数学运算的非线性哲学解读—简论模拟代数的数系问题.doc

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勿做商业用途数学运算的非线性哲学解读说明：这是我拟在我的第二本书非线性哲学简介中发表的一篇文章，供有兴趣的朋友参考,欢迎大家批评指正！谢谢！在我的非线性哲学漫谈一书中，有一篇“数系的非线性哲学解读,本文可以看做是该文的续篇。朋友：我们注意到你在“数系”的非线性哲学解读一文中，分析了数系中自正整数出现后出现的数，都是在逆运算中被创建的过程、原因、和相应的哲学分析.按我们的理解,那篇文章你着重分析的是各类数,这篇文章,你着重要分析是各类运算方法，是这样吗？商：是的。我在那篇文章中说了，数学是个严密的形式逻辑系统，但是作为一门实用的学科，数学无法避免面临辩证现实.所以我认为数学发展的根本动力，就是数学在发展中不断面临的辨证现实，与数学严格遵循的形式逻辑之间的矛盾。因此我们可以这样说，严密的形式逻辑是数学的生命，数学发展的过程，就是不断用严密的形式逻辑,去处理蕴含辨证矛盾系统的过程，由于形式逻辑不可能解决辨证矛盾,因此数学采用的是严格定义某公式或定理适用的区域，将系统离散化，把辨证矛盾严密隔离在“不适用、不规则、奇点”等区域内而排除,使数学得以在严密遵循形式逻辑的前提下发展下去。因此,数学是典型的离散结构系统。但是辩证特征在数系中这些数上的反映，是无法用上述办法隔离和排除的，因为它们是数学的“基本粒子”，所以，辩证矛盾就不可避免的出现在这些“基本粒子”中，并在它们的集合数系中凸显了！与数系一样，数学的运算方法也是严密遵循形式逻辑的,数学的运算方法，也是在解决数学面临的辩证现实和数学严密遵循的形式逻辑之间的矛盾中，逐步发展的。如前面所说，数系中的数，是数学的基本粒子,而数学的运算方法，是用严密的形式逻辑将这些基本粒子精确的组合成系统，并研究这些系统之间的相互关系或转换规律，以达到运用数学方法解决实际问题的目的。数与运算方法是同卵孪生兄弟，互相依存，精确对应，共同发展.从哲学角度来分析一下数学中运算方法的发展过程，有助于我们从更高的层面、更内在的本质、更完整的视角,来了解和把握数学这个思维工具,对于我们更好的理解和把握其他自然科学，有极其重要的意义。在我看来，数学从某种程度上讲,就是其他学科(特别是自然科学）的哲学，关键在于我们如何去理解和学习数学。目前中国教育领域占统治地位的应试教育模式，最根本的问题，就是犯了方向性的错误-学生学习的目的，应该是正确理解和掌握各类思维工具的内在本质和相互关系，而不是死记硬背各种定律公式或具体习题的标准答案，下面我会用对数学运算方法的哲学分析,来具体说明这个问题。朋友：目前中国社会的各个层次都已经意识到中国教育的应试模式带来的严重问题，从上到下都在呼吁改变这个现状，但是，由于中国教育的体量太大，应试教育模式延续和发展的时间太长，无论从空间规模还是从时间规模来看，应试教育的问题可以用一个成语来描述积重难返。商：你说得不错。目前我国从教材、教育模式和考核模式、教师队伍、学校体制、家长意识、学生学习习惯都已经适应了长期占统治地位的应试教育模式，要改变这种现状，确实不是一天两天就能解决问题的。从哲学角度看，内因是决定因素，扭转大家的观念、意识、思维模式,是最重要和最有效的切入点。非线性哲学漫谈一书出版后，教育界的朋友们反响非常大，我与他们讨论后，大家一致认为，目前去触动整个教育体系，难度太大，因为这会使我们马上面临牵涉整个教育系统的复杂问题.所以当务之急,是先编著一套面向教师和教育系统管理者的辅导教材，让他们先改变观念和思维模式，而不是先去编著一套全新的教材。朋友:我们也觉得这个思路是对的，事实上只要教育工作管理者和教师的观念和思维模式回归到正确的道路上来，即使还在沿用原来的教材，教育的方式和效果也能得到很大的改变。商:是的。下面我就开始对数学的运算方式进行分析。人类在创建数的基本概念后,事实上运算方式就同步产生了，有两个事实能证明我的这个观点。