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-机械能和功机械能和功2 恒力的功The Work with A Constant Force3变力的功The Work with Varying ForcesUnits of Work and Energy(Newton)(meters)=(kg m/s2)(m)=Joule4直角坐标系：直角坐标系：自然坐标系：自然坐标系：3.与与参照系无关，位移与参照系有关，参照系无关，位移与参照系有关，故故 A与参照系有关。与参照系有关。2.一般情况下，功与力和路径有关一般情况下，功与力和路径有关说明说明1.Work is not a vector,it is a scalar55.Average powerInstantaneous power瓦特瓦特(W)=(=(J/s)4.合力的功等于各分力的功的代数和。合力的功等于各分力的功的代数和。6内力的功内力的功 Work Done by Internal Force相对元位移相对元位移 Oij一对内力的功：一对内力的功：相对位矢相对位矢 71.系统内一对内力的功一般不为零系统内一对内力的功一般不为零2.一对内力做功之和与所选的参照系无关一对内力做功之和与所选的参照系无关与参照系无关。与参照系无关。一对摩擦力做功一对摩擦力做功:Af=-f l(地面系，木块系，子弹系地面系，木块系，子弹系)说明说明ijsl子弹子弹木块木块8解：解：变力变力恒力恒力 曲线运动曲线运动 例例 小球在水平变力小球在水平变力 作用下缓慢移动，即在所有位置上作用下缓慢移动，即在所有位置上均近似处于力平衡状态，直到绳子与竖直方向成均近似处于力平衡状态，直到绳子与竖直方向成 角。角。求：求：(1)的功，的功，(2)重力的功。重力的功。ml9例：例：光滑的水平桌面上有一环带，环带与小物体的摩擦光滑的水平桌面上有一环带，环带与小物体的摩擦 系数系数 m，在外力作用下小物体（，在外力作用下小物体（质量质量 m）以速率）以速率 v做匀做匀 速圆周运动，求转一周摩擦力做的功。速圆周运动，求转一周摩擦力做的功。r解：小物体对环带压力解：小物体对环带压力走一段小位移走一段小位移 s 所做的功所做的功转一周转一周Examples 10例设作用在质量为例设作用在质量为2kg2kg的物体上的力的物体上的力F=6F=6t（N N）。如）。如果物体由静止出发沿直线运动，在头果物体由静止出发沿直线运动，在头2 2（s s）内这力）内这力作了多少功？作了多少功？解：解：两边积分：两边积分：积分变量要统一积分变量要统一11动能动能 Kinetic energy热能热能 Thermal energy能量守恒能量守恒 Principle of the conservation of energy1686年年,莱布尼兹提出一物理运莱布尼兹提出一物理运动的量与物体速度平方成正比动的量与物体速度平方成正比1695年年,科里奥利发展为科里奥利发展为mv2/2并并称为称为“活力活力（living）force”1801年年,T.Yong提出将其称作能提出将其称作能1847年年,亥姆霍兹在亥姆霍兹在力的守恒力的守恒研究了机械能守恒及电磁现象与热研究了机械能守恒及电磁现象与热现象的能量守恒。现象的能量守恒。Kinetic energy is the energy of motion2.2.1.2 动能定理动能定理动能动能Kinetic energy12设质点设质点m在在力的作用下力的作用下沿曲线从沿曲线从a点移动到点移动到b点点Total Work 总功：总功：ba元功：元功：动能和功动能和功Kinetic Energy and Work13动能定理动能定理Kinetic Energy Theorem：The work done by the net external force equals the change in the objects kinetic energy.合力对质点所做的功等于质点动能的增量。合力对质点所做的功等于质点动能的增量。说明说明3.应用：应用：1.合力的功是动能变化的量度。合力的功是动能变化的量度。与参考系有关，动能定理只在与参考系有关，动能定理只在惯性系惯性系中成立。中成立。2.4.微分形式：微分形式：能量是衡量物体的作功本领，功是能量转化的量度。能量是衡量物体的作功本领，功是能量转化的量度。