【全程复习方略】2015届高考数学第一轮总复习-29-函数模型及其应用-文-新人教A版.ppt

第 九 节函数模型及其应用考考试试说说明明内容内容知知识识要求要求了解了解(A)(A)理解理解(B)(B)掌握掌握(C)(C)函数模型的函数模型的应应用用三年三年考考题题1313年年(5(5考考)：湖北：湖北T5T5江西江西T10T10湖北湖北T17T17 陕陕西西T14T14重重庆庆T20T201212年年(2(2考考)：江西：江西T10T10江江苏苏T17T171111年年(3(3考考)：江：江苏苏T17T17福建福建T16T16山山东东T21T21考情考情播播报报1.1.利用函数利用函数图图象刻画象刻画实际问题实际问题及建立函数模型解决及建立函数模型解决实实际问题际问题,是高考命是高考命题题的的热热点点2.2.常与函数的常与函数的图图象、象、单调单调性、最性、最值值以及基本不等式、以及基本不等式、导导数的数的应应用交用交汇汇命命题题,考考查查建模能力及分析建模能力及分析问题问题和解决和解决问题问题的能力的能力3.3.选择题选择题、填空、填空题题、解答、解答题题三种三种题题型都有考型都有考查查,但以解但以解答答题为题为主主 【知识梳理知识梳理】1.1.指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质函数函数性性质质y=y=a ax x(a(a1)1)y=y=logloga ax(ax(a1)1)y=y=x xn n(n(n0)0)在在(0,+)(0,+)上的增减性上的增减性_增增长长速度速度越来越快越来越快越来越慢越来越慢相相对对平平稳稳图图象的象的变变化化随随x x的增大逐的增大逐渐渐表表现为现为与与_平行平行随随x x的增大逐的增大逐渐渐表表现为现为与与_平行平行随随n n值变值变化而化而各有不同各有不同值值的比的比较较存在一个存在一个x x0 0,当当xxxx0 0时时,有有logloga ax x x xn na1)1)的增的增长长速度会超速度会超过过并并远远远远大于大于y=y=x x(0)0)的增的增长长速度速度;“指数爆炸指数爆炸”是指数型函数是指数型函数y=ay=ab bx x+c(a0,b0,b1)+c(a0,b0,b1)增增长长速速度越来越快的形象比度越来越快的形象比喻喻;幂函数增长比直线增长更快幂函数增长比直线增长更快;指数函数模型指数函数模型,一般用于解决变化较快一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大短时间内变化量较大的实际问题中的实际问题中.其中正确的命题是其中正确的命题是()A.B.C.D.A.B.C.D.【解析解析】选选D.D.错误错误.当当x(0,2)x(0,2)和和(4,+)(4,+)时时,2,2x xxx2 2,当当x(2,4)x(2,4)时时,x,x2 222x x.正确正确.由两者的图象易知由两者的图象易知.错误错误.增长越来越快的指数型函数是增长越来越快的指数型函数是y=y=a ab bx x+c(a+c(a0,b1).0,b1).错误错误.幂函数幂函数y=xy=xn n(0n1)(0n1)的增长速度比直线的增长速度比直线y=y=x(xx(x1)1)的的增长速度慢增长速度慢.正确正确.根据指数函数根据指数函数y=y=a ax x(a(a1)1)函数值增长特点知函数值增长特点知正确正确.2.2.在某种新型材料的研制中在某种新型材料的研制中,实验实验人人员获员获得了下列一得了下列一组实验组实验数据数据.现现准准备备用下列四个函数中的一个近似地表示用下列四个函数中的一个近似地表示这这些数据的些数据的规规律律,其其中最接近的一个是中最接近的一个是()A.yA.y=2=2x x B.yB.y=log=log2 2x xC.yC.y=(x=(x2 2-1)-1)D.yD.y=2.61cosx=2.61cosxx x1.951.953.003.003.943.945.105.106.126.12y y0.970.971.591.591.981.982.352.352.612.61【解析解析】选选B.B.由表格知当由表格知当x=3x=3时时,y=1.59,y=1.59,而而A A中中y=2y=23 3=8,=8,不合要不合要求求,B,B中中y=logy=log2 23(1,2)3(1,2)接近接近,C,C中中y=(3y=(32 2-1)=4,-1)=4,不合要求不合要求,D,D中中y=2.61cos30,y=2.61cos30,不合要求不合要求,故选故选B.B.3.