高三理科数学培养讲义：第2部分-专题5-第11讲-圆锥曲线的定义、方程及性质.doc

第11讲圆锥曲线的定义、方程及性质高考统计定方向热点题型真题统计命题规律题型1：圆锥曲线的定义、标准方程2017全国卷T20(1)；2017全国卷T16；2017全国卷T5；2016全国卷T20分析近五年全国卷发现高考命题有以下规律：1.在客观题中，一般以某一圆锥曲线或两种曲线组合为载体，考查圆锥曲线的定义、方程和几何性质，尤其是离心率、焦点三角形和焦点弦问题是命题的重点.2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等).题型2：圆锥曲线的性质及应用2018全国卷T12；2018全国卷T11；2018全国卷T11；2017全国卷T9；2017全国卷T10；2016全国卷T5；2016全国卷T11；2016全国卷T11; 2015全国卷T5；2015全国卷T11题型3：直线、圆与圆锥曲线的交汇2018全国卷T19；2017全国卷T15；2017全国卷T20；2016全国卷T10；2015全国卷T14题型1圆锥曲线的定义、标准方程核心知识储备1圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)；(3)抛物线：|PF|PM|，点F不在直线l上，PMl于M.2求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值高考考法示例【例1】(1)ABC的两个顶点为A(4,0)，B(4,0)，ABC的周长为18，则C点轨迹方程为( )A1(y0)B.1(y0)C1(y0)D.1(y0)(2)如图252，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线方程为( )图252Ay29xBy26xCy23xDy2x(1)D(2)C(1)ABC的两顶点A(4,0)，B(4,0)，周长为18，|AB|8，|BC|AC|10.108，点C到两个定点的距离之和等于定值，满足椭圆的定义，点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆2a10,2c8，即a5，c4，b3.C点的轨迹方程为1(y0)故选D.(2)如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设a，则由已知得2a，由抛物线定义，得a，故BCD30，在RtACE中， |AF|3, 33a，2，即33a6，从而得a1，3a3.p，因此抛物线方程为y23x，故选C方法归纳1准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式2求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定对点即时训练1如图253，椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|4，F1PF2120，则a的值为( )图253A2B3C4D5B因为b22，c，所以|F1F2|2.又|PF1|4，|PF1|PF2|2a，|PF2|2a4，由余弦定理得cos 120，解得a3.2(2018德州期末)若双曲线的中心为原点，F(0，2)是双曲线的焦点，过F的直线l与双曲线相交于M，N两点，且MN的中点为P(3,1)，则双曲线的方程为( )Ay21By21Cx21Dx21B由题意设该双曲线的标准方程为1(a0，b0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则1且1，则，即，则1，即b23a2，则c24a24，所以a21，b23，即该双曲线的方程为y21.故选B.题型2圆锥曲线的性质及应用核心知识储备1椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2b2c2，离心率为e.(2)在双曲线中：c2a2b2，离心率为e.2双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx.注意离心率e与渐近线的斜率的关系高考考法示例【例2】(1)(2018上饶市二模)已知F1、F2分别是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，若双曲线C的右支上存在点A，满足2|AF1|3|AF2|a，则双曲线C的离心率的取值范围是( )A(1,4B(1,4)C(1,2D(1,2)(2)(2018全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为()ABCD(3)(2018泰安四校联考(二)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M(x0,2)是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线x截得的弦长为|AM|.若2，则|AF|()A1BC2D3(1)A(2)D(3)A(1)由双曲线定义可知，|AF1|AF2|2a，又2|AF1|3|AF2|a，联立两式，可得，根据双曲线的几何性质可得，e4，又e1，离心率范围是(1,4，故选A(2)由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|2c，PF1F2为等腰三角形，且F1F2P120，|PF2|F1F2|2C|OF2|c，点P坐标为(c2ccos 60，2csin 60)，即点P(2c，c)点P在过点A，且斜率为的直线上，解得，e，故选D.