Work is change in energy14例例 质量质量 m 长长 l 的均匀链条，一部分放在光滑桌面上的均匀链条，一部分放在光滑桌面上,另另一部分从桌面边缘下垂一部分从桌面边缘下垂,下垂部分长下垂部分长 b，假定开始时链条，假定开始时链条静止，求链条全部离开桌面瞬间的速度。静止，求链条全部离开桌面瞬间的速度。解法一解法一 由动能定理由动能定理xO15 由牛顿定律由牛顿定律a也可由机械能守恒定律计算。也可由机械能守恒定律计算。解法二解法二 a16例例 用力用力F拉动一质量为拉动一质量为m的货物的货物缓慢缓慢地上一山坡，上山时每一地上一山坡，上山时每一处处F的方向均沿山坡的切向。假定山坡高的方向均沿山坡的切向。假定山坡高h0，从山脚到山顶的，从山脚到山顶的水平距离为水平距离为l0，货物与山坡间的摩擦系数为，货物与山坡间的摩擦系数为，求将货物拉上山，求将货物拉上山顶时，力顶时，力F做的功。做的功。解：缓慢解：缓慢动能为零动能为零合力做功为零合力做功为零17LxoLsx传送机滑道传送机滑道水平平台水平平台例例 柔软匀质物体以初速柔软匀质物体以初速v0 送上平台，物体前端在平台上送上平台，物体前端在平台上滑行滑行 s 距离后停止。设滑道上无摩擦，物体与台面间的摩擦距离后停止。设滑道上无摩擦，物体与台面间的摩擦系数为系数为，且，且 s，求初速度，求初速度v0。解：解：18由动能定理：由动能定理：19例例2-4 有三个相同的物体分别沿斜面、凸面和凹面滑下。有三个相同的物体分别沿斜面、凸面和凹面滑下。三面的高度和水平距离都相同，分别为三面的高度和水平距离都相同，分别为 h 和和 l，与物体的摩，与物体的摩擦系数均为擦系数均为。试分析那个物体滑到地面时速度最大。试分析那个物体滑到地面时速度最大?(1)解：解：(1)(2)(3)20(2)(3)最大最大(1)(1)(2)(3)END21 Force fieldxy 力矢力矢在空间的分布形象反映了力场在空间的分布形象反映了力场。xyzmo一般地，一般地，当质点所受的力仅与位置有关时，当质点所受的力仅与位置有关时，即即代表质点受力的空间分布，称为代表质点受力的空间分布，称为力场。力场。2.2.2 保守力做功与势能保守力做功与势能22 几种力的功几种力的功Work done by Common Forces1.Weight 重力作功只与质点的起始和终了位置有关，重力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与所经过而与所经过的的路径无关路径无关。The work done by weight depends on the difference between the final and initial heights,it does not depend on the path.dzdxz z1z2abmxO232.Gravity 设质量为设质量为M的质点固定，另一质量为的质点固定，另一质量为m的质点在的质点在M的引的引力场中从力场中从a点运动到点运动到b点。点。dr(万有万有)引力的功引力的功 does not depend on the path.rbraabMm243.Spring Spring work does not depend on the pathxmx2x1baOx25abOr4.CyclotronO：为横向单位矢量：为横向单位矢量路径路径1：圆弧圆弧ab A=0 Cyclotron work depends on the path！路径路径2：回旋力：回旋力：265.Friction forceab Frictional work depends on the path！Negative workNegative work27保守力和耗散力保守力和耗散力Conservative,Non-Conservative and Dissipative Forces abcd保守力：保守力：作功与作功与路径无关路径无关，只与始末位置有关的力。，只与始末位置有关的力。Forces for which the work is independent of the path.保守力沿任何闭合路径作功等于零。保守力沿任何闭合路径作功等于零。The work done by a conservative force in moving an object along any closed path is zero.