选修1-1教案2.2.1双曲线及其标准方程.doc

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课题：2.2.1双曲线的标准方程
【教学目标】:
1.知识与技能
掌握双曲线的定义,标准方程，并会根据已知条件求双曲线的标准方程。
2。过程与方法
教材通过具体实例类比椭圆的定义,引出双曲线的定义,通过类比推导出双曲线的标准方程.
3。情感、态度与价值观
通过本节课的学习，可以培养我们类比推理的能力，激发我们的学习兴趣，培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力.
【教学重点】： 双曲线的定义、标准方程及其简单应用
【教学难点】: 双曲线标准方程的推导
【授课类型】:新授课
【课时安排】：1课时
【教 具】：多媒体、实物投影仪
【教学过程】：
一.情境设置
（1)复习提问：
(由一位学生口答，教师利用多媒体投影）
问题 1：椭圆的定义是什么？
问题 2：椭圆的标准方程是怎样的？
问题3：如果把上述椭圆定义中的“距离的和"改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程又是怎样的呢？
(2)探究新知:
（1)演示：引导学生用《几何画板》作出双曲线的图象，并利用课件进行双曲线的模拟实验，思考以下问题。
(2)设问：①｜MF1|与|MF2|哪个大？
②点M到F1与F2两点的距离的差怎样表示？
③｜|MF1｜—|MF2｜｜与｜F1F2｜有何关系？
（请学生回答:应小于|F1F2| 且大于零，当常数等于|F1F2| 时，轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当常数大于|F1F2| 时,无轨迹)
二.理论建构
1。双曲线的定义
引导学生概括出双曲线的定义：
定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于〈｜F1F2|）的点轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。(投影）
概念中几个关键词：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于”
2.双曲线的标准方程
现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法,随即引导学生给出双曲线标准方程的推导（教师使用多媒体演示）
（1)建系
取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.
（2) 设点
设M（x，y）为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c（c>0），则F1（－c，0）、F2（c,0），又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（2a〈2c）.
（3)列式
由定义可知,双曲线上点的集合是P=｛M｜｜｜MF1｜－｜MF2｜|=2a｝。
即：
(4）化简方程
由一位学生板演,教师巡视.化简，整理得:
移项两边平方得
两边再平方后整理得
由双曲线定义知
这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是F1（—c，0）、F2（c，0），
思考: 双曲线的焦点F1(0，－c）、F2(0，c）在y轴上的标准方程是什么？
学生得到: 双曲线的标准方程：.
注:
（1）双曲线的标准方程的特点：
①双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：
焦点在轴上时双曲线的标准方程为：（，）;
焦点在轴上时双曲线的标准方程为：（,)
②有关系式成立，且
其中a与b的大小关系:可以为
（2).焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上
三.数学应用
例1已知双曲线两个焦点的坐标为，双曲线上一点P到的距离之差的绝对值等于8，求双曲线标准方程
解：因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为
（,)
∵ ∴ ∴
所求双曲线标准方程为
变式1：若｜PF1｜—|PF2｜=6呢？

变式2:若||PF1|—｜PF2｜|=8呢？

变式3：若｜｜PF1|—|PF2｜|=10呢？

四.课堂小结:
双曲线的两类标准方程是焦点在轴上，焦点在轴上,有关系式成立，且 其中a与b的大小关系：可以为