计算方法：方程的拟合ppt.ppt

1化工计算：方程的拟合化工计算：方程的拟合v化工实验和工程实践中，可测得许多离散的实验数据和工化工实验和工程实践中，可测得许多离散的实验数据和工业数据，通常需要寻找一条连续光滑曲线业数据，通常需要寻找一条连续光滑曲线 来近似反来近似反映已知数据组间存在的某种关系的一般趋势，所得近似函映已知数据组间存在的某种关系的一般趋势，所得近似函数数 可以很好地逼近离散数据（可以很好地逼近离散数据（），这个函数逼），这个函数逼近的过程称为曲线拟合或经验建模。近的过程称为曲线拟合或经验建模。v常用最小二乘法曲线拟合。常用最小二乘法曲线拟合。2log=-2.137+882.43/(T-160.036)31.最小二乘法最小二乘法曲线拟合的原理曲线拟合的原理v如果如果观测数据存在较大误差，通常采用观测数据存在较大误差，通常采用“近似函数在各近似函数在各实验点的计算结果与实验结果的偏差平方和最小实验点的计算结果与实验结果的偏差平方和最小”的原的原则建立近似函数。则建立近似函数。最小最小若若称此曲线拟合法为称此曲线拟合法为最小二乘法曲线拟合。最小二乘法曲线拟合。式中式中R称为均方误差。由于计算均方误差的最小称为均方误差。由于计算均方误差的最小值的原则容易实现而被广泛采用。值的原则容易实现而被广泛采用。定义定义:4v经验建模经验建模经验建模又分为两种情况：经验建模又分为两种情况：一一是无任何理论依据，但有经验公是无任何理论依据，但有经验公式可供选择，例如很多物性数据式可供选择，例如很多物性数据（热容、密度、饱和蒸气压）与温（热容、密度、饱和蒸气压）与温度的关系常表示为度的关系常表示为:二二是没有任何经验可循的情况，只是没有任何经验可循的情况，只能将实验数据画出图形与已知函数能将实验数据画出图形与已知函数图形进行比较，选择图形接近的函图形进行比较，选择图形接近的函数形式作拟合模型。数形式作拟合模型。最小二乘法的优点是函数形式多种多样，根据其来源不同，最小二乘法的优点是函数形式多种多样，根据其来源不同，可分为半经验建模和经验建模两种。可分为半经验建模和经验建模两种。v 半半经验建模经验建模如果建模过程中先由一定的理论依如果建模过程中先由一定的理论依据写出模型结构，再由实验数据估据写出模型结构，再由实验数据估计模型参数，这时建立的模型为半计模型参数，这时建立的模型为半经验模型。例如，描述反应速率常经验模型。例如，描述反应速率常数与温度的关系可用阿仑纽斯方程，数与温度的关系可用阿仑纽斯方程，即即 这种情况下，工作要点在于如何这种情况下，工作要点在于如何确定函数中的各未知系数确定函数中的各未知系数 ，52.最小二乘法算法分类最小二乘法算法分类v不论不论何种建模情况，在选定关联函数的形式之后，就是何种建模情况，在选定关联函数的形式之后，就是如何根据实验数据去确定所选关联函数中的待定系数。如何根据实验数据去确定所选关联函数中的待定系数。v最小二乘法最小二乘法按计算方法特点又分为线性最小二乘法和非按计算方法特点又分为线性最小二乘法和非线性最小二乘法。线性最小二乘法。6对于一元线性函数：对于一元线性函数：测定了测定了m个自变量个自变量值：值：和和m个应变量值：个应变量值：计算出计算出m个应变量值：个应变量值：定义误差：定义误差：3.线性最小二乘法线性最小二乘法 线性线性最小二乘法是常用的曲线拟合方法。线性最小最小二乘法是常用的曲线拟合方法。线性最小二乘法又分为一元和多元等不同情况。二乘法又分为一元和多元等不同情况。v 一一元线性最小二乘法的方法概述元线性最小二乘法的方法概述7欲使欲使Q最小，按极值的必要条件，要满足最小，按极值的必要条件，要满足:由最小二乘法：设由最小二乘法：设3.线性最小二乘法线性最小二乘法83.线性最小二乘法性最小二乘法可推导出可推导出上上式称为一元线性最小二乘法的法方程式称为一元线性最小二乘法的法方程94.