作功不仅与始末位置有关，还与作功不仅与始末位置有关，还与路径有关路径有关的。的。如：重力，引力，弹性力等。如：重力，引力，弹性力等。如：摩擦力，回旋力等。如：摩擦力，回旋力等。非保守力：非保守力：而而(一对一对)摩擦力作功始终是摩擦力作功始终是负负的，的，又称为耗散力。又称为耗散力。Dissipative force28 有心力：有心力：有心力一定是保守力。有心力一定是保守力。Central force is conservative.判据判据 如：如：引力引力 静电力静电力是非保守力。是非保守力。(0，则为耗散力则为耗散力)是保守力。是保守力。任意闭任意闭合路径合路径29解：解：例例3-5 已知已知 ,C点坐标点坐标为为(2，1)。求：求：(1)的功的功 a.沿路径沿路径 OACb.沿路径沿路径 OBCc.沿路径沿路径 OC (2)是否为保守力是否为保守力?(1)xOABC(2,1)y30(2)非保守力，因为做功与路径有关。非保守力，因为做功与路径有关。xOABC(2,1)y31取任意路径取任意路径ABCDA为保守力。为保守力。为非保守力。为非保守力。例例3-5 设以下两个力场：设以下两个力场：,画出力矢图，画出力矢图，并判断是保守力还是非保守力。并判断是保守力还是非保守力。解：解：取矩形路径取矩形路径EFGHExyABCDxyEFGH32试根据力场的力矢分布图判断那些力场一定是保守的？试根据力场的力矢分布图判断那些力场一定是保守的？332.2.2.2势能势能与物体的位置相联系的系统能量称为势能与物体的位置相联系的系统能量称为势能Ep(p)。Where Ep(p)is some scalar function that depends only on position p.保守力保守力的功是势能变化的量度：的功是势能变化的量度：Work done by a conservative force is change in potential energy 物体在保守力场中物体在保守力场中a、b两点的势能两点的势能Ep(a)、Ep(b)之之差等于质点由差等于质点由a点移动到点移动到b点过程中保守力做的功点过程中保守力做的功Aab。保守力的功等于系统势能的减少。保守力的功等于系统势能的减少。势能的引入势能的引入34 空间某点的势能空间某点的势能Ep在数值上等于质点从该点移动到势在数值上等于质点从该点移动到势能零点时保守力作的功。能零点时保守力作的功。由保守力确定势能函数由保守力确定势能函数Calculating Potential Energy For simplicity,potential energy is always defined relative to some reference point where the potential energy is defined to be zero.The location of this point is totally arbitrary because only the change in potential energy is ever important.Define(arbitrary)Then 35Spring 势能势能Weight势能势能Gravity 势能势能For your purposes,there are very few:Problem where you dont know the force,but are given the potential energy explicitly36例例3-6 轻弹簧原长轻弹簧原长l0，劲度系数为，劲度系数为k，下端悬挂质量为，下端悬挂质量为m的重物。已知弹簧重物在的重物。已知弹簧重物在O点达到平衡，此时弹簧伸长了点达到平衡，此时弹簧伸长了x0，现取，现取x 轴向下为正，原点位于：轴向下为正，原点位于：(1)弹簧原长位置弹簧原长位置,(2)力的平衡位置。若取原点为重力势能和弹性势能的势力的平衡位置。若取原点为重力势能和弹性势能的势能零点，分别计算重物在任一位置能零点，分别计算重物在任一位置 P 时系统的总势能。时系统的总势能。