第一个事实就是我们用于计数的“进制”。尽管人类在最初创建数的时候，数的“进制”并不统一,不同的国家或同一个国家在不同的历史时期，甚至同一个国家在同一个历史时期，采用的数的进制并不一样，但是有一点是共同的，那就是用有限的数字，来表达无限的数，所以数字系统都有“进制”的规定。以中国为例，在很长的历史时期，十进制和十六进制的数系，都流行过，而且这两种进制是并行流行的,只是在不同的实用领域所分别采用而已。事实上“进制本身就是一种运算方式，用数学的观点来看，“进制”就是一种指数运算的特例，譬如十进制的逢十进一位，就是将处于低位的1乘以10以后，进入高位，同样是1这个数字，随着它出现在不同的位置,它的位置数,就是乘以10的个数。用非线性哲学的观点来看数的进制，它就是分形系统，我来具体说明一下：我们用0到9的十个数字，来表达一切数。同一个数字处在一个数的不同的位置，表示不同的数值,但是这个数字本身并不因为代表的数值不同而有所改变，也不因所在位置的不同而有所改变，所以数字具有自相似性和标度不变性的。譬如111这个数，每一位的数字是一样的，但是它们表征的数值是不一样的；在123123这个数中，前三位的数字和排序和后面三位的数字和排序是一样的,但是它们的数值相差了1000倍，也就是10的三次方（因为它们相差了三位），如果我们在这里借用“维度”的概念，我们可以说它们相差了3维，因为在数学运算中，两数相乘具有一维扩展成两维的含义（十进制的一维就是10)，譬如，10x10可以表达边长为10的正方形的面积，是两维的;10的三次方就是这个正方体的体积，是三维的只是我们在数值的计算中，忽略了维度的空间概念，所以，我们用一维的直线（实数轴),来“摊直”所有的维度,形成一种只有数值大小含义的“数学维度”,也就是把所有的维度都用一根直线上有严格次序的尺度来表达了,一个数每扩大10倍，就是增加了一个维度，在数轴上的表示，就是代表该数的点与原点的距离，增加了一个相应的长度。有趣的是，数轴上表示数值的刻度是均匀的，线性分布的，但是表示维度的长度却是非线性的,不均匀分布的。譬如，10 是数学维1维，100是数学维2维,1000是数学维3维。如果我们在数轴上用距离原点1cm的点表示10,那么,表示2维100的点，与原点的距离不是2cm，而是10cm；而表示3维1000的点，与原点的距离不是3cm,而是100cm显然，在数轴上每扩展一维,随之而扩展的长度不是线性增加的,而是不均匀的，非线性的.从这个角度看,实数轴上有无数的数学维度，同一个数字在不同的数学维度中，代表的数值是不同的,所以我们完全可以用数字的组合加上该数的数学维度表达式,来表示一切数，“科学计数法”就是这样的一种数值表达方法，也就是任何数都用不大于10 的小数再乘以10的指数的形式来表达，这种表达方式之所以被称为“科学计数法“，因为在科学研究中，经常可能出现位数很多的数，用科学计数法来书写这些数，我们很容易一眼就看出两个数的大小，以及它们相差多少数量级，而无需去数它们的位数。因此，在科学计数法中，小数后面所乘的那个10的指数,就是这个数在十进制计数法中的数学维度数.这种计数法实际上就在告诉我们，任何数其实都只是不大于10 的小数的各类分形系统,它们的差异只是在于它们的“数学维度差异(也就是后面乘以10的几次方）而已。实际上我们还可以用0-1之间的小数乘以10的指数来表达一切数，所以从这个角度讲，数学运算所涉及的全部数，其实就是01之间的小数在不同数学维度中的各类分形系统。现在我们再来看看大家所熟悉的无限循环小数，这更是个极好的分形的例子，其中循环小数的循环节，显现了分形的自相似性和标度不变性。也就是不管你把这个循环小数写到多少位，这个循环节的数字和这些数字的排序都是不变的；不管这个循环节处在该数的什么位置，表征的数值是多小，循环节的精细结构不变，只是处在不同位置的循环节代表了不同的数值、显现了不同的“数学维度”。所以，我们计数用的进制,实际上就是一种数学的指数运算方式。