高三理科数学培养讲义：第2部分-专题5-第11讲-圆锥曲线的定义、方程及性质.doc

第11讲　圆锥曲线的定义、方程及性质
高考统计·定方向
热点题型
真题统计
命题规律
题型1：圆锥曲线的定义、标准方程
2017全国卷ⅠT20(1)；2017全国卷ⅡT16；
2017全国卷ⅢT5；2016全国卷ⅢT20
分析近五年全国卷发现高考命题有以下规律：
1.在客观题中，一般以某一圆锥曲线或两种曲线组合为载体，考查圆锥曲线的定义、方程和几何性质，尤其是离心率、焦点三角形和焦点弦问题是命题的重点.
2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等).
题型2：圆锥曲线的性质及应用
2018全国卷ⅡT12；2018全国卷ⅠT11；
2018全国卷ⅢT11；2017全国卷ⅡT9；
2017全国卷ⅢT10；2016全国卷ⅠT5；
2016全国卷ⅡT11；2016全国卷ⅢT11;
2015全国卷ⅠT5；2015全国卷ⅡT11
题型3：直线、圆与圆锥曲线的交汇
2018全国卷ⅡT19；2017全国卷ⅠT15；
2017全国卷ⅢT20；2016全国卷ⅠT10；
2015全国卷ⅠT14

题型1　圆锥曲线的定义、标准方程
■核心知识储备·
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.
2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．
■高考考法示例·
【例1】　(1)△ABC的两个顶点为A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则C点轨迹方程为(　　 )
A．＋＝1(y≠0)
B.＋＝1(y≠0)
C．＋＝1(y≠0)
D.＋＝1(y≠0)
(2)如图2­5­2，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为(　　 )

图2­5­2
A．y2＝9x
B．y2＝6x
C．y2＝3x
D．y2＝x
(1)D　(2)C　[(1)∵△ABC的两顶点A(－4,0)，B(4,0)，周长为18，
∴|AB|＝8，|BC|＋|AC|＝10.∵10>8，∴点C到两个定点的距离之和等于定值，满足椭圆的定义，∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．∴2a＝10,2c＝8，即a＝5，c＝4，∴b＝3.∴C点的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．故选D.
(2)如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设＝a，则由已知得＝2a，由抛物线定义，得＝a，

故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中， ∵＝|AF|＝3, ＝3＋3a，∴2＝，即3＋3a＝6，从而得a＝1，＝3a＝3.
∴p＝＝＝，因此抛物线方程为y2＝3x，故选C．]
[方法归纳]
1．准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．
2．求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．
■对点即时训练·
1．如图2­5­3，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，∠F1PF2＝120°，则a的值为(　　 )

图2­5­3
A．2　　　　　　 B．3
C．4 D．5
B　[因为b2＝2，c＝，所以|F1F2|＝2.
又|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF2|＝2a－4，
由余弦定理得
cos 120°＝＝－，解得a＝3.]
2．(2018·德州期末)若双曲线的中心为原点，F(0，－2)是双曲线的焦点，过F的直线l与双曲线相交于M，N两点，且MN的中点为P(3,1)，则双曲线的方程为(　　 )
A．－y2＝1 B．y2－＝1
C．－x2＝1 D．x2－＝1
B　[由题意设该双曲线的标准方程为
－＝1(a＞0，b＞0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则－＝1且－＝1，则
＝，
即＝，则
＝＝＝1，即b2＝3a2，则
c2＝4a2＝4，所以a2＝1，b2＝3，
即该双曲线的方程为y2－＝1.故选B.]
题型2　圆锥曲线的性质及应用
■核心知识储备·
1．椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝.
(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝.
2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.
注意离心率e与渐近线的斜率的关系．
■高考考法示例·
【例2】　(1)(2018·上饶市二模)已知F1、F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若双曲线C的右支上存在点A，满足2|AF1|－3|AF2|＝a，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　 )
A．(1,4]　　　　　　 B．(1,4)
C．(1,2] D．(1,2)
(2)(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
(3)(2018·泰安四校联考(二))已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M(x0,2)是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线x＝截得的弦长为|AM|.若＝2，则|AF|＝(　　)
A．1 B．
C．2 D．3
(1)A　(2)D　(3)A　[(1)由双曲线定义可知，|AF1|－|AF2|＝2a，又∵2|AF1|－3|AF2|＝a，联立两式，可得，根据双曲线的几何性质可得，⇒e＝≤4，
又∵e＞1，
∴离心率范围是(1,4]，故选A．
(2)由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|＝2c，∵△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2C．∵|OF2|＝c，∴点P坐标为(c＋2ccos 60°，2csin 60°)，即点P(2c，c)．∵点P在过点A，且斜率为的直线上，∴＝，解得＝，∴e＝，故选D.