解：解：(1)以弹簧原长点以弹簧原长点O 为坐标为坐标原点，系统总势能：原点，系统总势能：xmO OPx0 x37(2)若以重力与弹性力合力的若以重力与弹性力合力的平衡位置为原点，则有：平衡位置为原点，则有：任意位置任意位置 x 处的系统总势能：处的系统总势能：xmO OPx0 x38例例3-8 已知地球半径已知地球半径 R，物体质量，物体质量 m，处在地面，处在地面 2R 处。处。求势能求势能:（1）地面为零势能点；（）地面为零势能点；（2）无限远处为零势能）无限远处为零势能点。点。解：解：39由势能函数确定保守力由势能函数确定保守力Conservative Force and Potential Energy1.积分关系积分关系2.微分关系微分关系40矢量式：矢量式：称梯度算子。称梯度算子。Using potential energy to calculate force41势能曲线势能曲线Potential Energy Diagramsoz重力势能曲线重力势能曲线 引力势能曲线引力势能曲线 弹性势能曲线弹性势能曲线orox42xOxxOPotential energyKinetic energyTotal energyEnergy Conservation and Allowed MotionTurning points of spring depend on total energyStable equilibrium points are the Ep minimaUnder the sole influence of a conservative force,43 双原子分子的势能曲线：双原子分子的势能曲线：Or44质点平衡的稳定性质点平衡的稳定性Equilibrium Stability稳定平衡：稳定平衡：oxx0oxx0质点平衡条件：合力为零质点平衡条件：合力为零oxx0不稳定平衡不稳定平衡:随遇平衡：随遇平衡：极极小小值值极极大大值值势能为常数势能为常数Unstable equilibriumStable equilibrium45Energy DiagramsUnstableequilibriaStableequilibria46例例2-7 已知势能函数，已知势能函数，求保守力。求保守力。解：解：47解：解：而而Fx=0 (x 0)(0 x a)例例 3-9 已知一带正电的点电荷在某电场中的电势能曲线如已知一带正电的点电荷在某电场中的电势能曲线如图所示，图所示，OA段为段为抛物线抛物线，且，且 x=a 处处 Ep=E0，若点电荷的总，若点电荷的总能量为能量为 E0，求，求:(1)点电荷受到的电场力及点电荷受到的电场力及 F 与与 x 的关系曲的关系曲线。线。(2)点电荷的动能及点电荷的动能及 Ek 与与 x 的关系曲线。的关系曲线。（1）Ep与与 x 的关系的关系axEpE0OAxOaFx(0 x a)48(2)(0 x a)Ek=E0 (x a)OxaEkE0axEpE0OA49例例3-10 已知双原子分子的势函数为：已知双原子分子的势函数为：，a、b为正常数，函数曲线如图，如果分子的总能量为零。为正常数，函数曲线如图，如果分子的总能量为零。求：求：(1)双原子之间的最小距离；双原子之间的最小距离；(2)双原子之间平衡位置双原子之间平衡位置的距离；的距离；(3)双原子之间最大引力时的两原子距离；双原子之间最大引力时的两原子距离；(4)势阱深度势阱深度Ed；(5)画出与势能曲线相应的原子之间的相互画出与势能曲线相应的原子之间的相互作用力曲线。作用力曲线。解：解：xEp(1)xmin当动能当动能 Ek=0 时，时，Ep为最大，两为最大，两原子之间有最小距离原子之间有最小距离:50平衡位置的条件为平衡位置的条件为F=0，最大引力的条件为：最大引力的条件为：(2)双原子之间平衡位置的距离双原子之间平衡位置的距离(3)双原子之间最大引力时的两原子距离双原子之间最大引力时的两原子距离xEpx1xminx251将平衡位置两原子之间的距离将平衡位置两原子之间的距离 x1 代入势函数公式，得势阱深度：代入势函数公式，得势阱深度：在位置在位置x1处，保守力处，保守力F为零。为零。在势能曲线的拐点位置在势能曲线的拐点位置 x2 处，处，保守力保守力F有最小值。有最小值。(4)势阱深度势阱深度Ed (5)画出与势能曲线相应的原子之间的画出与势能曲线相应的原子之间的相互作用力曲线。相互作用力曲线。xEpx1xminx2xF52质点系的势能质点系的势能Potential Energy of a System of Particles保守内力保守内力其中其中 为质点为质点 i 和和 j 之间的相互作用势能。