第二个事实,就是数字被创建的同时，人类就学会了数数，19的数字，其实就是我们给1的不同连加次数的和所取的“名字”,2就是1+1的和；3就是3个1连加的和;9就是9个1连加的和。所以数数就是最原始的加法运算，1-9的数字，其实是9个不同的和的名称,也就是1做不同次数连加后，得到的不同的和的名称.只有二进制，才是真正的只用到0和1两个数字的。朋友：被你这么一说，仔细想想，还真的就是这么回事啊！很奇怪，我们怎么就没有想到这一点呢？商：哈哈哈哈，这就是思维模式的差异啊！由于真实世界是辨证的,所以随着加法运算的出现,加法运算的逆运算减法很快应运而生了。如果减法只是严格对应加法的逆运算，是不会出现负数的.但是形式逻辑系统是线性系统，线性系统是按直线式发展的，一旦一种运算方式产生,这种运算方式的应用，就不局限在产生这种运算方式的原始状况（后面讲到的除法也是如此），所以随着减法这个运算方式的出现,当被减数小于减数时，出现负数是必然的。从数学的角度看，出现负数与减法这个运算方式所遵循的形式逻辑不矛盾，只是这类减法运算的结果超过了正数的范围,于是数系就扩大了范围，承认了负数存在的合理性和必要性，数轴就随着负数的出现，出现了0左边的一端。这个例子进一步说明了数系与数学运算方式是同步发展的。朋友：你在上一本书中说过,减法和负数的出现，使得数系中的数开始出现辩证特征，因为加上一个负数，等于减去一个正数，而减去一个负数，等于加上一个正数,也就是负负得正（否定之否定)。商:是的，你说的不错,减法虽然是作为加法的逆运算而出现的，但是减法这个运算方法被确认以后，没有规定减法只能用在加法的逆运算上，所以，当人们用一个小的数去减掉一个大的数的时候,就发现只有在数系中增加负数，减法运算才能在任何情况下都可以使用。从哲学角度看,这是因为加法和减法的关系是互为逆运算的关系,正与逆是辨证的统一,具有辩证逻辑的特征，所以减法产生负数和出现辩证特征是很正常的.我们再来看看乘法运算出现的意义。乘法是作为加法中的一种特殊情况的简便算法而出现的，也就是当几个加数都相同的情况下，可以用乘法运算代替加法运算。朋友：你说的不错，不过实际上这种简便运算只是形式上的简便，九九乘法表是要靠每一个人去硬背的，如果背不出来，就只能一个一个的去加。商：你说的不错，但是我们只要把乘法表背熟以后,再利用乘法的运算法则，在做多位数相乘时，就简便了许多。否则要你做一道123X123的题目，不把你累死？朋友：哈哈哈，你说的也是啊！商：实际上乘法运算被发明的意义还不仅在于此,我在上一本书中已经提到：乘法运算本身就带有了辨证的特征，其一是“负负得正”“否定之否定”规律;其二是两个数字量（标量）相乘时，可以被分别定义为两个正交坐标轴上的矢量（长与宽），这就使得乘法运算在进行数值计算的同时,增加了维度,也蕴含了辨证矛盾；其三是“0的双重身份”，0在与其他数字一起出现时，是个数值等于0 的数；但是0在单独出现时，逻辑含义就是绝对的“无，任何数乘以0都等于0，这种至高无上的绝对性，使得0 的乘法的逆运算结果失去了唯一性和精确性，变得没有意义（0除任何数都为0，任何数都不能除0）.除此之外,乘法运算在逻辑上还有“与”的意思朋友：且慢！我们不太了解与逻辑运算有关的知识,你能不能先介绍一下?商：好的。逻辑运算又被称为布尔运算，是用英国数学家布尔的名字命名的一门学科.布尔是世界上第一个用数学方法研究逻辑问题的数学家，并成功地将这个办法发展成一门全新的数学学科。布尔用符号表示逻辑关系,就像用数字表示数值一样;用等式表示判断，把逻辑推理和判断的结果,变成符号的运算过程或等式的变换。这种判断（运算）和变换的有效性不依赖人们对符号的解释，只依赖于符号的组合规律和运算法则，并形成了与其他数学相容的体系，这个体系就被称为布尔代数。20世纪30年代，逻辑代数首先在电路系统的设计上发挥了很大的作用,极大的简化和减轻了电路设计者的工作，提高了准确性，随着电子技术与计算机技术的告诉发展，尽管电路的设计逐渐发展成各种极其复杂的大系统，但是这些电路中对逻辑的判断和推理，却始终遵守布尔所揭示的规律。