(20133.(2013湖北高考湖北高考)小明骑车上学小明骑车上学,开始时匀速行驶开始时匀速行驶,途中因交途中因交通堵塞停留了一段时间通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快速度行驶后为了赶时间加快速度行驶.与以上事与以上事件吻合得最好的图象是件吻合得最好的图象是()【解析解析】选选C.C.距学校越来越近则图象下降距学校越来越近则图象下降,交通堵塞时距离不交通堵塞时距离不变变,后加速行驶后加速行驶,直线变陡直线变陡.4.4.某种某种动动物繁殖量物繁殖量y(y(只只)与与时间时间x(x(年年)的关系的关系为为y=alogy=alog3 3(x+1),(x+1),设设这这种种动动物第物第2 2年有年有100100只只,到第到第8 8年它年它们发们发展到展到()A.200A.200只只 B.300B.300只只 C.400C.400只只 D.500D.500只只【解析解析】选选A.A.由已知得由已知得100=alog100=alog3 3(2+1),(2+1),得得a=100,a=100,则当则当x=8x=8时时,y=100log,y=100log3 3(8+1)=200(8+1)=200(只只).).5.5.某种储蓄按复利计算利息某种储蓄按复利计算利息,若本金为若本金为a a元元,每期利率为每期利率为r,r,存期存期是是x,x,本利和本利和(本金加利息本金加利息)为为y y元元,则本利和则本利和y y随存期随存期x x变化的函数变化的函数关系式是关系式是.【解析解析】已知本金为已知本金为a a元元,利率为利率为r,r,则则1 1期后本利和为期后本利和为y=y=a+ara+ar=a(1+r),=a(1+r),2 2期后本利和为期后本利和为y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2 2,3 3期后本利和为期后本利和为y=a(1+r)y=a(1+r)3 3,x x期后本利和为期后本利和为y=a(1+r)y=a(1+r)x x,xN.,xN.答案答案:y=a(1+r)y=a(1+r)x x,xN,xN6.(20146.(2014吉首模拟吉首模拟)某工厂生产某种产品固定成本为某工厂生产某种产品固定成本为2 0002 000万万元，并且每生产一单位产品，成本增加元，并且每生产一单位产品，成本增加1010万元万元.又知总收入又知总收入K K是是单位产品数单位产品数Q Q的函数，的函数，K(Q)=40Q-QK(Q)=40Q-Q2 2，则总利润，则总利润L(Q)L(Q)的最大的最大值是值是_万元万元.【解析解析】由已知得由已知得L(Q)=K(Q)-10Q-2 000L(Q)=K(Q)-10Q-2 000=(40Q-Q=(40Q-Q2 2)-10Q-2 000=-(Q-300)-10Q-2 000=-(Q-300)2 2+2 500+2 500，所以当所以当Q=300Q=300时，时，L(Q)L(Q)maxmax=2 500(=2 500(万元万元).).答案：答案：2 5002 500考点考点1 1 用函数图象刻画实际问题中两变量的变化过程用函数图象刻画实际问题中两变量的变化过程【典例典例1 1】(1)(2014(1)(2014三明模拟三明模拟)如图，下面的四个容器高度都如图，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止为止.用下面对应的图象表示该容器中水面的高度用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h h和时间和时间t t之之间的关系，其中不正确的有间的关系，其中不正确的有()()A.1A.1个个 B.2B.2个个 C.3C.3个个 D.4D.4个个(2)(2013(2)(2013江西高考江西高考)如如图图,半径半径为为1 1的半的半圆圆O O与等与等边边三角形三角形ABCABC夹夹在两平行在两平行线线l1 1,l2 2之之间间,ll1 1,l与半与半圆圆相交于相交于F,GF,G两点两点,与三角与三角形形ABCABC两两边边相交于相交于E,DE,D两点两点.设设弧弧FGFG的的长为长为x(0 x),y=EB+BC x(0 x0 x0时时,函数值增大表明票函数值增大表明票价提高价提高,故故正确正确.【加固加固训练训练】1.(20131.