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2021-2022学年高中数学 2 一元二次函数、方程和不等式章末综合测评新人教A版必修第一册

2021-2022学年高中数学 2 一元二次函数、方程和不等式章末综合测评新人教A版必修第一册

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章末综合测评(二)　一元二次函数、方程和不等式
(满分：150分　时间：120分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A＝{x|x2－x－2<0}，集合B＝{x|1<x<3}，则A∪B等于(　　)
A．{x|－1<x<3} B．{x|－1<x<1}
C．{x|1<x<2} D．{x|2<x<3}
A　[A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，∴A∪B＝{x|－1<x<3}．故选A.]
2．给定下列命题：
①a>b⇒a2>b2；②a2>b2⇒a>b；③a>b⇒<1；④a>b⇒<.
其中正确的命题个数是(　　)
A．0　　 B．1　　　　
C．2　　 D．3
A　[取a＝0，b＝－1可知①③④均错误．取a＝－2，b＝1可知②错误，故①②③④均错误，故选A.]
3．设m>1，P＝m＋，Q＝5，则P，Q的大小关系为(　　)
A．P<Q B．P＝Q
C．P≥Q D．P≤Q
C　[∵m>1，∴P＝m＋＝m－1＋＋1≥2＋1＝5，当且仅当m－1＝，即m＝3时等号成立．
∴P≥Q，故选C.]
4．不等式|x|(1－2x)＞0的解集为(　　)
A. B．
C. D．
A　[当x≥0时，原不等式即为x(1－2x)＞0，所以0＜x＜；当x＜0时，原不等式即为－x(1－2x)＞0，所以x＜0，综上，原不等式的解集为，故选A.]
5．已知＋＝1(x>0，y>0)，则x＋y的最小值为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
D　[∵x>0，y>0，∴x＋y＝(x＋y)·＝4＋2≥4＋4＝8.
当且仅当＝，即x＝y＝4时取等号．]
6．已知不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则不等式2x2＋bx＋a＜0的解集为(　　)
A． B．
C．{x|－2＜x＜1} D．{x|x＜－2或x＞1}
A　[由题意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根．
由根与系数的关系得
⇒
∴不等式2x2＋bx＋a＜0，即2x2＋x－1＜0.
解得－1＜x＜.]
7．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．－1<a<1 B．0<a<2
C．－<a< D．－<a<
C　[∵(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，
∴不等式(x－a)⊙(x＋a)<1，
即(x－a)(1－x－a)<1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x恒成立，
所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，
解得－<a<，故选C.]
8．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为(　　)
A．12元 B．16元
C．12元到16元之间 D．10元到14元之间
C　[设销售价定为每件x元，利润为y元，
则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，
依题意有，(x－8)[100－10(x－10)]＞320，
即x2－28x＋192＜0，
解得12＜x＜16，
所以每件销售价应为12元到16元之间．]
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．已知2<x<3,2<y<3，则(　　)
A．6<2x＋y<9 B．2<2x－y<3
C．－1<x－y<1 D．4<xy<9
ACD　[∵2<x<3,2<y<3，∴4<xy<9.
∴4<2x<6,6<2x＋y<9，
∴－3<－y<－2，－1<x－y<1,1<2x－y<4.
故选ACD.]
10．3＋5x－2x2>0的充分不必要条件是(　　)
A．－<x<3 B．－<x<0
C．1<x<2 D．－1<x<6
BC　[由3＋5x－2x2>0得－<x<3，故3＋5x－2x2>0的充分不必要条件是选项BC.]
11．小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a<b)，其全程的平均速度为v，则(　　)
A．a<v< B．v＝
C．<v< D．v＝
AD　[设甲、乙两地之间的距离为s，则全程所需的时间为＋，∴v＝＝.
由于b>a>0，由基本不等式可得<，∴v＝<＝.
另一方面，v＝<＝，v－a＝－a＝>>0，∴v>a
故a<v<，故选AD.]
12．若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列选项中正确的是(　　)
A．ab有最大值
B．＋有最小值
C．＋有最小值4
D．a2＋b2有最小值