1935年，M.H.斯通首先发现布尔代数与集合中的环之间有明确的联系，任意一个布尔代数一定同构于某个集上的一个集域；任意一个布尔代数也一定同构于某个拓扑空间的闭开代数等，这使得布尔代数在理论上和应用上都有了很大的发展，使得布尔代数在代数学（代数结构）、逻辑演算、集合论、拓扑空间理论、测度论、概率论、泛函分析等数学分支中均开始有了应用。与数学一样，布尔代数也是严格遵循形式逻辑的系统，也是离散结构系统。布尔代数研究的不是数值的运算，而是逻辑的运算。在布尔代数中，只有两个数字0与1，它们不代表数值,而是代表逻辑的值,逻辑只能取两个值，取0代表假，取1代表真。布尔代数中的基本逻辑关系只有三个-或、与、非。“非”的逻辑含义比较容易理解，就是“反相”、倒过来的意思，譬如，A=1，非A就等于0，同样，A=0，则非A等于1。“或”用数学符号“+”来表示；“与用数学符号“x来表示.“或”和“与”的逻辑含义我用下面的图来说明：上图中，A、B、C是三个开关，D是一个灯泡,我们把开关接通设定为1，开关不通设定为0；把电路接通灯泡点亮的结果，设定为D等于1；把电路不通灯泡不亮，设定为D等于0.于是,根据上面这个图所示的电路，我们列出以下的等式：D=A+B+C也就是说，ABC中只要有一个开关接通（等于1）,灯泡就被点亮(D=1）；只有当ABC三个开关都没有被接通（都等于0)，灯泡才不能被点亮（D=0).对上式进行布尔代数运算，也清晰的表达了这个判断，也就是ABC中只要有任何一个为1，那么三者相加的结果一定是1；只有ABC三者都为0,三者相加的结果才会等于0。朋友:等一下！如果ABC都为1，三者相加不是等于3么?商：啊,抱歉，我忘了说明一下，在布尔代数中，1+1=1，1+0=1，0+0=0;1x1=1，1x0=0，0x0=0因为布尔代数研究的不是数值，而是逻辑关系。朋友:很奇怪啊，有点不适应！商：不要着急,我们慢慢来。下面再看电路的另一种连接方法：根据上图所示的电路，我们列出以下等式：D=AxBxC也就是说,只有当ABC三个开关都被接通，也就是ABC三者都为1的情况下，灯泡才会被点亮，D=1；只要有一个开关没有接通，ABC中就有一个等于0,三个量相乘的结果就等于0，也就是D等于0，灯泡就不会被点亮.只有ABC三者都为1，三者相乘的结果才会等于1。现在我们来小结一下：“或”的含义就是“或者”的意思，几个互相处于“或”的逻辑关系的项中，只要有一个为“真”，结果就为“真”.“与”的含义就是“必须”的意思,几个互相处于“与的逻辑关系的项中，必须全部为“真，结果才会为“真”。朋友：第一次接触布尔代数，觉得有点别扭，但是已经基本理解了你说的意思。不过我们不太明白布尔代数有什么用呢?商：不要着急。我们先来看看这两种不同连接方式的电路各自适用在什么场合.你能说说吗？朋友：可以啊，前面的那个电路我们叫做并联电路，现在家里的家用电器用的都是这种连接方法;在一些公共通道，为了省电，现在都会用一种声控开关，在有人通过时再接通照明灯，如果这个公共通道有几个出入口，安装在这几个出入口的声控开关就是并联的,任何一个出入口有人走动，灯就会被点亮。后面那个电路我们叫做串联电路,这种电路一般用在控制系统中，譬如,需要几个独立的具有控制权的人同时做出确认的决定，电路才有效启动的系统。比较容易理解的例子就是“火箭”的发射，因为火箭能否正常发射取决于很多准备工作能否正常完成，这些准备工作本身很可能都是独立的,分别由不同的部门负责操作和监视，只有当这些部门都对自己的准备工作确认（按下接通的开关），发射总负责的按钮按下去才有效，只要有一个部门觉得自己负责的部分有点问题，不敢确认，整个启动电路是无法接通的。所以并联电路具有“一票肯定就有效、所有的票否定才能否定”的意思；而串联电路具有“一票就能否决、所有的票都肯定才能肯定的意思。商：你说的很好啊！