(2013北京模北京模拟拟)某地区的某地区的绿绿化面化面积积每年平均比上一年增每年平均比上一年增长长18%,18%,经过经过x x年年,绿绿化面化面积积与原与原绿绿化面化面积积之比之比为为y,y,则则y=y=f(xf(x)的的图图象象大致大致为为()【解析解析】选选D.D.设某地区起始年的绿化面积为设某地区起始年的绿化面积为a,a,因为该地区的绿化面积每年平均比上一年增长因为该地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%,18%,所以经过所以经过x x年年,绿化面积绿化面积g(xg(x)=a(1+18%)=a(1+18%)x x,因为绿化面积与原绿化面积之比为因为绿化面积与原绿化面积之比为y,y,则则y=y=f(xf(x)=(1+18%)=(1+18%)x x=1.18=1.18x x,因为因为y=1.18y=1.18x x为底数大于为底数大于1 1的指数函数的指数函数,故可排除故可排除C,C,当当x=0 x=0时时,y=1,y=1,可排除可排除A,B,A,B,故选故选D.D.2.(20142.(2014石家庄模石家庄模拟拟)在翼装在翼装飞飞行世界行世界锦标赛锦标赛中中,某翼人空中高某翼人空中高速速飞飞行行,如如图图反映了他从某反映了他从某时时刻开始的刻开始的1515分分钟钟内的速度内的速度v(xv(x)与与时时间间x x的关系的关系,若定若定义义“速度差函数速度差函数”u(xu(x)为时间为时间段段0,x0,x内的最大速内的最大速度与最小速度的差度与最小速度的差,则则u(xu(x)的的图图象是象是()【解析解析】选选D.D.由题意可得由题意可得,当当x0,6x0,6时时,翼人做匀加速运动翼人做匀加速运动,v(xv(x)=80+x,)=80+x,“速度差函数速度差函数”u(xu(x)=x.)=x.当当x6,10 x6,10时时,翼人做匀减速运动翼人做匀减速运动,速度速度v(xv(x)从从160160开始下降开始下降,一直降到一直降到80,u(x)=160-80=80.80,u(x)=160-80=80.当当x10,12x10,12时时,翼人做匀减速运动翼人做匀减速运动,v(xv(x)从从8080开始下降开始下降,v(xv(x)=180-10 x,u(x)=160-(180-10 x)=10 x-20.)=180-10 x,u(x)=160-(180-10 x)=10 x-20.当当x12,15x12,15时时,翼人做匀加速运动翼人做匀加速运动,“速度差函数速度差函数”u(xu(x)=160-60=100,)=160-60=100,结合所给的图象结合所给的图象,故选故选D.D.3.(20143.(2014昆明模昆明模拟拟)如如图图,有一直角有一直角墙墙角角,两两边边的的长长度足度足够长够长,在在P P处处有一棵有一棵树树与两与两墙墙的距离分的距离分别别是是a a米米(0a12)(0a12)、4 4米米,不考不考虑虑树树的粗的粗细细.现现在想用在想用1616米米长长的的篱篱笆笆,借助借助墙墙角角围围成一个矩形的花成一个矩形的花圃圃ABCD.ABCD.设设此矩形花圃的面此矩形花圃的面积为积为S S平方米平方米,S,S的最大的最大值为值为f(af(a),),若将若将这这棵棵树围树围在花圃内在花圃内,则则函数函数u=u=f(af(a)的的图图象大致是象大致是()【解析解析】选选C.C.设设BC=xBC=x，则，则CD=16-xCD=16-x，由由 得得ax12.ax12.S=x(16-x)=-(x-8)S=x(16-x)=-(x-8)2 2+64.+64.当当0 0a a8 8时，时，f(af(a)=64)=64，当当8a8a1212时，时，f(af(a)=-(a-8)=-(a-8)2 2+64+64，即即 故选故选C.C.考点考点2 2 应应用所用所给给函数模型解决函数模型解决实际问题实际问题【典例典例2 2】(1)(2014(1)(2014沈阳模沈阳模拟拟)一个容器装有一个容器装有细细沙沙acmacm3 3,细细沙从容沙从容器底下一个器底下一个细细微的小孔慢慢地匀速漏出微的小孔慢慢地匀速漏出,tmintmin后剩余的后剩余的细细沙量沙量为为y=aey=ae-bt-bt(cm(cm3 3),),经过经过8min8min后后发现发现容器内容器内还还有一半的沙子有一半的沙子,则则再再经过经过min,min,容器中的沙子只有开始容器中的沙子只有开始时时的八分之一的八分之一.