AC　[∵a>0，b>0，且a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2，∴ab≤，∴ab有最大值，∴选项A正确；(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋(a＋b)＝2，∴0<＋≤，∴B错误；＋＝＝≥4，∴＋有最小值4，∴C正确；a2＋b2≥2ab,2ab≤，∴a2＋b2的最小值不是，∴D错误．故选AC.]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．要使有意义，则x的取值范围为________．
－7<x<1　[要使有意义，则7－6x－x2>0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－7<x<1.]
14．已知集合A＝{－5，－1,2,4,5}，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素，这个不等式可以是________．
(x＋4)(x－6)>0(答案不唯一)　[由题意知写出的一元二次不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素，不等式解集中的整数解只有一个在集合A中即可．故不等式可以是(x＋4)(x－6)>0.解集为{x|x>6或x<－4}．解集中只有－5在集合A中．]
15．a，b∈R，a＜b和＜同时成立的条件是________．
a＜0＜b　[若ab＜0，由a＜b两边同除以ab得，＞，即＜；若ab＞0，则＞.
所以a＜b和＜同时成立的条件是a＜0＜b.]
16．某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(二次函数的图象如图所示，总利润y为正数)，则营运年数的取值范围是________；每辆客车营运________年时，年平均利润最大．(本题第一空3分，第二空2分)
{3,4,5,6,7,8,9}　5　[由题意可设二次函数解析式为：y＝a(x－6)2＋11，x∈N*，
又函数图象过点(4,7)，故7＝a(4－6)2＋11，
∴a＝－1.
∴y＝－(x－6)2＋11，x∈N*.
由y>0得6－<x<6＋，又x∈N*，
∴x＝3,4,5,6,7,8,9.
由＝＝－x－＋12≤－2＋12＝－10＋12＝2可知，当且仅当－x＝－，即x＝5时等号成立．]
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知a>0，b>0，且a≠b，比较＋与a＋b的大小．
[解]　因为－(a＋b)＝－b＋－a＝＋＝(a2－b2)＝(a2－b2)＝，因为a>0，b>0，且a≠b，所以(a－b)2>0，a＋b>0，ab>0，所以－(a＋b)>0，即＋>a＋b.
18．(本小题满分12分)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0,0≤a≤1.
[解]　由x2－x－a2＋a<0得，(x－a)[x－(1－a)]<0.
因为0≤a≤1，
所以①当1－a>a，
即0≤a<时，a<x<1－a；
②当1－a＝a，即a＝时，2<0，不等式无解；
③当1－a<a，即<a≤1时，1－a<x<a.
综上所述，当0≤a<时，解集为{x|a＜x＜1－a}；
当a＝时，解集为∅；
当<a≤1时，解集为{x|1－a＜x＜a}．
19．(本小题满分12分)(1)若正数x，y满足x＋y＋8＝xy，求xy的取值范围．
(2)已知a，b，c都为正实数，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥10.
[解]　(1)xy＝x＋y＋8≥2＋8，
所以()2－2－8≥0，
所以(－4)(＋2)≥0，
所以≥4，
所以xy≥16(当且仅当x＝y＝4取等号)，
所以xy的取值范围为[16，＋∞)．
(2)证明：＋＋＝＋＋＝4＋＋＋≥4＋2＋2＋2＝10，当且仅当a＝b＝c＝时取等号．
∴＋＋≥10.
20．(本小题满分12分)已知关于x的不等式2kx2＋kx－<0，k≠0.
(1)若不等式的解集为，求k的值；
(2)若不等式的解集为R，求k的取值范围．
[解]　(1)因为关于x的不等式2kx2＋kx－<0的解集为，所以－和1是方程2kx2＋kx－＝0的两个实数根，由根与系数的关系可得－×1＝，得k＝.
(2)因为关于x的不等式2kx2＋kx－<0的解集为R，k≠0，所以解得－3<k<0，故k的取值范围为{k|－3<k<0}．
21．(本小题满分12分)某商品计划两次提价，有甲、乙、丙三种方案如下，其中p＞q＞0，经过两次提价后，哪种方案提价幅度大？

方案
第一次(提价)
第二次(提价)
甲
p%
q%
乙
q%
p%
丙
(p＋q)%
(p＋q)%
[解]　设商品原价为a，设按甲、乙、丙三种方案两次提价后价格分别为N甲、N乙、N丙，则
N甲＝a(1＋p%)(1＋q%)，
N乙＝a(1＋q%)(1＋p%)，
N丙＝a
＝a2.
显然甲、乙两种方案最终价格是一致的，因此，只需比较a2与a(1＋p%)(1＋q%)的大小．
N甲－N丙＝a
＝(2pq－p2－q2)
＝－(p－q)2＜0.
∴N丙＞N甲，
∴按丙方案提价比甲、乙方案提价幅度大．
22．(本小题满分12分)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间有函数关系：y＝(v>0)．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？(精确到0.01)
(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
[解]　(1)y＝＝≤＝≈11.08.
当v＝，即v＝(40千米/时)时，车流量最大，最大值约为11.08千辆/时．
(2)据题意有：≥10，
化简得v2－89v＋1 600≤0，
即(v－25)(v－64)≤0，
所以25≤v≤64.
所以汽车的平均速度应控制在25≤v≤64(千米/时)这个范围内．