我们不妨再进一步分析一下，在并联电路中，就电路的接通来讲，这些开关之间相对都是独立的,不管其他开关处在什么状态，任何一个开关的接通都能保证电路的接通.但是就电路的关断来讲，这些开关之间又是互相紧密联系的,只有所有开关都不通，才能保证电路不通。而串联电路恰恰相反，就电路的接通来讲，这些开关之间是紧密联系的，必须大家都接通，电路才能接通，有一个人否定,电路就不通.就电路的不通来讲,这些开关之间都是互相独立的，不管别的开关处在什么状态，任何一个开关不通，电路就不通了。所以在布尔代数中，相互之间处于“或”的逻辑关系的项，在确定系统为“真（相当于电路接通、系统的逻辑值等于1）”的时候,这些项相互之间是独立的关系，任何一个项都有独立的、不受干扰的有效确定权；在确定系统为“假（相当于电路不通、系统的逻辑值等于0）的时候，这些项相互之间有紧密的联系，必须所有的项都取0，系统才会为“假.与此相反，在布尔代数中,相互之间处于“与的逻辑关系的项,在确定系统为“真(相当于电路接通、系统的逻辑值等于1）”的时候，这些项相互之间是紧密联系的关系，只有所有的项都取1，系统才为“真”；而在确定系统为“假（相当于电路不通、系统的逻辑值等于0）的时候，这些项相互之间是独立的,任何一个项取0，系统必为“假。朋友：你说的这些内容还真有点“搞脑筋”啊！但是，确实让我们看到了这两种逻辑关系之间的区别和联系,“或”和“与的含义，在肯定与否定的判断上，是一种相反的对称的关系。对肯定而言，“或”有一票决定权;对否定而言，“与”有一票否定权。商:你说得不错。现在我问你一个有趣的问题,我们今天在这里讨论的话题是数学的算法问题，既然“或用的是“+”号，“与用的是“x”号，那么这种逻辑关系在加法和乘法上是否也有所体现呢？朋友:哈哈哈哈，这个问题我们从来没有想过，但是确实很有趣啊!让我考虑一下看来，加法也确实有“或的意思！譬如，在一个连加的式子中，只要有一个项不为0，和就不为0商：打断了他老兄这个说法有漏洞啊!因为数学是研究数量变化的学科，数学运算不是逻辑运算,所以在加法中如果有两个项，它们都不为0，但是两者的绝对值相等，一正一负，两者的和就为0 啊！朋友：啊、啊你说的对！我修正一下自己的说法,在加法运算中，只要有一个项不为0，这个项就能有效的参与运算。这样修正以后就没有问题了吧？商：哈哈哈哈，看来修正主义并不应该被绝对否定啊！修正错误就是否定之否定朋友：老兄真是对辩证唯物主义情有独钟啊！一有机会就用辩证唯物主义观点来说明问题！商：我早说了，辨证唯物主义有局限性，不等于它不好用，就像欧氏几何一样，虽然有局限性,但是在日常生活和工作中，我们用得最多的还是它啊！朋友:明白了。我们还是继续讨论数学运算中的加法和乘法的逻辑含义.用这样的观点来看乘法，我们就可以说，在几个用乘法连接的项中，任何一个项对这个乘法的结果都有“一票否定权”-只要该项为0,其他项不管是个多大的数，结果也一定是0。所以，用乘法连接的项要能有效的参与运算,前提就是所有这些项都不为0！商:是的，你的这个说法很对。明白这个道理，对于小孩用数学作为工具去理解和证明其他学科的理论，是非常有意义的。朋友：是啊!你今天这么一分析，解决了我的一个疑问!上次我在陪孙子复习迎考的时候，他突然问了我一个问题：我们在数学上用乘法计算4x3的时候，乘法的意义是求4连加3次的和；在几何上求一个长为4宽为3的矩形面积时,也要计算4x3,由于这个矩形中的一个单位面积就是1x1的小正方形，所以计算矩形的面积就是计算每排4个单位小正方形,共计三排这样的小正方形的总的个数，也是4连加3次的和;在物理学上知道速度和时间，求以4米/秒的速度做匀速直线运动的物体在3秒钟内移动的距离，也要计算4x3，也就是每秒钟物体的位移是4米,求3个4米连加的和是多少。问题是：在物理学上求物体的势能时,在E(势能）=mgh 的公式中，m、g、h之间没有什么关系，乘法在这里的意义是什么呢？这三个量之间为什么是相乘的关系呢？还有，点电荷在电场中受到的力f=eq。