(2)(2014(2)(2014宜昌模宜昌模拟拟)某企某企业业生生产产A,BA,B两种两种产产品品,根据市根据市场调查场调查与与预预测测,A,A产产品的利品的利润润与投与投资资成正比成正比,其关系如其关系如图图1;B1;B产产品的利品的利润润与投与投资资的算的算术术平方根成正比平方根成正比,其关系如其关系如图图2(2(注注:利利润润和投和投资单资单位位:万元万元).).分别将分别将A,BA,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式两种产品的利润表示为投资的函数关系式.已知该企业已筹集到已知该企业已筹集到1818万元资金万元资金,并将全部投入并将全部投入A,BA,B两种产品两种产品的生产的生产.()()若平均投入生产两种产品若平均投入生产两种产品,可获得多少利润可获得多少利润?()()问问:如果你是厂长如果你是厂长,怎样分配这怎样分配这1818万元投资万元投资,才能使该企业才能使该企业获得最大利润获得最大利润?其最大利润约为多少万元其最大利润约为多少万元?【解题视点解题视点】(1)(1)根据已知条件先确定所给函数模型中待定系根据已知条件先确定所给函数模型中待定系数数b,b,进而利用该模型求得所求进而利用该模型求得所求.(2)(2)结合图象结合图象,利用待定系数法求得函数关系式利用待定系数法求得函数关系式;根据根据所求函数模型求解所求函数模型求解.【规范解答规范解答】(1)(1)依题意有依题意有a ae e-b-b8 8=a,=a,所以所以若容器中的沙子只有开始时的八分之一，若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则有则有 解得解得t=24,t=24,所以再经过的时间为所以再经过的时间为24-8=16(min).24-8=16(min).答案：答案：1616(2)(2)设设A,BA,B两种产品分别投资两种产品分别投资x x万元万元,x,x万元万元,x0,x0，所获利润分，所获利润分别为别为f(xf(x)万元、万元、g(xg(x)万元万元.由题意可设由题意可设f(xf(x)=k)=k1 1x,g(x)=x,g(x)=根据图象可解得根据图象可解得f(xf(x)=0.25x(x0).)=0.25x(x0).g(xg(x)=(x0).)=(x0).()()由由得得f(9)=2.25,g(9)=6.f(9)=2.25,g(9)=6.所以总利润所以总利润y=8.25 y=8.25 万元万元.()()设设B B产品投入产品投入x x万元万元,A,A产品投入产品投入(18-x)(18-x)万元万元,该企业可获总该企业可获总利润为利润为y y万元万元.所以当所以当t=4t=4时时,y ymaxmax=8.5,=8.5,此时此时x=16,18-x=2.x=16,18-x=2.所以当所以当A,BA,B两种产品分别投入两种产品分别投入2 2万元、万元、1616万元时，可使该企业获万元时，可使该企业获得最大利润得最大利润,约为约为8.58.5万元万元.【规律方法规律方法】应用所给函数模型解决实际问题的关注点应用所给函数模型解决实际问题的关注点(1)(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3)(3)利用该模型求解实际问题利用该模型求解实际问题.提醒：提醒：解决实际问题时要注意自变量的取值范围解决实际问题时要注意自变量的取值范围.【变变式式训练训练】(2014(2014三明模三明模拟拟)已知甲、乙两个工厂在今年的已知甲、乙两个工厂在今年的1 1月份的利月份的利润润都是都是6 6万元万元,且乙厂在且乙厂在2 2月份的利月份的利润润是是8 8万元万元.若甲、乙若甲、乙两个工厂的利两个工厂的利润润(万元万元)与月份与月份x x之之间间的函数关系式分的函数关系式分别别符合下列符合下列函数模型函数模型:f(xf(x)=a)=a1 1x x2 2-4x+6,g(x)=a-4x+6,g(x)=a2 23 3x x+b+b2 2(a(a1 1,a,a2 2,b,b2 2R).R).(1)(1)求函数求函数f(xf(x)与与g(xg(x)的解析式的解析式.(2)(2)求甲、乙两个工厂今年求甲、乙两个工厂今年5 5月份的利月份的利润润.(3)(3)在同一直角坐在同一直角坐标标系下画出函数系下画出函数f(xf(x)与与g(xg(x)的草的草图图,并根据草并根据草图图比比较较今年今年1 11010月份甲、乙两个工厂的利月份甲、乙两个工厂的利润润的大小情况的大小情况.【解析解析】(1)(1)依题意：由依题意：由f(1)=6,f(1)=6,解得解得:a:a1 1=4,=4,所以所以f(xf(x)=4x)=4x2 2-4x+6.