数值分析历年考题.doc

(完整版)数值分析历年考题
数值分析A试题
2007.1
第一部分:填空题105
1.设，则___________ ___________
2。将分解成，则对角元为正的下三角阵___________
3。已知数据

1
2
3
4

1.65
2.72
4.48
7。39
，请用线性最小二乘拟合方法确定拟合函数中的参数： ___________ ___________
4.方程在上有 个根，若初值取,迭代方法的收敛阶是
5.解方程的迭代方法为___________，其收敛阶为___________
6.设 为三次样条函数，则 ___________ ___________
7.要想求积公式:的代数精度尽可能高，参数 ___________ ___________此时其代数精度为：___________
8。用线性多步法来求解初值问题其中，该方法的局部截断误差为___________，设其绝对稳定性空间是___________
9.用线性多步法来求解初值问题其中，希望该方法的阶尽可能高，那么 ___________ ___________,此时该方法是几阶的：___________
10.已知上的四次legendre多项式为,求积分___________其中为常数。
第二部分:解答题（共5题，其中1，2，5题必做，3，4选做一题）
1。(14分）已知方程组其中
（1）用迭代收敛的充要条件，分别求出是Jacobi和Gauss-seidel迭代法收敛的的取值范围，并给出这两种迭代法的渐进收敛速度比.
（2）当时，写出SOR方法迭代矩阵的表达式和SOR方法计算公式的分量形式，并取初值,求
（3）取，用迭代公式,试求使该迭代方法收敛的的最大取值范围，最优=？
2（14分）用单步法求解初值问题:
（1） 求出局部截断误差以及局部截断误差主项，该方法是几阶的？
（2） 求绝对稳定性区间.(写出求解过程）
（3） 用该方法解初值问题时，步长满足什么条件才能保证方法的绝对稳定性。
3(14分)已知非线性方程组 ，在矩形域内有解。提示:
（1） 取初值，用Newton迭代。
（2） 记，并设。试证明不动点迭代法在处具有局部收敛性.
4（14分）试构造Gauss型求积公式：其中，权函数构造步骤如下：
（1） 构造区间上权函数为的首项系数为1的二次正交多项式，求出Gauss点
（2） 写出求积系数，并给出求积公式代数精确度的次数
（3） 写出求积公式的余项表达式并化简
5（8分）设A为n阶非奇异阵,B是奇异阵，求证，其中为矩阵从属范数，为常数，且

第二份（2004.6）
1. 给定二阶RK基本公式,求相容阶数，判断是否收敛，考虑稳定性后对h的要求

2. 给定一个分段函数，求全函数为1区间的最佳二次平方逼近
3. 给定对称正定矩阵（3＊3）,判断SOR收敛性（）、给定初值算一步,估计5次迭代误差
4. 给定求积表达式,要求有最大的代数精度，确定参数和代数精度
从0积到2
5. 给定两个矩阵(均为3＊3），将A变化为三对角阵，用QR方法对算一步求
6. (1）设B奇异,证明,其中为算子范数。
(2)证明最佳n次平方逼近函数奇偶性与相同

第三份，韩老师2002.1
1. 单步法
（1）收敛阶
（2）绝对稳定区间
（3)对在时讨论数值扰动的稳定性
2。(1）的逼近
（2）
确定，判断代数精度，是否高斯
3. 给定
(1） ，证明局部收敛
（2） 给定，用牛顿算两步
4。 含未知数
（1）求，使存在
（2）给定，用算L
（3）给定,判断是否收敛
（4）给定，SOR算一步
5。 给定
(1）算p,
（2）对做QR
(3）算一步QR迭代，得到
6. ,证明可逆，并证明

第四份，郑老师2006年
填空：
1. 3.1425926是的几位有效数字
2. ，求均差
3. 公式得代数精度是几阶
4. 积分系数的和是多少
5. ,求
6. ，求的最佳一次平方逼近，最佳一次一致逼近
7. 拉格朗日插值基函数，是相异节点，求
简答：
1. 高斯积分，，使代数精度最高，求
2. ，用LU分解求解
3. 变换成准上三角阵，用givens变换，第一种原点位移QR分解求一步，求
4. 证明严格对角占优矩阵A可逆，且

