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2011-2018年新课标全国卷2理科数学试题分类汇编11.立体几何2011-2018年新课标全国卷2理科数学试题分类汇编11.立体几何 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2011-2018年新课标全国卷2理科数学试题分类汇编11.立体几何）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为2011-2018年新课标全国卷2理科数学试题分类汇编11.立体几何的全部内容。2011年2018年新课标全国卷理科数学试题分类汇编11立体几何一、选择题（20189）在长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为ABCD（20174）如图，网格纸上小正方形的边长为1,学 科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）A B C D（201710)已知直三棱柱中,，则异面直线与所成角的余弦值为（ )A B C D(20166）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ )A20B24C28D322014，6 2015，62016，6（20156)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ )ABCD （20159）已知A,B是球O的球面上两点，AOB=90，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )A36B64C144D256(20146）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）ABCD(201411）直三棱柱ABCA1B1C1中,BCA=90，M,N分别是A1B1,A1C1的中点，BC=CA=CC1,则BM与AN所成的角的余弦值为( )ABCD(20134)已知为异面直线，平面，平面.直线满足，则( ）A. / 且l / B.且C。与相交，且交线垂直于D。与相交，且交线平行于（20137）一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(1,0，1），(1,1,0)，(0，1,1),(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）（20127)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为（ ）A. 6B. 9C。 12D。 18（201211）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ）A.B. C。 D. (20116）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（ ）A。 B。 C. D。二、填空题（201816）16已知圆锥的顶点为，母线,所成角的余弦值为,与圆锥底面所成角为45，若的面积为，则该圆锥的侧面积为_(201614）、是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：（1)如果mn，m，n,那么.（2）如果m，n，那么mn。(3）如果，m，那么m。 (4）如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等。其中正确的命题有 . （填写所有正确命题的编号。)（201115）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且，则棱锥O-ABCD的体积为 。三、解答题（201719）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD,， E是PD的中点.（1）证明：直线 平面PAB；（2）点M在棱PC 上,且直线BM与底面ABCD所成锐角为 ，求二面角MABD的余弦值 (201619）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=,EF交BD于点H. 将DEF沿EF折到DEF的位置,。（）证明：平面ABCD；(）求二面角的正弦值.（201519)如图,长方体ABCDA1B1C1D1中AB=16，BC=10,AA1=8，点E，F分别在A1B1,D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（）求直线AF与平面所成角的正弦值.（201418）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形,PA平面ABCD，E为PD的中点。（）证明:PB / 平面AEC；（）设二面角D-AE-C为60,AP=1,AD=，求三棱锥E-ACD的体积.（201318)如图,直三棱柱中，分别是，的中点，.（）证明：/平面；（）求二面角的正弦值。（201219）如图,直三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱AA1的中点,DC1BD。(）证明：DC1BC；（）求二面角A1-BDC1的大小。（201118)如图，四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形，DAB=60，AB=2AD，PD底面ABCD.()证明：PABD；（)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值. (201820）如图，在三棱锥中，为的中点（1）证明：平面;(2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值2011年2018年新课标全国卷理科数学试题分类汇编11立体几何(逐题解析版)一、选择题（20189）C（20174）B【解析】从三视图可知：一个圆柱被一截面截取一部分而剩余的部分， 剩下的体积分上下两部分阴影的体积，下面阴影的体积为， ;上面阴影的体积是上面部分体积的一半,即,与的比为高的比（同底），即，,故总体积.方法2：,其余同上，故总体积。（201710）B【解析】解法一：在边上分别取中点，并相互连接。由三角形中位线定理和平行线平移功能，异面直线和所成的夹角为或其补角，通过几何关系求得,，利用余弦定理可求得异面直线和所成的夹角余弦值为. 解法二：补形通过补形之后可知：或其补角为异面直线和所成的角,通过几何关系可知：，,，由勾股定理或余弦定理可得异面直线和所成的夹角余弦值为。解法三:建系建立如左图的空间直角坐标系，, ， （20166）C解析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为，周长为，圆锥母线长为，圆柱高为由图得, ，由勾股定理得：， ，故选C(20156）D解析：由三视图得,在正方体ABCDA1B1C1D1中，截去四面体A-A1B1D1，如图所示，设正方体棱长为,则，故剩余几何体体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为，故选D。