-4x+6.(2)(2)由由(1)(1)知甲厂在今年知甲厂在今年5 5月份的利润为月份的利润为f(5)=86f(5)=86万元，乙厂在今万元，乙厂在今年年5 5月份的利润为月份的利润为g(5)=86g(5)=86万元，故有万元，故有f(5)=g(5),f(5)=g(5),即甲、乙两个即甲、乙两个工厂今年工厂今年5 5月份的利润相等月份的利润相等.(3)(3)作函数图象如下：作函数图象如下：从图中可以看出今年从图中可以看出今年1 11010月份甲、乙两个工厂的利润：月份甲、乙两个工厂的利润：当当x=1x=1或或x=5x=5时，有时，有f(xf(x)=)=g(xg(x););当当1x51x)g(xg(x)；当当5x105x10时，有时，有f(xf(x)g(xg(x).).【加固加固训练训练】1.1.某工厂某工厂产产生的生的废废气气经过过滤经过过滤后排放后排放,过滤过过滤过程中程中废废气的气的污污染物染物数量数量PmgPmg/L/L与与时间时间thth间间的关系的关系为为P=PP=P0 0e e-kt-kt.若在前若在前5 5个小个小时时消除了消除了10%10%的的污污染物染物,则污则污染物减少染物减少50%50%所需要的所需要的时间约为时间约为 h.(h.()A.26 B.33 C.36 D.42A.26 B.33 C.36 D.42【解析解析】选选B.B.由题意，前由题意，前5 5个小时消除了个小时消除了10%10%的污染物，的污染物，因为因为P=PP=P0 0e e-kt-kt,所以所以(1-10%)P(1-10%)P0 0=P=P0 0e e-5k-5k,即污染物减少即污染物减少50%50%需要的时间约为需要的时间约为33 h.33 h.2.(20142.(2014郑州模拟郑州模拟)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产线连续生产已知该生产线连续生产n n年的累计产量为年的累计产量为f(nf(n)=n(n+1)(2n+1)=n(n+1)(2n+1)吨，但如果年产量超过吨，但如果年产量超过150150吨，会给环境造成危害吨，会给环境造成危害.为保护环境，环保部门应给该厂这为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是条生产线拟定最长的生产期限是()()A.5A.5年年 B.6B.6年年 C.7C.7年年 D.8D.8年年 【解析解析】选选C.C.第第n n年的年产量年的年产量因为因为f(nf(n)=n(n+1)(2n+1),)=n(n+1)(2n+1),所以所以f(1)=3,f(1)=3,当当n2n2时，时，f(n-1)=n(n-1)(2n-1),f(n-1)=n(n-1)(2n-1),所以所以f(n)-f(n-1)=3nf(n)-f(n-1)=3n2 2.n=1n=1时，也满足上式时，也满足上式,所以第所以第n n年的年产量为年的年产量为y=3ny=3n2 2,令令3n3n2 2150,150,所以所以n n2 250,50,因为因为nN,n1,nN,n1,所以所以1n7,1n7,所以所以n nmaxmax=7.=7.3.(20143.(2014苏州模拟苏州模拟)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本理成本y(y(元元)与月处理量与月处理量x(x(吨吨)之间的函数关系可近似地表示为之间的函数关系可近似地表示为 且每处理且每处理1 1吨二氧化碳得到吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为可利用的化工产品价值为200200元，若该项目不获利，国家将给元，若该项目不获利，国家将给予补偿予补偿.(1)(1)当当xx200,300200,300时，判断该项目能否获利？如果获利，时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？才能使该项目不亏损？(2)(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？本最低？【解析解析】(1)(1)当当xx200,300200,300时，设该项目获利为时，设该项目获利为S S，则则S=200 x-(xS=200 x-(x2 2-200 x+80 000)-200 x+80 000)=-x=-x2 2+400 x-80 000+400 x-80 000=-(x-400)=-(x-400)2 2,所以当所以当xx200,300200,300时，时，S0,S0,因此该项目不会获利因此该项目不会获利.