除第一份是完整试卷外，其余皆为回忆版，可能有错误之处,大家凑合看，抓住要点即可。

..
2002年12月30晚7:20-9:20
B卷
一。(1）函数f（x）=|x|在［-1,1]上积分，求在空间span{1，x2｝和span｛x，x^3}上权函数p(x)=1的最佳平方逼近函数,并说明 
(2)对f(x)在[-1，1］上积分,求A0，A1,A2,x0,x2, 使得A0＊f（x0）+A1＊f（0）+A2＊f（x2)对求积公式有最高的代数精度，并求代数精度

二. A=［2 0 1;0 2 —1；1 -1 1］
   （1）求householder变换矩阵P，使得A1=PAP为三对角矩阵
   (2)用Givens变换,对A1进行QR分解;
   (3）若用QR方法求A1特征值，迭代一步，求A2，并证明A2和A相似

三。线性二步法 y（n+2)=y（n）+h*(fn-fn+2）
              fi=f（ti，yi）
   （1）求局部截断误差及主部，方法是几阶收敛
   （2）用根条件判断收敛性
   （3）绝对收敛域

四.A为对称正定矩阵，最大特征值和最小特征值分别是λ1和λn,
  迭代X(k+1)=（I-w＊A）*X（k)+w＊b
  求w的范围，使迭代法收敛,并求w’使收敛速度最快。

五. 非线性方程组
    F（x)=［x1^2—10＊x1+x2^2+8;x1*x2^2+x1-10*x2+8］’=0
    令G（x）=[1/10*（x1^2+x2^2+8)
            1/10＊(x1＊x2^2+x1+8)]
    （1)若0<x1,x2<3/2， 用x=G(x）迭代，证明G（x）在D中存在
     唯一的不动点；
    （2)判断G（x)是否收敛？
    (3）写出牛顿迭代法的公式，并且取初值x0=（0.5，0。5）T，
       求出x1

六. A，B为n*n阶矩阵，A非奇异，|｜A—B｜｜〈 1/||A^(-1)||
    证明:
    (1） B非奇异
    （2） |｜B^(—1)|｜ <= ｜｜A^（—1)｜|/(1—||A^(—1）|｜＊｜｜A—B｜|）
    （3） ||A^(—1）-B^(—1）｜| 〈= ||A^(—1）｜｜^2＊｜｜A—B|｜/（1-｜|A^(—1)|｜*｜|A—B|｜）

1.三点高斯－勒让得积分公式
最佳平方逼近,f(x）=｜x|,(—1,1)分别在span｛1，x^2｝和span｛x,x^3｝中求
2。书上P236第31题第2小问原题，只是没告诉α的范围，要你求
3.书上P257原题
加了两问,证明收敛，再算一步
4.householder变换
Givens做QR分解
5.Y(n+2）=Y（n)+h（fn+f（n+2)）
求局部TE，相容,根条件，绝对稳定区间
6.定理1.12和推论，以及P167式3.4的应用
|｜A—B|｜<1/||inv(A)|｜

要证B可逆,｜|inv（B）|｜<=||inv(A）｜｜/(1—|｜A-B||＊||inv（A)||）

｜|inv(A)—inv(B）||〈=(||inv（A）｜|)^2*｜|A—B｜｜/（1—｜｜A-B｜｜＊｜|inv(A)｜|）

填空:
1 A=[1,1/2;1/2,1/3］求|｜A｜｜2和cond2（A）
2 J，GS迭代有关
3 f(x)=x^2+3x+2,在－2，－1，0，1，2五点确定得拉格朗日多项式插值多项式
4 一个稳定得算法计算一个良态得问题是否一定稳定（大致）
计算
1 F（x）=。。。.
（1）证明x(k+1)=x(k）—1/4F'（x）收敛到其解x*=［1,1，1]'
(2）用牛顿法在给定初值x0＝[。。。]’下计算两步
2 显式和隐式欧拉法得局部截断误差和阶数，写出梯形法，及其阶数..。。.
3 A=［4,1，1；1，1，1；1，1，2];b=[.。。]'
  （1）housholder变换求A得QR变换
  （2)用QR变换结果计算Ax=b
证明
已知Ax=b,A（x+deltaX)=b+deltaB
证明||deltaX||/||x|｜〈=cond(A）＊||deltaB||/||b｜｜