之间的相互作用势能。The interaction energy usually depends on the relative position of the objects.2.2.3 机械能守恒定律机械能守恒定律53 2.2.3.1 质点系动能定理质点系动能定理 Kinetic Theorem for a System设第设第 i 个质点所受外力的功为个质点所受外力的功为 ，内力的功为，内力的功为 ,初初速度为速度为 ,末速度为末速度为 。外力对质点系做的总功外力对质点系做的总功。内力对质点系做的总功内力对质点系做的总功。54质点系的动能定理质点系的动能定理：所有外力和内力对系统所作的所有外力和内力对系统所作的功之和等于系统总动能的增量。功之和等于系统总动能的增量。质点系的末态总动能。质点系的末态总动能。质点系的初态总动能。质点系的初态总动能。552.2.3.2 功能原理功能原理 Work-Energy Theorem 保守内力的总功保守内力的总功 非保守内力的总功非保守内力的总功内力的总功内力的总功质点系的功能原理：质点系的功能原理：质点系在运动过程中，所有外质点系在运动过程中，所有外力的功和非保守内力的功的总和等于系统机械能的力的功和非保守内力的功的总和等于系统机械能的增量。增量。561.明确系统及初、末状态。明确系统及初、末状态。2.适用于惯性系。适用于惯性系。3.This is the principle of mechanical energy与参照系无关与参照系无关,而而与参照系有关。与参照系有关。在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性系中机在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性系中机械能不一定守恒。械能不一定守恒。系统中的动能和势能可以转换系统中的动能和势能可以转换,各质点间的机械能各质点间的机械能也可以互换也可以互换,但保持系统的总机械能不变。但保持系统的总机械能不变。说明说明若若 574.对孤立系统对孤立系统若若能量转换和守恒定律能量转换和守恒定律其他形式的能量转化为机械能。其他形式的能量转化为机械能。机械能转化为其他形式的能量。机械能转化为其他形式的能量。则：则：58第第i个质点在实验室系的动能：个质点在实验室系的动能：质质心心系在实验室系的总动能系在实验室系的总动能：零动量系零动量系=0Konigs theorem补充补充1：质点系在实验室系的总动能：科尼希定理：质点系在实验室系的总动能：科尼希定理59补充补充2：质心系中的动能定理：质心系中的动能定理：由质点系动能定理：由质点系动能定理：xyzOc和惯性系中动能定理的形式完全相同和惯性系中动能定理的形式完全相同在质心坐标系中：在质心坐标系中：60例、例、两个质量分别为两个质量分别为m1和和m2的木块的木块A、B，用一劲度系数为，用一劲度系数为k的的轻弹簧连接，放在光滑的水平面上。轻弹簧连接，放在光滑的水平面上。A紧靠墙。今用力推紧靠墙。今用力推B块，块，使弹簧压缩使弹簧压缩 l然后释放，若以然后释放，若以A、弹簧和、弹簧和B为系统求：为系统求：（1）系统质心加速度和质心速度的最大值；）系统质心加速度和质心速度的最大值；（2）释放后）释放后A，B两滑块速度相等时的瞬时速度的大小。两滑块速度相等时的瞬时速度的大小。（3）弹簧的最大伸长量。）弹簧的最大伸长量。ABk k解解解解 l=0时，时，ac=0（1 1）系统外力）系统外力）系统外力）系统外力F=F=k k l恢复原长恢复原长vc有最大值有最大值质点系动能定理质点系动能定理61（2 2 2）A A A A块离墙后：块离墙后：块离墙后：块离墙后：当当v1=v2=v时：时：ABk k解解解解当弹簧处于最大伸长量时，必有当弹簧处于最大伸长量时，必有当弹簧处于最大伸长量时，必有当弹簧处于最大伸长量时，必有当弹簧处于最大伸长量时，必有当弹簧处于最大伸长量时，必有v v v1 11=v=v=v2 22=v=v=v（3 3）机械能守恒：）机械能守恒：）机械能守恒：）机械能守恒：62例例3-11 光滑水平面上放有质量为光滑水平面上放有质量为m1的沙箱，的沙箱，由左方飞由左方飞来质量为来质量为m2的弹丸从箱左侧击入，的弹丸从箱左侧击入，在沙箱中前进在沙箱中前进 l 距离后距离后停止。