当当x=300 x=300时，时，S S取得最大值取得最大值-5 000,-5 000,所以国家每月至少补贴所以国家每月至少补贴5 0005 000元才能使该项目不亏损元才能使该项目不亏损.(2)(2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为当当xx120,144)120,144)时，时，=x=x2 2-80 x+5 040-80 x+5 040=(x-120)=(x-120)2 2+240,+240,所以当所以当x=120 x=120时，时，取得最小值取得最小值240.240.即即x=400 x=400时，时，取得最小值取得最小值200.200.因为因为200240,2000,y0,x40,y0,y0,x40,y0)(a0)模型求解模型求解根据根据题题意构建函数模型意构建函数模型f(x)=x+f(x)=x+(a0),(a0),用基本不等式或用基本不等式或导导数法求其数法求其最最值值高考指数高考指数重点重点题题型型破解策略破解策略构建高次函数构建高次函数或复或复杂杂的分式的分式结结构函数模型构函数模型根据根据题题意意,抓住抓住题题中的等量关系中的等量关系,构构建三次或复建三次或复杂杂的分式的分式结结构函数模型构函数模型用用导导数法求最数法求最值值构建分段函数构建分段函数模型模型(1)(1)根据根据题题意意,分分别别求出不同范求出不同范围围的的函数表达式函数表达式,做到分段合理、不重做到分段合理、不重不漏不漏(2)(2)分段求出各段函数的最大分段求出各段函数的最大(小小)值值,比比较较得所求最大得所求最大(小小)值值【特别提醒特别提醒】(1)(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域.(2)(2)对构建的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟对构建的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解悉的函数问题求解.【通关通关题组题组】1.(20141.(2014武汉模拟武汉模拟)如图所示，已知边长如图所示，已知边长为为8 8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中中AE=4AE=4米，米，CD=6CD=6米米.为了合理利用这块钢为了合理利用这块钢板，将在五边形板，将在五边形ABCDEABCDE内截取一个矩形块内截取一个矩形块BNPMBNPM，使点，使点P P在边在边DEDE上上.(1)(1)设设MP=xMP=x米，米，PN=yPN=y米，将米，将y y表示成表示成x x的函数，求该函数的解析的函数，求该函数的解析式及定义域式及定义域.(2)(2)求矩形求矩形BNPMBNPM面积的最大值面积的最大值.【解析解析】(1)(1)作作PQAFPQAF于于Q Q，所以，所以PQ=8-yPQ=8-y，EQ=x-4EQ=x-4，在在EDFEDF中，中，所以所以 定义域为定义域为x|4x8.x|4x8.(2)(2)设矩形设矩形BNPMBNPM的面积为的面积为S S，则则S(x)=xy=x(10-)=-(x-10)S(x)=xy=x(10-)=-(x-10)2 2+50,+50,所以所以S(x)S(x)是关于是关于x x的二次函数，且其开口向下，对称轴为的二次函数，且其开口向下，对称轴为x=10,x=10,所以当所以当xx4,84,8时，时，S(x)S(x)单调递增，单调递增，所以当所以当x=8x=8时，矩形时，矩形BNPMBNPM面积取得最大值面积取得最大值4848平方米平方米.2.(20142.(2014厦门模拟厦门模拟)国家推行国家推行“节能减排，低碳经济节能减排，低碳经济”政策后，政策后，环保节能的产品供不应求环保节能的产品供不应求.为适应市场需求，某企业投入为适应市场需求，某企业投入9898万万元引进环保节能生产设备，并马上投入生产元引进环保节能生产设备，并马上投入生产.第一年需各种费第一年需各种费用用1212万元，从第二年开始，每年所需费用会比上一年增加万元，从第二年开始，每年所需费用会比上一年增加4 4万万元元.而每年因引入该设备可获得年利润为而每年因引入该设备可获得年利润为5050万元万元.请你根据以上请你根据以上数据，解决以下问题：数据，解决以下问题：(1)(1)引进该设备多少年后，该厂开始盈利？