高一数学函数和不等式中恒成立问题的教案.doc

函数和不等式结的恒成立问题的解法
“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用恒成立问题的基本类型：
一、判别式法
若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数,有
1）对恒成立;
2）对恒成立
例1：若不等式的解集是R，求m的范围。

例2 设函数f(x)＝ mx2-mx-1．
(1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围

二、最值法
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：
1）恒成立
2）恒成立

例1、若时，不等式恒成立，求的取值范围。

例2．设，当时，恒成立，求实数的取值范围。
巩固．已知函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。

练习2 已知，若恒成立，求a的取值范围.

三、分离变量法
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：
1）恒成立
2）恒成立
例3．已知时，不等式恒成立，求的取值范围。

巩固 已知函数时恒成立，求实数的取值范围。

注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。
四、变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。
例1．对任意，不等式恒成立，求的取值范围。
2. 若不等式对满足的所有都成立，求的取值范围。

四、数形结合法
数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：
1）函数图象恒在函数图象上方；
2）函数图象恒在函数图象下上方。

例.设 , ,若恒有成立,求实数的取值范围.
例2 已知函数，若在区间上，的图象位于函数f(x)的上方，求k的取值范围.

练习 已知函数，若在区间上，的图象位于函数f(x)的上方，求k的取值范围

由此可以看出，对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图象来解。利用函数图象解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。
综合练习;
例6 已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若，若对于所有的恒成立，求实数t的取值范围.

课后作业:
若不等式对任意R恒成立，则的取值范围是 ．

已知函数f(x)=1/a-1/x(a>0,x>0)
(1)若f(x)在[m,n]上的值域是[m,n],求a的取值范围,并求相应的m,n的值
(2)若f(x)≤2x在(0,+无穷大)上恒成立,求a的取值范围