(3)由题意知|MF|x0，因为圆M与线段MF相交于点A，且被直线x截得的弦长为|AM|，所以|AM|2，因为2，所以|MF|AM|，所以x0p，所以2p28，p2，所以|AF|1.【教师备选】(2018郴州市第二次质量检测)设椭圆E：1(ab0)的一个焦点F(2,0)，点A(2,1)为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|PF|8，则椭圆E的离心率的取值范围是( )ABCDA记椭圆的左焦点为F1(2,0)，则|AF1|1，|PF1|PA|AF1|，2a|PF1|PF|PA|AF1|PF|189，即a，|PF1|PA|AF1|，2a|PF1|PF|PA|AF1|PF|817，即a，c2，e，即e，所以椭圆E的离心率的取值范围是，故选A方法归纳1椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后b用a，c代换，求的值2双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得(2)用法：可得或的值利用渐近线方程设所求双曲线的方程对点即时训练1设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小内角的大小为30，则双曲线C的渐近线方程是( )Axy0Bxy0Cx2y0D2xy0B假设点P在双曲线的右支上，由题得，|PF1|4a，|PF2|2a.|F1F2|2c2a，所以最短边是PF2，最小角为PF1F2.由余弦定理得4a216a24c224a2ccos 30，c22ac3a20.e22e30，e，c23a2，a2b23a2，b22a2.，所以双曲线的渐近线方程为xy0，故选B.2已知椭圆M：1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且|的最大值的取值范围是2c2,3c2，其中c，则椭圆M的离心率e的取值范围是_因为|PF1|PF2|a2，所以2c2a23c2，所以23，所以e2，解得e.题型3直线、圆与圆锥曲线的交汇(对应学生用书第58页)通过近几年高考试题可以发现，对圆的考查在逐渐加深，其中与圆相关的几何性质、最值问题、轨迹问题等都能与椭圆、双曲线和抛物线结合相应命题点如下：(1)椭圆与圆的结合点有：圆的几何性质与椭圆相联系；利用椭圆的性质判断直线与圆的位置关系(2)圆与双曲线的结合点有：利用圆的性质解决双曲线的相关问题；圆的切线与双曲线相联系(3)圆与抛物线的结合点有：圆的性质与抛物线相结合；抛物线的性质与圆相联系高考考法示例角度一椭圆与圆的交汇问题【例31】(1)(2018长春市质量检测二)已知椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则ABF1内切圆的半径为( )AB1CD(2)已知椭圆C：x22y24.求椭圆C的离心率；设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y2上，且OAOB，试判断直线AB与圆x2y22的位置关系，并证明你的结论(1)D由1得a2，c1，根据椭圆的定义可知ABF1的周长为4a8，ABF1面积为|F1F2|yAyB|2338r，解得r，故选D.(2)解由题意知椭圆C的标准方程为1，所以a24，b22，从而c2a2b2422，所以e.直线AB与圆x2y22相切，证明如下：设点A(x0，y0)，B(t,2)，其中x00，因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得t，当x0t时，y0，代入椭圆C的方程得t，此时直线AB与圆x2y22相切当x0t时，直线AB的方程为y2(xt)，即(y02)x(x0t)y2x0ty00，圆心O到直线AB的距离为d，又x2y4，t，故d.故此直线AB与圆x2y22相切角度二双曲线与圆的交汇问题【例32】(1)已知点P是双曲线x21的渐近线上的动点，过点P作圆(x5)2y25的两条切线，则两条切线夹角的最大值为( )A90B60C45D30(2)(2017全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点若MAN60，则C的离心率为_(1)B(2)(1)由题意得渐近线方程为y2x，过圆心(5,0)向y2x作垂线，则d2，圆的半径r，当斜边最小时，夹角最大，此时sin ，即30，260，故选B.(2)如图，由题意知点A(a,0)，双曲线的一条渐近线l的方程为yx，即bxay0，点A到直线l的距离d .又MAN60，|MA|NA|b，MAN为等边三角形，d|MA|b，即b，a23b2，e .【教师备选】已知双曲线1 (b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( )A1B1C1D1D由题意知双曲线的渐近线方程为yx，圆的方程为x2y24，联立解得或即第一象限的交点为.由双曲线和圆的对称性，得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为，故2b，得b212.故双曲线的方程为1.故选D.角度三抛物线与圆的交汇问题【例33】(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解(1)由题意得F(1,0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1(舍去)或k1.因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.