引进该设备多少年后，该厂开始盈利？(2)(2)若干年后，因该设备老化，需处理老设备，引进新设备，若干年后，因该设备老化，需处理老设备，引进新设备，该厂提出两种处理方案：该厂提出两种处理方案：第一种：年平均利润达到最大值时，以第一种：年平均利润达到最大值时，以2626万元的价格卖出万元的价格卖出.第二种：盈利总额达到最大值时，以第二种：盈利总额达到最大值时，以8 8万元的价格卖出万元的价格卖出.问哪种问哪种方案较为合算？方案较为合算？【解析解析】(1)(1)设引进该设备设引进该设备x x年后开始盈利，盈利额为年后开始盈利，盈利额为y y万元万元.则则y=50 x-98-12x+y=50 x-98-12x+4=-2x4=-2x2 2+40 x-98,+40 x-98,令令y y0,0,得得10-10-x x10+10+，因为，因为xNxN*,所以所以3x17.3x17.即引进该设备三年后开始盈利即引进该设备三年后开始盈利.(2)(2)第一种：年平均盈利为第一种：年平均盈利为=12=12，当且仅当，当且仅当 即即x=7x=7时，年平均利润最大，共盈利时，年平均利润最大，共盈利12127+26=110(7+26=110(万元万元).).第二种：盈利总额第二种：盈利总额y=-2(x-10)y=-2(x-10)2 2+102,+102,当当x=10 x=10时，取得最大值时，取得最大值102,102,即经过即经过1010年盈利总额最大，共计盈利年盈利总额最大，共计盈利102+8=110(102+8=110(万元万元)，两种方案获利相等，但由于方案二时间长，采用第一种方案两种方案获利相等，但由于方案二时间长，采用第一种方案较合算较合算.3.(20143.(2014长长沙模沙模拟拟)某工厂生某工厂生产产一种一种仪仪器的元件，由于受生器的元件，由于受生产产能力和技能力和技术术水平的限制会水平的限制会产产生一些次品，根据生一些次品，根据经验经验知道，其次知道，其次品率品率p p和日和日产产量量x(x(万件万件)之之间间大体大体满满足关系：足关系：p=p=(其中其中c c为为小于小于6 6的正常数的正常数).).(注：次品率注：次品率=次品数次品数/生生产产量，如量，如p=0.1p=0.1表示每生表示每生产产1010件件产产品，品，有有1 1件件为为次品，其余次品，其余为为合格品合格品)已知每生已知每生产产1 1万件合格的万件合格的仪仪器可以盈利器可以盈利2 2万元，但每生万元，但每生产产1 1万件万件次品将次品将亏亏损损1 1万元，故厂方希望定出合适的日万元，故厂方希望定出合适的日产产量量.(1)(1)试试将生将生产这产这种种仪仪器的元件每天的盈利器的元件每天的盈利额额T(T(万元万元)表示表示为为日日产产量量x(x(万件万件)的函数的函数.(2)(2)当日当日产产量量为为多少多少时时，可，可获获得最大利得最大利润润?【解析解析】(1)(1)当当x xc c时，时，p=p=，所以，所以当当1xc1xc时，时，p=p=，所以所以综上，日盈利额综上，日盈利额T(T(万元万元)与日产量与日产量x(x(万件万件)的函数关系为：的函数关系为：(2)(2)由由(1)(1)知，当知，当x xc c时，每天的盈利额为时，每天的盈利额为0 0，当当1xc1xc时，时，当且仅当当且仅当x=3x=3时取等号时取等号.所以所以(i)(i)当当3c3c6 6时，时，T Tmaxmax=3=3，此时，此时x=3.x=3.(ii)(ii)当当1c1c3 3时，由时，由T=T=知，知，函数函数T=T=在在1 1，3 3）上递增，）上递增，所以所以 ，此时，此时x=c.x=c.综上，若综上，若3c3c6 6，则当日产量为，则当日产量为3 3万件时，可获得最大利润万件时，可获得最大利润.若若1c1c3 3，则当日产量为，则当日产量为c c万件时，可获得最大利润万件时，可获得最大利润.【加固训练加固训练】1.(20121.(2012江苏高考江苏高考)如图，建立平面直角坐标系如图，建立平面直角坐标系xOyxOy，x x轴在地轴在地平面上，平面上，y y轴垂直于地平面，单位长度为轴垂直于地平面，单位长度为1 1千米某炮位于坐标千米某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程原点已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-(1+ky=kx-(1+k2 2)x)x2 2(k0)(k0)表示的曲线上，其中表示的曲线上，其中k k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标地点的横坐标(1)(1)求炮的最大射程求炮的最大射程.