1.(1）求f（x)=|x｜，区间［-1，1]上权函数为ρ(x)=1，在span{1，x2}上的最佳平方逼
近
（2）[0，1］上权函数为ρ(x)=1，求积分公式Af(0)+Bf（x1)+Cf(1）的参数使得代数精
度尽可能高
2.A=［0 3 4；3 0 0；4 0 1］
（1）求householder变换使A1=PAP为对称三对角阵
（2）用givens变换求A1的QR分解
（3)用不带原点位移的QR算A的特征值，A1迭代一次得A2，证明A2与A1相似
3。不动点迭代
F（x）=0，F（x）=[x1+x2^2—x1^2+x2］
等价于x=G（x),G(x）=[—x2^2  x1^2］
（a)证明D=｛（x1，x2）T｜—0.25〈=x1,x2<=0。25｝上，G有唯一不动点
（b）写出newton公式，取x(0)=(1，1）T，求x（1）
4。初值问题dy/dt+y=0,y(0)=1
（a）tn=nh,用梯形法求数值解yn
(b）h趋于0时,证明数值解收敛于准确解y=exp(—t）
（c）梯形法的局部阶段误差主项
（d）梯形法的绝对稳定区域
5（1）A为n*m矩阵，列满秩，w与ATA的特征值有什么关系时
x(k+1）=x（k)+wAT(b—Ax（k))
收敛到ATAx=ATb的唯一解
(2）B为n阶方阵，x*=Bx＊+C，迭代公式x（k+1）=Bx(k)+C
若||B｜｜〈=β〈1且｜|x(k）-x（k—1）||〈=ε（1-β)/β
证明|｜x＊-x(k)||〈=ε
6。A对称正定,φ（x）=0。5xTAx-xTb，p为非零向量
定义ψ(α)=φ(x+αp）,求α为何值时ψ（α)最小
证明对此α定义下的x*=x+αp，有b-Ax＊与p正交

1、给定2阶RK基本公式,求相容阶数,判断是否收敛，考虑稳定性后对h的要求
  yn+1=yn+h/2＊(k1+k2）     
  k1=f（tn，yn） 
  k2=f（tn+3/5＊h,yn+3/5*h＊k1)
2、给定一个分段函数，求全函数为1区间［0，2]的最佳二次平方逼近
3、给定对称正定矩阵(3＊3),判断SOR收敛性（w=1。2)、给定初值算一步、估计5次迭代误差
4、给定求积表达式，要求有最大的代数精度，确定参数和代数精度
   f(x)从0积到2= r1＊f(x1）+r2＊f（x2)
5、给定两个矩阵A、A1（均为3*3），将A变化为三对角阵，用QR方法对A1算一步求A2
6、（1)以前试题的变形，设B奇异,证明（|｜A—B｜|/｜|A|｜)〉=1/（|｜inv（A)｜|||A｜|），其中|｜为算子范数
   （2)证明最佳n次平方逼近函数奇偶性与f（x)相同

5道大题，若干小题，卷面成绩满分70
1。（1)求f(x)=sqrt（1-x^2)在span{1,x，x^2｝上，权函数为rou=1/sqrt(1—x^2)的最佳平方逼近多项式
（2)求证高斯型求积公式中的A（k)满足A（k）=∫p（x）l（x)dx=∫p（x）l^2(x）dx，其中l(k）为Lagrange多项式

2.（1）Ax=b中A非奇异,则用J法、GS法、SOR法、SSOR法求解等价方程ATAx=ATb,各种方法的收敛性怎样？（其中0<w〈2）
(2)A严格对角占优,求证其有唯一的LU分解，对称矩阵[3 1 0；1 3 1;0 1 3］求其cholysky分解

3。(1)写出用Lanczos方法计算某矩阵第一列的α和β
(2）已知矩阵[3 0 0;0 3 2;0 2 3]，求其QR分解，计算一步H'=RQ

4(1)f(x）=[x2^2—x1^2—x1   其精确解为x＊=[0 0 0],写出牛顿法的计算公式
          sin（x1^2）—x2]；
(2)已知G(x)=［x2^2—x1^2
                sin(x1^2)];
给出区域D使得在此区域内的初始值可以收敛到精确解,并说明原因