这里的乘法又是什么意思呢？总不见得说成f是q个e的连加吧？我当时也觉得很难向他解释这个问题，现在我觉得第一个问题好解释了，乘法在逻辑上有“与”的意义，也就是势能E的概念,是mgh三个因素整合而产生的，三者缺一不可。但是第二个问题如何解释呢？商：不要急，第二个问题等我们说到除法运算的意义时再解释.还是先讲乘法的逻辑意义。你对第一个问题的理解很对,物理概念的创建，源于我们认知世界的需要,这个概念是人造的；而数学,是物理学最重要的工具，但是很多人只看到数学在“数值计算”上的功能，没有看到数学在逻辑运用上的功能.你说的这个例子就是一个典型的例子，当我们在物理学上设定了势能这个概念后，根据我们对势能的定义，这三个相关的量之间是“与的逻辑关系，所以不能用加号把它们连接起来，要用乘号把它们连接起来势能公式就是这样产生的.我后面会用更多的例子来说明这个道理.现在我们来分析除法运算。除法是乘法的逆运算，除法被创建的时候，就是用来对乘法产生的积进行逆运算，以求出因数的。与减法一样，除法运算一旦确立，这种运算方式的应用，就不局限在产生这种运算方式的原始状况，所以，不是只有乘法产生的积才可以去除因数,也可以用一个因数除另外一个因数，于是，除法运算就产生了另外一个极其重要的功能-求比例朋友：我明白了。譬如，矩形的长乘以宽等于面积,面积除以长等于宽,面积除以宽等于长；而长除以宽就是求长与宽的比例商:是的，比例这个参数是非常有用的，如果两个矩形的长与宽的比例相同，那么它们就是相似形；同样道理，如果两个三角形三条边对边的比例相同，它们就是相似三角形朋友：是啊，在物理学上，压强就是压力与面积的比例、加速度就是力与质量的比例、而前面提到的电场强度，就是电场力与电荷的比例，所以 ，因此实际上就是除法运算的逆运算,也是知道两个因素的比例和其中一个因素，求另一个因素的通用办法.商：是的，如果教师在教学生学习物理知识时，告诉他们所用公式的内在含义，对于他们理解物理概念的内涵和不同物理概念之间的内在关系，是非常有用的.下面我们继续讨论除法运算的求两者之间比例关系的概念比例这个概念出现后,还发展出很多相关的其他概念和应用。譬如,对静态比例的描述，就发展出了比例中项、倒数;而动态的比例概念的发展，就产生了各种各样的变化率朋友：我明白了，数学的发展来源于实际的需求，数学发展的结果又推动了其他学科的发展。商：是的。数学本身是高度抽象的，但是数学原理和数学成果,与现实生活却有密不可分的联系，这就像哲学一样。朋友：你能用我们正在讨论的“比例”来举个例子具体说明你的观点吗？商：好的。就以刚才说到的比例中项为例，你知道什么是比例中项吗？朋友：知道啊。如果 a：b=b:c，我们就把b称为a与c的比例中项。商：你能说说比例中项与现实生活的联系吗？朋友：我要想一下，虽然我肯定它们有联系,但是好像这种联系不太多商:哈哈哈哈，如果我问你,黄金分割与生活的联系多不多呢？朋友：黄金分割与生活的联系当然多了商：比例中项就是黄金分割啊！当我们把a看做单位长度的时候，b就等于0。618。黄金分割、裴波那契数列、等角螺旋（对数螺旋)、自然数e在数学上都是有紧密的内在联系的,更与自然界和我们生活中的许许多多现象有不解之缘。朋友:我对你说的这些数和数列知道一些，黄金分割是我们最熟悉的，按黄金分割的比例存在的形,往往具有一种美感；裴波那契数列好像与动物的繁殖、植物叶子和花的排列等都有关；螺旋线是很多贝壳外壳的生长规律，也是蜘蛛的结网规律,好像旋风和一些星系的外形也是等角螺旋形的；自然数e与生活的联系更密切了，你在上一本书的附录中的那篇文章写得很详细你能不能说说它们之间内在的联系呢？商：好的.斐波那契数列是意大利数学家列昂纳多斐波那契在研究兔子的繁殖问题时发现的,所以有时候也被称为“兔子数列”。他研究的问题是这样的:兔子一般在出生两个月后，就有繁殖能力。一对兔子每个月能生出一对小兔子来，假定所有的兔都正常成活，那么一年以后，一对兔子共可以繁殖出多少对兔子？