(3)由题意知|MF|＝x0＋，因为圆M与线段MF相交于点A，且被直线x＝截得的弦长为|AM|，所以|AM|＝2，因为＝2，所以|MF|＝|AM|，所以x0＝p，所以2p2＝8，p＝2，所以|AF|＝1.]
【教师备选】
(2018·郴州市第二次质量检测)设椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点F(2,0)，点A(－2,1)为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|＋|PF|＝8，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　 )
A． B．
C． D．
A　[记椭圆的左焦点为F1＝(－2,0)，则

|AF1|＝1，∵|PF1|≤|PA|＋|AF1|，
∴2a＝|PF1|＋|PF|≤|PA|＋|AF1|＋|PF|≤1＋8＝9，即a≤，∵|PF1|≥|PA|－|AF1|，
∴2a＝|PF1|＋|PF|≥|PA|－|AF1|＋|PF|≥8－1＝7，即a≥，∵c＝2，∴≤e＝≤，即≤e≤，所以椭圆E的离心率的取值范围是，故选A．]
[方法归纳]
1．椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法
求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后b用a，c代换，求的值．
2．双曲线的渐近线的求法及用法
(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得．
(2)用法：①可得或的值．
②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．
■对点即时训练·
1．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是(　　 )
A．x±y＝0 B．x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
B　[假设点P在双曲线的右支上，由题得
，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.
∵|F1F2|＝2c＞2a，所以最短边是PF2，最小角为∠PF1F2.由余弦定理得4a2＝16a2＋4c2－2×4a×2c×cos 30°，∴c2－2ac＋3a2＝0.∴e2－2e＋3＝0，∴e＝，
∴＝，∴c2＝3a2，∴a2＋b2＝3a2，∴b2＝2a2.∴＝，
所以双曲线的渐近线方程为x±y＝0，故选B.]
2．已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且||·||的最大值的取值范围是[2c2,3c2]，其中c＝，则椭圆M的离心率e的取值范围是________．
　[因为|PF1|·|PF2|≤＝＝a2，
所以2c2≤a2≤3c2，所以2≤≤3，
所以≤e2≤，
解得≤e≤.]
题型3　直线、圆与圆锥曲线的交汇
(对应学生用书第58页)
通过近几年高考试题可以发现，对圆的考查在逐渐加深，其中与圆相关的几何性质、最值问题、轨迹问题等都能与椭圆、双曲线和抛物线结合．相应命题点如下：
(1)椭圆与圆的结合点有：①圆的几何性质与椭圆相联系；②利用椭圆的性质判断直线与圆的位置关系．
(2)圆与双曲线的结合点有：①利用圆的性质解决双曲线的相关问题；②圆的切线与双曲线相联系．
(3)圆与抛物线的结合点有：①圆的性质与抛物线相结合；②抛物线的性质与圆相联系．
■高考考法示例·
►角度一　椭圆与圆的交汇问题
【例3－1】　(1)(2018·长春市质量检测二)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1内切圆的半径为(　　 )
A．　　　　　　 B．1
C． D．
(2)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.
①求椭圆C的离心率；
②设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．
(1)D　[由＋＝1得a＝2，c＝1，根据椭圆的定义可知△ABF1的周长为4a＝8，△ABF1面积为|F1F2|×|yA－yB|＝×2×3＝3＝×8×r，解得r＝，故选D.]
(2)[解]　①由题意知椭圆C的标准方程为＋＝1，所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝4－2＝2，
所以e＝＝.
②直线AB与圆x2＋y2＝2相切，证明如下：
设点A(x0，y0)，B(t,2)，其中x0≠0，
因为OA⊥OB，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－，
当x0＝t时，y0＝－，代入椭圆C的方程得t＝±，此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
当x0≠t时，直线AB的方程为y－2＝(x－t)，即
(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0，
圆心O到直线AB的距离为d＝，又x＋2y＝4，t＝－，
故d＝＝＝.
故此直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
►角度二　双曲线与圆的交汇问题
【例3－2】　(1)已知点P是双曲线x2－＝1的渐近线上的动点，过点P作圆(x－5)2＋y2＝5的两条切线，则两条切线夹角的最大值为(　　 )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
(2)(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．
(1)B　(2)　[(1)由题意得渐近线方程为y＝±2x，过圆心(5,0)向y＝2x作垂线，则d＝＝2，
∵圆的半径r＝，∴当斜边最小时，夹角最大，此时sin θ＝＝，即θ＝30°，2θ＝60°，故选B.
(2)如图，由题意知点A(a,0)，双曲线的一条渐近线l的方程为y＝x，即bx－ay＝0，

∴点A到直线l的距离
d＝ .
又∠MAN＝60°，|MA|＝|NA|＝b，
∴△MAN为等边三角形，
∴d＝|MA|＝b，即＝b，∴a2＝3b2，
∴e＝＝ ＝.]
【教师备选】
已知双曲线－＝1 (b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为(　　 )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
D　[由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x，