5.（1）线性2步法—0.5y(n）-0。5y（n+1)+y(n+2）=h/2＊(f(n）+f(n+1）+f（n+2）），计算其局部阶段误差的阶数若h=0.1,判断其稳定性
（2)已知R（z)的稳定函数是exp（z）的pade（1，2）逼近多项式,计算其稳定域，是否是A-稳定？（pade逼近的计算公式卷子上给了)

1.已知矩阵［2  1   求矩阵的谱半径，条件1范数，条件2范数，条件无穷范数
           0  1］ ，

我做的是 2,1,3+sqr(5）,3，

切比雪夫多项式是T（X)，问T（2x—1）的时候取值范围以及权
我的计算是[0,1］，1/sqr(1-(2x-1)^2)

2.已知一个内积的定义∫xf（x）g(x)dx=(g，f)，范围是(0,1）
，求x^2在［0，1]上面的一次最佳平方逼近。

3.要求高斯积分 ∫x（1-x)f(x)dx=∑Aif（xi）,
求N=1以及N=2时的求积节点以及系数
我的答案，随便猜得
N=1，节点为0。5+sqr(3)/6,0。5—sqr（3）/6，系数都是1/12还是1/6，记不清楚了
N=2时，三个节点0.5-saq（15)/10，0。5，0。5+sqr（15）/10，
三个系数1/36。1/9.1/36,不知道对不对。

4。LU分解解一个三阶矩阵

5。牛顿迭代法

6.QR分解以及HOUSEHOULDER变换

7.现性多步法

8。单步法求证二阶相容并且绝对稳定
1、填空：
a、有效数字，3.1425926近似pi——小心，从小数点后第三位就不一样了
b、均差f=x^3+x-1求f[1,1,1］，f[0，1,2，3］，f[0,1，2,3，4］
c、simpson公式代数精度—-3
d、Newton-Cotes积分系数Ck的和—-这个就是1啦，呵呵
e、A=［1，2；0,1］，求普半径，1,2,无穷条件数
f、x^2的最佳一次平方逼近和一致逼近
g、拉格朗日插值基函数lk(x)xk^(n+1)从0到n求和

2、高斯积分x^2f（x)=Af（x0)+Bf（x1)+Af(x2).积分限［-1，1］

3、LU分解求方程组的解

4、求Householder阵P使得PAP为三对角阵
用第一种QR位移迭代算一步,求A2

5、证明严格对角占优矩阵A可逆，且
A^(-1）的无穷范数小于1/［min｜aii|—除对角线外的|aij｜］

6、第九章的作业题P480T6(《数值分析基础》高等教育出版社 关治、陆金甫）
填空：
1.3。14215是pi的几位有效数字  据说是3
2. f(x）=x^3+x-1,求f[1,1，1]＝6，f［0,1,2,3］＝1，f［0，1，2，3,4]＝0
3。 simpson的代数精度是几阶 3
4. N-C的系数是Cnk，求系数和 1
5。［1 2；0 1］ 谱半径 1 条件1范数9  条件2范数 3＋2sqr(2) 条件无穷范数 9
6。 [-1,1］ 求f(x)=x^2的最佳一次平方逼近 1/3 最佳一次一致逼近 1/2
7. X0，X1。.。.Xn是相异节点 求西格码lk(0）Xk^(n+1）= （—1)^nX0X1……Xn
计算题
1积分符号x^2f（x）dx＝Af(x0）+Bf（x1）+A（x3),［—1，1],使代数精度最高求A，B，x0,x1，x2
A=7/25 ,B=8/75 X0=—sqr（5/7) x1=0 x2=sqr(5/7）