(2)(2)设在第一象限有一飞行物设在第一象限有一飞行物(忽略其大小忽略其大小)，其飞行高度为，其飞行高度为3.23.2千米，试问它的横坐标千米，试问它的横坐标a a不超过多少时，炮弹可以击中它？请不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由说明理由【解析解析】(1)(1)令令y=0y=0，得，得kx-(1+kkx-(1+k2 2)x)x2 2=0,=0,由实际意义和题设条件知由实际意义和题设条件知x x0,k0,k0 0，故故 当且仅当当且仅当k=1k=1时取等号时取等号.所以炮的最大射程为所以炮的最大射程为1010千米千米.(2)(2)因为因为a a0 0，所以，所以,炮弹可击中目标炮弹可击中目标存在存在k k0,0,使使3.2=ka-(1+k3.2=ka-(1+k2 2)a)a2 2成立成立.即关于即关于k k的方程的方程a a2 2k k2 2-20ak+a-20ak+a2 2+64=0+64=0有正根有正根,所以判别式所以判别式=(-20a)=(-20a)2 2-4a-4a2 2(a(a2 2+64)0+64)0，解得，解得a6.a6.所以当所以当a a不超过不超过6 6千米时千米时,可击中目标可击中目标.2.(20112.(2011山东高考山东高考)某企业拟建造如图某企业拟建造如图所示的容器所示的容器(不计厚度，长度单位：米不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为为半球形，按照设计要求容器的容积为 立方米，且立方米，且l2r.2r.假假设该容器的建造费用仅与其表面积有关设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平已知圆柱形部分每平方米建造费用为方米建造费用为3 3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元，半球形部分每平方米建造费用为c(cc(c3)3)千元千元.设该容器的建造费用为设该容器的建造费用为y y千元千元.(1)(1)写出写出y y关于关于r r的函数表达式的函数表达式,并求该函数的定义域并求该函数的定义域.(2)(2)求该容器的建造费用最小时的求该容器的建造费用最小时的r.r.【解析解析】(1)(1)因为容器的体积为因为容器的体积为 立方米，立方米，由于由于l2r2r因此因此0 0r2.r2.所以圆柱的侧面积为所以圆柱的侧面积为两端两个半球的表面积之和为两端两个半球的表面积之和为4r4r2 2,所以建造费用所以建造费用 定义域为定义域为(0,2(0,2.(2)(2)因为因为y=y=0 0r2r2，由于，由于c3,c3,所以所以c-20,c-20,所以令所以令yy0 0得得:令令yy0 0得得:2 2时，即当时，即当3 3c c 时，函数时，函数y y在在(0(0，2)2)上是单调递上是单调递减的，故建造费最小时减的，故建造费最小时r=2.r=2.当当0 0 2 2时，即时，即c c 时，函数时，函数y y在在(0(0，2)2)上是先减后上是先减后增的，故建造费最小时增的，故建造费最小时r=.r=.【规范解答规范解答2 2】利用函数模型解决实际问题利用函数模型解决实际问题【典例典例】(12(12分分)(2013)(2013重庆高考重庆高考)某村庄拟修建一个无盖的圆某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池柱形蓄水池(不计厚度不计厚度)设该蓄水池的底面半径为设该蓄水池的底面半径为r r米，高为米，高为h h米，体积为米，体积为V V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为建造成本为100100元元/平方米，底面的建造成本为平方米，底面的建造成本为160160元元/平方米，平方米，该蓄水池的总建造成本为该蓄水池的总建造成本为12 00012 000元元(为圆周率为圆周率)(1)(1)将将V V表示成表示成r r的函数的函数V(r)V(r)，并求该函数的定义域，并求该函数的定义域.(2)(2)讨论函数讨论函数V(r)V(r)的单调性，并确定的单调性，并确定r r和和h h为何值时该蓄水池的为何值时该蓄水池的体