+y2+7y2+14y+m=0,
∵当（x2+2xy+y2）+7（y2+2y+1)=(x+y）2+7（y+1）2=0时，
可得:x+y=0，y+1=0，
即可得：两条直线y=﹣x与y=﹣1．
∴x2+2xy+8y2+14y+m=（x+y)2+7（y+1）2=x2+2xy+8y2+14y+7．
∴m=7．
故答案为：7．
点评：
此题考查了非负数的性质与配方法的应用．题目难度较大,解题时要注意分析．

8．已知a+2b+3c+4d=30，a2+b2+c2+d2=30．则ab+bc+cd+da的值是　24　．

考点：
因式分解的应用；非负数的性质：偶次方．3677407
分析：
先对已知进行变形，求得a、b、c、d的值，再代入求解．
解答：
解：∵a+2b+3c+4d=30
∴2a+4b+6c+8d=60①
又∵a2+b2+c2+d2=30②
②﹣①
a2+b2+c2+d2﹣2a﹣4b﹣6c﹣8d=﹣30
可变形为（a﹣1）2+（b﹣2）2+(c﹣3）2+（d﹣4）2=0
∴a=1,b=2，c=3，d=4
∴ab+bc+cd+da=b（a+c）+d（a+c）=（a+c）（b+d)=4×6=24．
点评：
当所给的等式比字母少时，又需要知道字母的值，往往需要变成一种特殊形式：几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0．

9．△ABC的三边为a，b，c且满足条件:a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断三角形的形状．
解:因为a2c2﹣b2c2=a4﹣b4①，c2（a2﹣b2)=(a2+b2）（a2﹣b2)②，所以c2=a2+b2③，所以△ABC为直角三角形④．上述解答过程中，代码　③④　出现错误；正确答案应为△ABC是　直角三角形或等腰或等腰直角　三角形．

考点：
因式分解的应用．3677407
专题:
几何图形问题．
分析：
把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，分解后的每项因式整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状．
解答:
解：由题意得a2c2﹣b2c2=a4﹣b4⇒c2（a2﹣b2）=（a2+b2)(a2﹣b2）⇒(c2﹣a2﹣b2）(a2﹣b2)=0⇒c2﹣a2﹣b2=0或a2﹣b2=0
即c2=a2+b2或a2=b2
所以△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．
故答案为③④,直角三角形或等腰或等腰直角．
点评:
本题考查了分组分解法分解因式，利用因式分解最后整理成多项式的乘积等于0的形式是解题的关键．

10．248﹣1能够被60～70之间的两个数整除，则这两个数是　65、63　．

考点:
因式分解的应用．3677407
分析：
先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可．
解答:
解：248﹣1=（224+1）(224﹣1)，
=（224+1)（212+1）(212﹣1），
=（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）；
∵26=64，
∴26﹣1=63，26+1=65，
故答案为65、63．
点评:
本题考查了利用平方差公式分解因式，先分解因式，然后再找出范围内的解是本题解题的思路．

11．已知x2+y2+z2﹣2x+4y﹣6z+14=0,则（x﹣y﹣z）2002=　0　．

考点:
因式分解的应用．3677407
分析：
可以把14拆成1+4+9,然后运用完全平方公式，把左边写成非负数的平方和，再根据“几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0”进行计算．
解答：
解：∵x2+y2+z2﹣2x+4y﹣6z+14=0,
∴x2﹣2x+1+y2+4y+4+z2﹣6z+9=0,
（x﹣1)2+（y+2）2+（z﹣3）2=0，
∴x﹣1=0,y+2=0，z﹣3=0，
解得x=1，y=﹣2，z=3,
∴（x﹣y﹣z)2002=0．
点评：
此题要能够运用完全平方公式把等式的左边变形为几个非负数的和,再根据非负数的性质进行求解．