圆的方程为x2＋y2＝4，
联立
解得或
即第一象限的交点为.
由双曲线和圆的对称性，得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为，，故＝2b，得b2＝12.
故双曲线的方程为－＝1.故选D.]
►角度三　抛物线与圆的交汇问题
【例3－3】　(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
[解]　(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k＞0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1.因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则

解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
[方法归纳]　处理圆与圆锥曲线相结合问题的注意点
1．注意圆心、半径和平面几何知识的应用，如直径所对的圆周角为直角，构成了垂直关系；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形等．
2．注意圆与特殊线的位置关系，如圆的直径与椭圆长轴(短轴)，与双曲线的实轴(虚轴)的关系；圆与过定点的直线、双曲线的渐近线、抛物线的准线的位置关系等．
■对点即时训练·
1．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，且被圆x2＋(y－a)2＝1截得的弦长为，则a＝(　　 )
A． B．
C． D．
B　[可以设切点为(x0，x＋1)，由y′＝2x，∴切线方程为y－(x＋1)＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－x＋1，
∵已知双曲线的渐近线为y＝±x，
∴，x0＝±1，＝2，一条渐近线方程为y＝2x，圆心(0，a)到直线y＝2x的距离是＝⇒a＝.故选B.]
2.如图2­5­4，已知抛物线C1的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(2,4)，圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0，过圆心C2的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则|PN|＋4|QM|的最小值为(　　 )

图2­5­4
A．23 B．42
C．12 D．52
A　[由题意抛物线过定点(2,4)，得抛物线方程y2＝8x，焦点为F(2,0)．圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝1，所以圆心为(2,0)，半径r＝1.由于直线过焦点，所以有＋＝，
又|PN|＋4|QM|＝(|PF|＋1)＋(4|QF|＋4)＝|PF|＋4|QF|＋5＝2(|PF|＋4|QF|)＋5＝2＋5≥23，当且仅当|PF|＝2|QF|时等号成立．选A．]
3．(2018·贵阳模拟)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若以线段F1F2为直径的圆与椭圆有交点，则椭圆C的离心率的取值范围是________．
　[由题意可知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，将其代入椭圆方程，消去y得(a2－b2)x2＋a2b2－a2c2＝0，因为圆与椭圆有交点，所以Δ＝0－4(a2－b2)·(a2b2－a2c2)≥0，所以a2c2(a2－2c2)≤0，所以a2≤2c2，即e＝≥，
又椭圆的离心率e<1，所以≤e<1.]

[高考真题]
1．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)
A．　　　　　 B．
C． D．
A　[由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.
又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d＝＝a，解得a＝b，
∴＝，
∴e＝＝＝＝＝.
故选A．]
2．(2016·全国卷Ⅰ)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)
A．(－1,3) B．(－1，)
C．(0,3) D．(0，)
A　[若双曲线的焦点在x轴上，则
又∵(m2＋n)＋(3m2－n)＝4，∴m2＝1，∴
∴－1<n<3.
若双曲线的焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为
－＝1，即
即n>3m2且n<－m2，此时n不存在．故选A．]
3．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
B　[设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.∵|AB|＝4，|DE|＝2，
抛物线的准线方程为x＝－，
∴不妨设A，D.
∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，
∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(负值舍去)．
∴C的焦点到准线的距离为4.]
4．(2018·全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为(　　)
A． B．2
C． D．
C　[不妨设一条渐近线的方程为y＝x，则F2到y＝x的距离d＝＝b，在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a.又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，根据余弦定理得cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－，
即3a2＋c2－(a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝.]
5．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(　　)
A． B．3
C．2 D．4
B　[因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F(2,0)，所以直线MN的方程为y＝－(x－2)，
由得所以M，所以|OM|＝＝，所以|MN|＝|OM|＝3，故选B.]
6．(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.
6　[如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，

∴PM∥OF.
由题意知，F(2,0)，|FO|＝|AO|＝2.
∵点M为FN的中点，PM∥OF，
∴|MP|＝|FO|＝1.
又|BP|＝|AO|＝2，
∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.
由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.]
[最新模拟]
7．(2018·郑州市第二次质量检测)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则C的方程为(　　 )
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
D　[由椭圆定义可知：|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝|AF2|＋|BF2|＋|AF1|＋|BF1|＝2a＋2a＝12，即a＝3，又∵e＝＝＝，解得b2＝5，
∴椭圆C的方程为：＋＝1，故选D.]
8．(2018·湖南G10教育联盟联考)已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是(　　 )
A．(2，＋∞) B．(，2)
C．(，) D．(1，)
A　[双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，
不妨设过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线方程为y＝(x－c)，与y＝－x联立，可得交点M，
∵点M在以线段F1F2为直径的圆外，
∴|OM|＞|OF2|，即有＋＞c2，∴＞3，
即b2＞3a2，∴c2－a2＞3a2，即c＞2a.则e＝＞2.
∴双曲线离心率的取值范围是(2，＋∞)．故选A．]

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