2[1 2 1；2 2 3；—1 -3 0] b=［0 3 2］  LU分解接x＝[1,-1,1］
3。［2 0 1； 0 2 -1;1 -1 1] householder变换成准上三角阵 
用givens变换,第一种原点位移QR分解求一步
证明
A是严格对角占优阵,证明A可逆（书上定理）
｜|A^—1｜｜〈=1/min(｜aii｜—西格码|aij|）
无穷范数
6 yn+1=yn+h（f+h/2g(t+h/3，y+fh/3）
g(t，y）=ft(t,y）+ffy（t，y)
研究相容阶与收敛性 
三阶相容，收敛
1.(1,1/2;1/2,1）求2范数和cond2
2。上题的QR分解
后面是几题判断题，要求写出对错和原因．题不记得了，但不难，与往年差不多（本来准备做完后将题录下来的，可是实在没时间了：（）
以下的小题顺序不一定对：
du/dt=(u—u+)(u—u—） u+>u—，问哪个是稳态的哪个不是．
矩阵如果可以相似对角化，就一定可以求解特征值，其条件数等于求矩阵解的条件数cond（判断）
多重网格是解椭圆方程的最优方案，其特点是用粗网格消去高频分量，细网格消去低频分量．（判断）
f (x） = f（x1，x2，x3）=x1x2—x2x3-x3^2—x2—x3临界点＼临界值＼正则点＼正则值
不完全LU分解用于用Gauss消去法求解稀疏阵．（判断）
就记得这么多了．
大题:
１．（4,1,1;1，2,1;1，1，3)用初值q1=(1/3,2/3,2/3)进行lanczos分解．（数据是回忆的,不一定对）
２．一个函数Ｆ(x)，表达示不记得了．问（1)证明x=(。.。,。.。)'是其解（送分的,代入就行)（2）写出Newton法迭代式（很容易写)(3）写出当x0=(。..，..。)’时用newton法的x1．(总体很常规，不难)
３．A=（4，1；1,1;1，2）问(1)svd分解（2)求A+（3）求r(A），（送分的）
4.证明题:zm属于krylov空间Km(r0，Ar0，A^2r0。...）,Lm=AKm（Ar0,A^2r0，A^3r0。..)，
证明（r0—Azm,v)=0，v属于Lm<==>|｜r0-Azm|｜=min｜|r0—Az｜|其中z属于Km．
（比较简单，书上有的．)
5．一题变分的，要求证明两个问题等价，好像是d4u/dx4=f（x）,变分为一个边值和一阶边值为零的问题．具体记不清了，因为没时间，只看了看，但也不是太难．可用分部积分算算．应该可以做出来．
1.单步法yn+1=yn+h/4(f（tn,yn)+3f(tn+2/3h，yn+2/3hf(tn，yn））
   1)Tn+1，收敛阶
   2）绝对稳定区间
   3）对y’=—5y+2,y0=1(好像是）,在h=0。2，0.5，1时讨论数值扰动的稳定性                
2.1）exp(—2x）的pade(1＊2)逼近
  2)I=A(f(x0）+f（x1）+f(x2)）
     确定A,x1,x0，x2，判断代数精度,是否高斯
3.给定F(x）
    1)xk+1=xk-1/4F(x），x＊=（1，1，1）T,证明局部收敛
    2）给定x0,用牛顿算两部
4.Ax=b A含未知数a
  1)求a，使LLT存在
   2）给定a，用cholesky算L
  3)给定a,判断jacobi，gauss_siedel是否收敛
  4）给定a,sor算一步
5.给定A,
  1)househoulder算p，A1=pAp
  2）givens对A1做QR
   3)算一步QR迭代，得到A2
6。｜|B｜｜<1,证明I—B可逆，并证明｜｜I-B||〈1/1—||B｜｜
1.(1）sin（x)的pade（3*3）逼近
  (2）确定求击公式的待定参数，使代数精度尽量高并指出代数精度是多少,判断是否为
     Gauss型
2。给出一多步线性方法,要求作出
  (1)该方法误差主项和阶的判定
  （2）相容性判定
  （3)是否满足根条件
  （4)是否A稳定
3.给定矩阵，要求作上Hessenberg阵和基本QR分解
4。给一非线性方程组，要求
  （1）写出相应的牛顿法迭代公式
  (2）自己再设计一种迭代方式，并判定其局部收敛性
5。给一矩阵A，含有参数a，要求
  （1)用J法的充要条件求a的范围
  （2)若a＝0，写出SOR法的分量计算公式，并求最优松弛因子
6。压缩影射原理中不动点的存在性和唯一性证明
1.1）求sin（x)的pade(3＊3)逼近R33
  2）确定求积公式的待定参数，使其代数精度尽量高并指出代数精度是多少，
    判断是否为Gauss型
    （区间是—2到2,被积函数是f(x）,求积公式为Af（—α）+Bf(0)+Cf（α))

