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回归方程和独立性检验知识点讲解
回归分析和独立性检验
一、回归分析
1、回归直线方程 （叫做解释变量，叫做预报变量）
其中＝ （由最小二乘法得出，考试时给出此公式中的一个）
（ 此式说明：回归直线过样本的中心点 ，也就是平均值点。 ）
2、几条结论：
（1）回归直线过样本的中心点。
（2）b>0时，y与x正相关，散点图呈上升趋势；b<0时，y与x负相关，散点图呈下降趋势。
（3）斜率b的含义（举例）：
如果回归方程为y=2.5x+2， 说明x增加1个单位时，y平均增加2.5个单位；
如果回归方程为y=－2.5x+2，说明x增加1个单位时，y平均减少2.5个单位。
（4）相关系数表示变量的相关程度。 范围：，即
越大，相关性越强。时，y与x正相关；时，y与x负相关。
（5）相关指数表示模型的拟合效果。 范围：
越大，拟合效果越好，（这时：残差平方和越小，残差点在带状区域内的分布比较均匀，
带状区域宽度越窄，拟合精度越高）。
表示解释变量对于预报变量变化的贡献率。
例如：，表明“解释了64%的变化”，或者说“的差异有64%是由引起的”。
（6）线性回归模型 ， 其中叫做随机误差。（是由和共同确定的。）
二、独立性检验
1、原理：假设性检验（类似反证法原理）。
一般情况下：假设分类变量X和Y之间没有关系，通过计算值，然后查表对照相应的概率P，
发现这种假设正确的概率P很小，从而推翻假设，最后得出X和Y之间有关系的可能性为(1－P),
也就是“X和Y有关系”。（表中的就是的观测值，即）
2、22列联表：

总计

总计

（考试给出）

部分对照表（考试时会给出用到的一部分数据）：
P
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

3、范围：； 性质：越大，说明变量间越有关系。
三、典型例题

3
4
5
6

2.5
3
4
4.5
例1、右表中是生产某种产品（吨）与相应消耗的煤（吨）记录数据：
（1）画出数据的散点图；
（2）求线性回归直线方程；
（3）估计生产7吨产品时，消耗的煤约为多少吨？
解：（1）散点图如右。从图中可以看出与正相关。
（2）（提示：把原数据表抄一遍，并且增加2行和1列，
计算出后面需要用到的数据）
设回归直线方程为

9
16
25
36

3
4
5
6

2.5
3
4
4.5

7.5
12
20
27

＝0.7，

所以，回归方程为：

患病
未患病
总计
服用药
10
45
55
未服用药
20
30
50
总计
30
75
105
（3）当时， 所以，估计生产7吨产品时，消耗的煤约为5.25吨。
例2、为了考察某药物预防疾病的效果，现对105人进行试验调查，得到22列联表。试判断：服用药物和患病之间是否有关系？
解：，，，，

6.109>5.024 （提示：运算时尽量先约分化简，再计算）
所以，有1－0.025＝97.5%的把握认为服用药物和患病之间有关系。
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