12．在△ABC中，若c4﹣2（a2+b2）c2+a4+a2b2+b4=0，则∠C=　60°或120°　．

考点:
因式分解的应用．3677407
专题：
数形结合．
分析：
把已知c4﹣2(a2+b2）c2+a4+a2b2+b4=0等式通过完全平方式、拆分项转化为（c2﹣a2﹣b2﹣ab）（c2﹣a2﹣b2+ab)=0．分两种情况，根据余弦定理即可求得∠C的度数．
解答:
解：∵c4﹣2(a2+b2）c2+a4+a2b2+b4=0，
⇒c4﹣2（a2+b2）c2+（a2+b2）2﹣a2b2=0，
⇒［c2﹣（a2+b2）]2﹣（ab)2=0,
⇒（c2﹣a2﹣b2﹣ab）(c2﹣a2﹣b2+ab）=0，
∴c2﹣a2﹣b2﹣ab=0或c2﹣a2﹣b2+ab=0,
当c2﹣a2﹣b2+ab=0,时，
∴∠C=60°，
当c2﹣a2﹣b2﹣ab=0，时，
∴∠C=120°,
故答案为：∠C=60°或∠C=120°．
点评：
本题考查因式分解的应用,解决本题的关键是将原式转化为（c2﹣a2﹣b2﹣ab）（c2﹣a2﹣b2+ab)=0，再利用余弦定理求得∠C的度数．

三．解答题（共7小题）
13．题目:“分解因式：x2﹣120x+3456．”
分析：由于常数项数值较大，则常采用将x2﹣120x变形为差的平方的形式进行分解,这样简便易行．
解:x2﹣120x+3456=x2﹣2×60x+602﹣602+3456
=（x﹣60）2﹣144=(x﹣60）2﹣122=（x﹣60+12）（x﹣60﹣12)
=（x﹣48)（x﹣72）．
通过阅读上述题目，请你按照上面的方法分解因式:x2﹣140x+4875．

考点：
因式分解—十字相乘法等；完全平方式；因式分解—运用公式法．3677407
专题：
计算题．
分析：
根据例题先化成完全平方形式得到x2﹣2×70x+702﹣702+4875，推出符合平方差公式的形式，根据平方差公式分解即可．
解答：
解：x2﹣140x+4875=x2﹣2×70x+702﹣702+4875，
=（x﹣70）2﹣25=（x﹣70）2﹣52，
=（x﹣70+5)（x﹣70﹣5）=（x﹣65)（x﹣75）．
点评：
本题主要考查对因式分解，完全平方公式,因式分解﹣公式法等知识点的理解和掌握，能正确地运用此法来分解因式是解此题的关键．

14．已知：,求代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值．

考点:
因式分解的应用．3677407
分析:
利用完全平方公式进行配方求解．
解答：
解：∵，
∴a﹣b=1，b﹣c=﹣2，a﹣c=﹣1．
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=(2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）
=［（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]
=×（1+4+1)
=3．
点评：
此题考查了完全平方公式的运用,能够整体代入求解．

15．已知a、b、c为△ABC三边的长．
（1）求证:a2﹣b2+c2﹣2ac＜0．
(2）当a2+2b2+c2=2b（a+c)时，试判断△ABC的形状．

考点：
因式分解的应用；三角形三边关系．3677407
分析：
（1）将不等式的左边因式分解后根据三角形三边关系判断代数式的符号即可；
(2）将等式右边的项移至左边，然后因式分解即可．
解答：
解：（1）a2﹣b2+c2﹣2ac=（a﹣c）2﹣b2=（a﹣c+b）（a﹣c﹣b）
∵a、b、c为△ABC三边的长，
∴（a﹣c+b）＞0,（a﹣c﹣b）＜0,
∴a2﹣b2+c2﹣2ac＜0．

(2）由a2+2b2+c2=2b(a+c）
得：a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2=0
因式分解得：（a﹣b）（b﹣c）=0
∴a=b或b=c
∴△ABC为等腰三角形或等边三角形．
点评：
本题考查了因式分解的应用，解题的关键是对原式正确的因式分解．