我们很容易列表来解决这个问题：第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对兔子；两个月后，生下一对小兔，这时，共有两对兔子；三个月以后，老兔子又生下一对,因为那时小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对兔子；依次类推，在经过12个月后，可以列出下表：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144裴波那契数列是这样的一个由自然数组成的数列，我们很容易发现它的规律，也就是这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和.下面是表示裴波那契数列的通项公式:非常奇怪，裴波那契数列完全是一个自然数的数列，它的通项公式却是用无理数来表达的。更奇怪的是，随着数列项数的不断增加，数列中前一项与后一项之比，越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887这就是裴波那契数列与黄金分割的关系。我们再看下图：（图片来自百度图片） 从图中，我们很容易看出等角螺旋线与黄金分割的关系，图中的几个矩形，都是黄金矩形。我们先画一个黄金矩形ABCD,如果拿掉这个矩形中面积最大的正方形ABEF，剩下的就是一个新的小黄金矩形FECD（证明略)，我们从这个黄金矩形FECD中再拿掉最大的正方形FGHD，并继续这个过程,就会产生一个个不断缩小的黄金矩形的无穷集合。用圆弧连接其中的B、F、H、I、J、K、L等点，我们就可以（粗略地）得到一条等角螺线。等角螺旋线上任意一点和中心的连线与曲线上这点的切线所形成的角是一个定角.在工业生产中，工程师们发现，把抽水机的涡轮叶片的曲面作成对数螺线的形状，抽水量就均匀;在农业生产中，把轧刀的刀口弯曲成对数螺线的形状，它就会按特定的角度来切割草料，效果最好。等角螺旋也叫对数螺旋，数学表达式是：e()。著名数学家笛卡尔首先描述了对数螺旋线，并列出了螺旋线的解析式。这种螺旋线有很多特点,对数螺线的渐屈线和垂足线都是对数螺线,对数螺旋最突出的一点则是它的形状的自相似性，也就是无论标度如何变化，无论你把它放大或缩小都不会改变.就像我们不能把角放大或缩小一样。从对数螺旋的表达式中，我们不难看到它与e的关系根据你前面说到你孙子问你的问题,我断定你的孙子不仅聪明，也很善于动脑筋，建议你回去向你孙子请教一下，我相信他只要查阅一些资料,就一定能告诉你更多的关于黄金分割、裴波那契数列、等角螺旋、和e之间的关系。朋友：你能不能从哲学的角度，简单的给出一个概括？商：好的。我认为黄金分割描述的是一种静态的比例关系、螺旋线(裴波那契数列）描述的是一种动静结合的比例关系、e描述的是一种动态的比例关系，也就是按动态的比例和动态的维度连续变化的比例关系我们再来分析一下乘方和开方运算:乘方是乘法的一个特例，就是乘数都相同；开方是乘方的逆运算。与减法和除法一样，开方运算被确认后，就没有人规定开方只能用在乘方的逆运算中，我们可以对任何数进行开方运算，如果对负数进行开方，就是做虚数的运算了.从哲学角度看，开方是一种降低维度的运算，但是开方降低的是整数维度。正是由于开方这个降低整数维度的功能，使我们发现了无理数。我建议你让你的孙子帮你分析一下乘方和开方这两种数学运算的哲学意义，我相信他一定会发现物理学、几何学、统计学、经济学等学科中广泛用到这两种运算的意义和内在的联系下面我要用比较多的时间来分析对数运算，因为这种运算实际上蕴含了一个极其重要的哲学原理，我相信没有人做过这样的分析。朋友：是吗？我对对数还是比较熟悉的，我喜欢听音乐，所以对音响设备还是有一点研究的。我们人耳对声音响度的度量，就是用对数来分级的,对于1000Hz的声音信号，人耳能感觉到的最低声压为 Pa,我们把这一声压级定为0dB，当声压超过130dB时人耳将无法忍受，故人耳听觉的动态范围为0130dB。