2。给出一多步线性方法，y（n+2)=y(n)+h［f(n）+f(n+2)]
  1）求此方法局部截断误差主项，并判断方法的阶
  2）是否相容
  3）是否满足根条件，是否收敛
  4)是否A稳定

3.给定矩阵A，B.
   5   1  -2       3  4  0
A= —3  2   1    B= 4  4  1
   4   1   3       0  0  2

  1）用正交相似变换把A变化成上Hessenberg型矩阵
  2）对B做一次QR分解

4.给一非线性方程组

  3（X1)^2-(X2)^2=0
  3(X1)（X2)^2-(X1）^3—1=0

  此方程组在D{0.4<=X1=<0.6 ; 0.5〈=X2〈=1}上有精确解X＊
  要求
  1)写出相应的牛顿法迭代公式，给定X（0）=（0。55，0。9）T,求X(1）
  2)已知X＊=(1/2,3^(1/2)/2)T,求一种不动点迭代方式，并判定其局部收敛性

5。给一矩阵A和向量b
    4 —2   a       2
A= —2  4  —1    b= 6
    a —1   4       5
  1）求使J法迭代收敛的a的范围(注意使用最简单的收敛充要条件)
  2）若a＝0，写出SOR法的分量计算公式,并求最优松弛因子Wopt

6.｜｜G(x)-G(y）||<=L||x-y｜|  0<L〈1  G（D0)是D0的真子集
   求证G(x)在D0中存在唯一的不动点
一、给了个矩阵A
1）用household正交相似变换，将A变换为上海森堡形式A1
2)对A1(我记得是A1,不是A，不知道看错没有）做一次QR分解，要求用第一种位移方
法

二
1）给了个常微分方程组，求刚性比
2) y（n+2）=y（n+1)+h/(3f（n+2）+f(n）)/4，求阶数,判断相容性，收敛，及绝对稳定
区间

三，给定Ax = b
1）用变分构造出它的二次形式，并证明（这题的意思我觉得就是证明方程组的解使
该函数取最小值,好像就是证明书上那个定理，不知道对不对）
2)给定初值，用最速下降法算一步。

四,给了个非线性二元二次方程组
1）判断在定义区间上是否有唯一不动点
2）用newton迭代法计算一步。

五，给出了一个用分段线性插值逼近函数f的表达式（形式和书上差不多）,求出它
的法方程的系数矩阵，并判断它是否有解。

六，A对称正定，对Ax = b
   构造（I—αA)x = （I+αA)x — 2αb  (不知道记得对不对）
  证明 α〉0 时，迭代收敛

5道大题,若干小题，卷面成绩满分70
1。（1)求f（x）=sqrt（1—x^2)在span｛1，x，x^2｝上,权函数为rou=1/sqrt（1—x^2)的最佳平方逼近多项式
（2)求证高斯型求积公式中的A(k）满足A（k)=∫p(x)l（x）dx=∫p(x)l^2(x)dx,其中l（k)为Lagrange多项式

2。（1）Ax=b中A非奇异，则用J法、GS法、SOR法、SSOR法求解等价方程ATAx=ATb，各种方法的收敛性怎样？(其中0〈w〈2）
（2）A严格对角占优,求证其有唯一的LU分解，对称矩阵[3 1 0;1 3 1；0 1 3]求其cholysky分解

3。（1)写出用Lanczos方法计算某矩阵第一列的α和β
（2）已知矩阵[3 0 0；0 3 2；0 2 3]，求其QR分解，计算一步H’=RQ

4(1)f（x)=［x2^2-x1^2-x1   其精确解为x＊=[0 0 0]，写出牛顿法的计算公式
          sin(x1^2)—x2]；
(2)已知G（x)=[x2^2-x1^2
                sin(x1^2）]；
给出区域D使得在此区域内的初始值可以收敛到精确解，并说明原因

5.(1)线性2步法-0。5y（n)-0.5y（n+1）+y（n+2）=h/2＊（f（n)+f(n+1）+f(n+2)）,计算其局部阶段误差的阶数若h=0。1,判断其稳定性
（2)已知R(z)的稳定函数是exp(z）的pade（1,2)逼近多项式,计算其稳定域,是否是A-稳定?（pade逼近的计算公式卷子上给了）