多元线性最小二乘法多元线性最小二乘法v设系统共有设系统共有n个影响因子，得到个影响因子，得到m次实验数据。若可用多元线性函次实验数据。若可用多元线性函数拟合时，形式如下：数拟合时，形式如下：v若若k代表第代表第k次实验的数据，则相应的预测值表示为：次实验的数据，则相应的预测值表示为：v由最小二乘法设：由最小二乘法设：v欲使欲使Q最小，按极值的必要条件，要满足最小，按极值的必要条件，要满足:10共共n个影响因子，有个影响因子，有m次实验数据，次实验数据，若若k代表第代表第k次实验的数据，则：次实验的数据，则：设多元线性函数：设多元线性函数：4.多元线性最小二乘法多元线性最小二乘法11则转化则转化为以为以 为未知数的方程组：为未知数的方程组：上式称为多元线性最小二乘法的法方程。解此方程组，可求出参数上式称为多元线性最小二乘法的法方程。解此方程组，可求出参数 ，因此拟合方程，因此拟合方程 便便可确定。可确定。因此，要求：因此，要求：根据最小二乘原则：根据最小二乘原则：要使要使达到最小达到最小令：令：4.多元线性最小二乘法多元线性最小二乘法12v 在在应用最小二乘法曲线拟合时，通常遇到更多的是非线性应用最小二乘法曲线拟合时，通常遇到更多的是非线性函数。对比线性模型拟合，非线性模型拟合要困难的多。函数。对比线性模型拟合，非线性模型拟合要困难的多。5.非线性最小二乘法非线性最小二乘法最好设法使模型转化为线性形式。有些非线性模型是不能变换成最好设法使模型转化为线性形式。有些非线性模型是不能变换成线性模型的，这时应该用直接非线性最小二乘法进行处理。线性模型的，这时应该用直接非线性最小二乘法进行处理。非线性模型非线性模型拟合的二个途径拟合的二个途径直接采用非线性拟合直接采用非线性拟合通过代换转化为线性关系通过代换转化为线性关系13化工中常见的函数化工中常见的函数双曲线双曲线幂函数幂函数指数函数指数函数负指数函数负指数函数对数函数对数函数S型曲线型曲线n次多项式次多项式5.非非线性最小二乘法性最小二乘法14双曲线双曲线令：代换方程为：15幂函数幂函数两边取对数令：代换方程为：yxb1b=1b11a 16指数函数指数函数两边取对数令：代换方程为：yxb0b0a17xyb0b0a负负指数函数指数函数 令则代换方程为：18yxb0b00对数函数对数函数 令则代换方程为：19S型曲线型曲线变形后，令：代换方程为：yx1/a20n次多项式次多项式令：代换方程为：216.非线性非线性直接拟合直接拟合有些非线性方程无法通过代换法转换成线性方程，则有些非线性方程无法通过代换法转换成线性方程，则需要采用直接非线性最小二乘法需要采用直接非线性最小二乘法 如：下式是一种常用的饱和蒸汽压计算公式如：下式是一种常用的饱和蒸汽压计算公式如：下式是一种常用的饱和蒸汽压计算公式如：下式是一种常用的饱和蒸汽压计算公式这里介绍非线性直接拟合的常用方法之一这里介绍非线性直接拟合的常用方法之一这里介绍非线性直接拟合的常用方法之一这里介绍非线性直接拟合的常用方法之一-高斯牛顿法高斯牛顿法22 理论基础：泰勒展开理论基础：泰勒展开 对于非线性函数对于非线性函数若若 的的近似值为近似值为 ，误差为，误差为 ，则，则当初值给定时对非线性函数在初值当初值给定时对非线性函数在初值 附近附近作泰勒展作泰勒展开，并略去开，并略去 的二次以上的高次项，可以得到：的二次以上的高次项，可以得到：6.非线性非线性直接拟合直接拟合23其中：24由最小二乘法设 欲使Q最小，按极值的必要条件，要满足:则有以为未知数的方程组：令令25v将解此法方程所得到的第一套修正值将解此法方程所得到的第一套修正值 代入代入 可求得可求得 ，再用上述方法求得第二套修正值，再用上述方法求得第二套修正值 ，并求得，并求得 ，这样经过，这样经过n此迭代后，若此迭代后，若 小到一定程度，就逼近了真值。小到一定程度，就逼近了真值。即可确定。即可确定。