停止。在这段时间中沙箱向右运动了距离在这段时间中沙箱向右运动了距离 s，此后沙箱带此后沙箱带着弹丸以匀速着弹丸以匀速 v 运动。求运动。求(1)沙箱对弹丸的平均阻力沙箱对弹丸的平均阻力F；(2)弹丸初速弹丸初速v0；(3)沙箱沙箱-弹丸系统损失的机械能。弹丸系统损失的机械能。(2)对弹丸，应用动能定理：对弹丸，应用动能定理：(1)对沙箱对沙箱,应用动能定理：应用动能定理：解：解：s+l s63(3)机械能变化：机械能变化：一对非保守内力一对非保守内力(耗散力耗散力)做做负功，使系统动能减少。负功，使系统动能减少。s+l s64例例3-13 已知铁链质量已知铁链质量m，长，长 l，与桌面摩擦系数为，与桌面摩擦系数为 。问：问：(1)a 为多少为多少 时铁链开始下滑时铁链开始下滑?(2)金属链全部离开金属链全部离开桌面时桌面时 v 为多少为多少?解：解：(1)(2)摩擦力做负功，以摩擦力做负功，以 a 处为坐标原点处为坐标原点下垂部分重力下垂部分重力 等于摩擦力时等于摩擦力时Oxdxa65利用功能原理，以桌面为零势能点：利用功能原理，以桌面为零势能点：Oxdxa势能增量势能增量动能增量动能增量66例例3-12 证明流体内流速大的地方压力反而小证明流体内流速大的地方压力反而小(伯努伯努利方程利方程)。证：证：由功能原理：由功能原理：（忽略高度的变化）（忽略高度的变化）单位时间流过的水量相等单位时间流过的水量相等v2v1s2s1s2s1p1p267伯努利方程伯努利方程s2s1p1p268例例3-14 计算第一、第二宇宙速度。计算第一、第二宇宙速度。Circular Orbit Velocity 已知：地球半径为已知：地球半径为R，质量为，质量为M，卫星，卫星质量为质量为m。要使卫星在距地面。要使卫星在距地面h 高度绕高度绕地球作匀速圆周运动，求其发射速度。地球作匀速圆周运动，求其发射速度。解：解：设发射速度为设发射速度为v1，绕地球的运动速度为，绕地球的运动速度为v。机械能守恒：机械能守恒：万有引力提供向心力：万有引力提供向心力：RMm69得：得：第一宇宙速度第一宇宙速度70二、第二宇宙速度二、第二宇宙速度(Escape Velocity)宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度。宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度。(1)脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或等于零。脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或等于零。(2)脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。由机械能守恒：由机械能守恒：得：得：Speed where the kinetic energy of an object is equal to the magnitude of its gravitational potential energy 71Escape VelocityEscape Velocity宇宙飞船脱离太阳系必须具有的绕太阳公转速度宇宙飞船脱离太阳系必须具有的绕太阳公转速度总动能：总动能：总动能：总动能：所以：所以：所以：所以：宇宙飞船脱离太阳系而必须具有的发射速度宇宙飞船脱离太阳系而必须具有的发射速度相对地球速度相对地球速度公转速度公转速度72例例例例一质量为一质量为m m的小球系在长为的小球系在长为l 的细绳下端，起初把绳的细绳下端，起初把绳子放在与铅直线成子放在与铅直线成 0 0角处，然后放手使小球沿圆弧下角处，然后放手使小球沿圆弧下落，试求绳与铅直线成落，试求绳与铅直线成 角时，小球的速率。角时，小球的速率。解：解：解：解：合力的功合力的功mgTds由动能定理：由动能定理：由动能定理：由动能定理：73作业2-16，2-33，2-20，2-222-25，2-27，2-29，2-3074to determine whether there is friction between the table and the 5 kg mass and if so what the coefficient of kinetic friction must be