16．已知2x2+x﹣5=0，求代数式6x3+7x2﹣13x+11的值．

考点:
因式分解的应用．3677407
分析：
先据2x2+x﹣5=0求出2x2+x的值，再将6x3+7x2﹣13x+11化简为含有2x2+x的代数式,然后整体代入即可求出所求的结果．
解答：
解:∵2x2+x﹣5=0
∴2x2+x=5
原式=6x3+3x2+2x2+x+2x2﹣14x+11=3x（2x2+x)+（2x2+x）+2x2﹣14x+11
=15x+5+2x2﹣14x+11
=2x2+x+16
=21．
点评：
本题考查了提公因式法分解因式，从多项式中整理成已知条件的形式，然后利用“整体代入法”求代数式的值．

17．设3x3﹣x=1，求9x4+12x3﹣3x2﹣7x+2001的值．

考点:
因式分解的应用;代数式求值．3677407
专题:
整体思想．
分析:
观察已知3x3﹣x=1可转化为3x3=x+1，再把9x4+12x3﹣3x2﹣7x+2001转化为3x3•3x+3x3•4﹣3x2﹣7x+2001
此时将3x3作为一个整体代入x+1，并且代入后通过合并同类项，可将x的各次项系数变为0，最终剩余常数项，使问题得以解决．
解答:
解：由3x3﹣x=1得：3x3=x+1
所以，原式=3x3•3x+3x3•4﹣3x2﹣7x+2001
=3x（x+1)+4（x+1）﹣3x2﹣7x+2001
=3x2+3x+4x+4﹣3x2﹣7x+2001
=2005
点评:
本题考查的是因式分解．解决本题的关键是将3x3作为一个整体出现．

18．解下列方程组:
（1)
（2）
（3)

考点：
解二元一次方程组．3677407
专题：
计算题．
分析：
对于（1）解关于|x|、｜y｜的方程组，再根据绝对值的性质求出x、y的对应值；对于(2）运用整体叠加法解；对于(3）通过取倒数、拆分得到关于、、的方程组．
解答：
解:（1)，
①×3+②得,5|x｜=20，解得|x｜=4，
把｜x｜代入①得，
4+|y｜=7，
｜y｜=3，
故原方程组的解为：，，，；
（2）,
③+④得x+y=3，
③﹣④得x﹣y=﹣1,
把两方程联立得，
解得;
（3）原方程组可化为，
⑤﹣⑥得，﹣=﹣…⑧，
⑧+⑦得，=1，解得p=2；
代入⑦得，+=，解得r=1；
把p=2代入⑤得，+=，解得q=3．
故原方程组的解为．
点评：
本题考查的是解二元一次方程组三元一次方程组，解答此类题目时要根据各题的特点采用适当的方法求解．

19．某水库共有6个相同的泄洪闸，在无上游洪水注入的情况下，打开一个水闸泄洪使水库水位以a米/时匀速下降．某汛期上游的洪水在未开泄洪闸的情况下使水库水位以b米/时匀速上升，当水库水位超警戒线^米时开始泄洪．
（1）如果打开n个水闸泄洪x小时，写出表示此时相对于警戒线的水面高度的代数式;
（2）经考察测算，如果只打开一个泄洪闸，则需30个小时水位才能降至警戒线；如果同时打开两个泄洪闸,则需10个小时水位才能降至警戒线．问该水库能否在3个小时内使水位降至警戒线?

考点：
二元一次方程组的应用．3677407
专题：
应用题．
分析:
（1)根据上升的水位﹣泄洪下降的水位+原有水位=相对于警戒线的水面高度，列出代数式即可．
（2)根据第一问的代数式及只打开一个泄洪闸，需30个小时，打开两个泄洪闸,需10个小时可列出方程组得到ab的关系式，ab与h的关系式，即可确定3时，n的值，只要满足n≤6,即可确定能在3个小时内使水位降至警戒线．
解答:
解：（1）设警戒线的水面高度为h，打开n个水闸泄洪x小时，此时相对于警戒线的水面高度的代数式为：bx﹣nax+h=（b﹣na）x+h；
（2)根据题意得:,
解得a=2b,h=30b，
当x=3时，3(b﹣na）+h=0,
把a=2b，h=30b，代入上式得n=5.5，
∵已知有6个泄洪闸，且5.5＜6，
∴该水库能在3个小时内使水位降至警戒线．
点评：
本题考查了列代数式及解二元一次方程的解法，理解题意分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．