方法归纳处理圆与圆锥曲线相结合问题的注意点1注意圆心、半径和平面几何知识的应用，如直径所对的圆周角为直角，构成了垂直关系；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形等2注意圆与特殊线的位置关系，如圆的直径与椭圆长轴(短轴)，与双曲线的实轴(虚轴)的关系；圆与过定点的直线、双曲线的渐近线、抛物线的准线的位置关系等对点即时训练1若双曲线1(a0，b0)的渐近线与抛物线yx21相切，且被圆x2(ya)21截得的弦长为，则a( )ABCDB可以设切点为(x0，x1)，由y2x，切线方程为y(x1)2x0(xx0)，即y2x0xx1，已知双曲线的渐近线为yx，x01，2，一条渐近线方程为y2x，圆心(0，a)到直线y2x的距离是a.故选B.2.如图254，已知抛物线C1的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(2,4)，圆C2：x2y24x30，过圆心C2的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则|PN|4|QM|的最小值为( )图254A23B42C12D52A由题意抛物线过定点(2,4)，得抛物线方程y28x，焦点为F(2,0)圆的标准方程为(x2)2y21，所以圆心为(2,0)，半径r1.由于直线过焦点，所以有，又|PN|4|QM|(|PF|1)(4|QF|4)|PF|4|QF|52(|PF|4|QF|)52523，当且仅当|PF|2|QF|时等号成立选A3(2018贵阳模拟)椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，若以线段F1F2为直径的圆与椭圆有交点，则椭圆C的离心率的取值范围是_由题意可知，以F1F2为直径的圆的方程为x2y2c2，将其代入椭圆方程，消去y得(a2b2)x2a2b2a2c20，因为圆与椭圆有交点，所以04(a2b2)(a2b2a2c2)0，所以a2c2(a22c2)0，所以a22c2，即e，又椭圆的离心率e1，所以e1.高考真题1(2017全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()ABCDA由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bxay2ab0与圆相切，圆心到直线的距离da，解得ab，e.故选A2(2016全国卷)已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A(1,3)B(1，)C(0,3)D(0，)A若双曲线的焦点在x轴上，则又(m2n)(3m2n)4，m21，1n3m2且nm2，此时n不存在故选A3(2016全国卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2B4C6D8B设抛物线的方程为y22px(p0)，圆的方程为x2y2r2.|AB|4，|DE|2，抛物线的准线方程为x，不妨设A，D.点A，D在圆x2y2r2上，85，p4(负值舍去)C的焦点到准线的距离为4.4(2018全国卷)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左，右焦点，O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|OP|，则C的离心率为()AB2CDC不妨设一条渐近线的方程为yx，则F2到yx的距离db，在RtF2PO中，|F2O|c，所以|PO|a，所以|PF1|a.又|F1O|c，所以在F1PO与RtF2PO中，根据余弦定理得cosPOF1cosPOF2，即3a2c2(a)20，得3a2c2，所以e.5(2018全国卷)已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若OMN为直角三角形，则|MN|()AB3C2D4B因为双曲线y21的渐近线方程为yx，所以MON60.不妨设过点F的直线与直线yx交于点M，由OMN为直角三角形，不妨设OMN90，则MFO60，又直线MN过点F(2,0)，所以直线MN的方程为y(x2)，由得所以M，所以|OM|，所以|MN|OM|3，故选B.6(2017全国卷)已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|_.6如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，PMOF.由题意知，F(2,0)，|FO|AO|2.点M为FN的中点，PMOF，|MP|FO|1. 又|BP|AO|2，|MB|MP|BP|3.由抛物线的定义知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6.最新模拟7(2018郑州市第二次质量检测)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若AF1B的周长为12，则C的方程为( )Ay21B1C1D1D由椭圆定义可知：|AB|AF1|BF1|AF2|BF2|AF1|BF1|2a2a12，即a3，又e，解得b25，椭圆C的方程为：1，故选D.8(2018湖南G10教育联盟联考)已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是( )A(2，)B(，2)C(，)D(1，)A双曲线1的渐近线方程为yx，不妨设过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线方程为y(xc)，与yx联立，可得交点M，点M在以线段F1F2为直径的圆外，|OM|OF2|，即有c2，3，即b23a2，c2a23a2，即c2a.则e2.双曲线离心率的取值范围是(2，)故选A 19 / 19