（20159)C解析：如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球O的半径为R，此时,故R=6,则球O的表面积为，故选C（20146）C解析:原来毛坯体积为326=54 (cm2），由三视图得,该零件由左侧底面半径为2cm，高为4cm的圆柱和右侧底面半径为3cm，高为2cm的圆柱构成，所以该零件的体积为:322+224=34 (cm2)，则切削掉部分的体积为5434 =20（cm2)，所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为。（201411)C解析：取BC的中点P，连结NP、AP, M，N分别是A1B1，A1C1的中点，四边形NMBP为平行四边形,BM/PN,所求角的余弦值等于ANP的余弦值,不妨令BC=CA=CC1=2，则AN=AP=，NP=MB=， 。【另解】如图建立坐标系，令AC=BC=C1C=2，则A（0, 2, 2)，B（2, 0, 2),M（1， 1， 0），N(0， 1， 0)， （20134）D解析:因为m，lm，l，所以l。 同理可得l。 又因为m，n为异面直线，所以与相交，且l平行于它们的交线故选D。（20137)A解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系Oxyz的图像为右图，则它在平面zOx上的投影即正视图为右图，故选A.（20127）B解析：由三视图可知,此几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形（俯视图），高为3的三棱锥,故其体积为。（201211)A解析：易知点S到平面ABC的距离是点O到平面ABC的距离的2倍。显然OABC是棱长为1的正四面体，其高为，故，.(20116）D解析:条件对应的几何体是由底面棱长为r的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r的圆锥沿对称轴截出的部分构成的. 故选D.二、填空题（201816)(201614）【答案:】（201115)解析：设ABCD所在的截面圆的圆心为M,则AM=,OM=，.三、解答题（201719）如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，, E是PD的中点.（1）证明：直线 平面PAB；（2)点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为 ，求二面角M-ABD的余弦值 【基本解法1】（1）证明：取中点为，连接、，因为，所以，因为是的中点,所以，所以,所以四边形为平行四边形,所以,因为平面,平面，所以直线平面，（2）取中点为，连接，因为为等边三角形，所以，因为平面平面，平面平面，平面,所以平面,因为，所以四边形为平行四边形,所以,所以，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图设，则，所以，设,则，因为点在棱上,所以,即,所以，所以，平面的法向量为，因为直线与底面所成角为，所以，解得,所以,设平面的法向量为，则,令,则，所以,所以求二面角的余弦值。（201619)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上,AE=CF=,EF交BD于点H. 将DEF沿EF折到DEF的位置，.（）证明：平面ABCD；（）求二面角的正弦值。解析：证明:，四边形为菱形,，,；又，又，面建立如图坐标系，设面法向量,由得，取,同理可得面的法向量,（201519）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中AB=16,BC=10，AA1=8，点E,F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由)；（）求直线AF与平面所成角的正弦值。（201519）解析：(）交线围成的正方形如图：（)作,垂足为M,则，因为为正方形，所以，于是，所以，以D为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所以的空间直角坐标系，则，,，,，设是平面的法向量，则，即，所以可取,又，故,所以AF与平面所成角的正弦值为.（201418)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点.(）证明：PB / 平面AEC；（）设二面角D-AE-C为60,AP=1，AD=,求三棱锥E-ACD的体积。解析：（）证明:连结交于点，连结底面为矩形，点为的中点，又为的中点,平面，平面,/平面。()以为原点，直线、分别为、轴建立空间直角坐标系，设，则,，,设是平面的法向量，则，解得:,令，得,又是平面AED的一个法向量， 解得，。（201318)如图,直三棱柱中，分别是,的中点，。（）证明：/平面；（）求二面角的正弦值.解析：（）连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，连结DF，则BC1DF. 因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD,所以BC1 / 平面A1CD。(）由ACCB得,ACBC。 以C为坐标原点，的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz. 设CA2,则D(1，1,0）,E（0，2，1)，A1（2,0，2)，（1，1，0)，(0，2，1），（2，0，2）设n(x1，y1,z1)是平面A1CD的法向量，则，即可取n(1, 1, 1）同理，设m是平面A1CE的法向量，则,可取m(2, 1， 2)从而cosn，m，故sinn，m。 即二面角DA1CE的正弦值为.(201219）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱AA1的中点,DC1BD.（）证明：DC1BC；（）求二面角A1BD-C1的大小。14解析:（） 证明：设，直三棱柱， ，. 又，平面. 平面，.（）由 ()知，又已知，. 在中，. ，.法一取的中点,则易证平面，连结,则，已知，平面，是二面角平面角. 在中，. 即二面角的大小为.法二以点为坐标原点,为轴，为轴，为轴,建立空间直角坐标系.则. ，设平面的法向量为，则，不妨令,得，故可取。同理，可求得平面的一个法向量. 设与的夹角为，则 ， 。 由图可知，二面角的大小为锐角,故二面角的大小为.(201118）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60，AB=2AD，PD底面ABCD.（）证明：PABD；（)若PD=AD，求二面角A-PBC的余弦值. 15解析：（）因为，由余弦定理得，从而BD2+AD2= AB2，故BDAD，又PD底面ABCD，可得BDPD，所以BD平面PAD，故 PABD.（）如图，以D为坐标原点,AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz，则，,. ， ,设平面PAB的法向量为n=（x, y， z），则，即 ，因此可取，设平面PBC的法向量为m,则，可取,，故二面角APBC的余弦值为.（201820）解：（1)因为，为的中点，所以，且。连结.因为，所以为等腰直角三角形，且，。由知。由知平面。（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系。由已知得取平面的法向量.设，则。设平面的法向量为。由得，可取，所以.由已知得。所以。解得(舍去），.所以。又,所以.所以与平面所成角的正弦值为。