音的响度单位用对数原因,在于我们人耳的听觉是非线性的，在声音比较微小时,只要响度稍有增加，我们就能感觉到了，但是当声音的响度达到一定程度后,即使响度再有较大的增加，我们的感觉却不明显了。人耳对声音响度的这种听觉特性，具有“对数函数”的特性，和真数与对数的关系非常接近。上个世纪70年代,我在造船厂当工程师，那个年代，我们既没有计算器，更没有计算机,搞工程设计需要做繁复的计算，靠的就是一把对数计算尺，如果没有这把计算尺，我们根本无法工作。对数计算尺就是因为对数运算的发明，把乘除法变成了加减法，把乘方和开方运算变成了乘法和除法运算，使得大量的乘除运算简化成加减运算，并依据这个原理，设计了对数计算尺，极大的提高了计算效率。此外，利用这把尺上不同的刻度，还可以很方便的直接读出倒数、三角函数以及进行这些数之间的运算.当然，用计算尺的计算精度很低，所以在进行高精度计算时，我们靠的是查阅对数表，然后用手工的加减法解决复杂的乘除法计算。（以上图片来自百度图片） 商:很好啊！既然你对对数很熟悉，我就不在这里具体介绍对数了，这本书的附录中有两篇文章，是介绍对数和对数计算尺的，供有需要的读者参考。现在我问你一个问题,你有没有发现对数运算与数学中的其他运算都不同，有一个极其特殊的非运算功能呢？朋友：没有啊商：啊,很遗憾啊，你对对数和对数计算尺这么熟悉，居然没有发现这个特征！我认为对数实际上是一种特殊的计数方式-一种连续结构的计数方式。朋友：对不起，我听不懂。请你解释一下。商:好。我们先回到前面讨论过的一个话题,就是我们用09这10个数字、用10进制的办法,来表达一切数，实际上是在用一种指数运算的方式来表达数.对数运算是指数运算的逆运算，我们用指数运算（10进制）的办法可以表达一切数,那么显然，我们也可以用对数运算方法来表达一切数,因为从对数函数的图形中我们知道，对数函数的定义域是大于0的所有实数，值域是一切实数；对数函数是单调函数。我们不妨来研究一下，用对数运算的方式来表示我们的实数系，会是怎样的一种情况呢？我们用对数函数的值域来表示一切实数；底数可以随意选一个0不等于1的数，譬如2，于是我们发现,任何一个实数都严格对应一个2的指数,也就是说，我们只要用2这个不变的数字,用改变2的指数的办法，就可以创建一种新的数系，来表达一切实数。前面我们已经分析过了，由于在数值计算中，我们不考虑维度的空间意义,所以，在这种计数系统中，这个固定数字2的不断变动的指数，实际上就是“数学维度，也就是我们所熟悉的进制。换句话说,我们如果想用一个固定的数字来表达一切实数是可以做到的，条件就是不断的改变这个数的“进制”,也就是改变它的指数。朋友：我明白了！原来的计数方式是用0-9十个数字的不同组合,加上以10为1维的维度变化，来表示一切数的。在原来这个计数办法中，每一个维度都是10的倍数,也就是逢10进1维，所以维度（进制）本身是固定不变的，改变的只是维度的个数。你现在说的办法，就是“进制”是变化的,而数字却只用1个,是不变的。商:是啊,你理解得很对.由于对数函数是连续的,单调的,它的定义域是一切大于0 的实数,所以我们发现，用这种计数方式，进制(维度）的变化是连续的。因此，这种新的数系（计数方式）是一个连续结构系统,而不是离散结构系统.朋友：老兄等一下,我听了有点糊涂，让我理一下思路：你的意思是说，利用对数函数的性质,我们可以创造一种新的数系（计数系统）,用于计数的底数可以随意选一个0不等于1的实数,然后用连续改变指数（也就是维度、进制）的办法，来表达一切实数，是这个意思吗？商：是啊,你理解的很对啊！而且由于底数是我们可以随意选取的，只要0不等于1就可以，所以，这样的数系不是唯一的，而是无数个，它们都是分形系统,互相可以转换,也可以与现在用的实数系精确转换，很像“非欧几何”和“欧氏几何”的关系.至于选取什么数字作为底数，完全看我们所面临的实际问题的需求，譬如，选择e或者，甚至某个确定性的函数.朋友:我明白了，现在我们在用的数系其实也是“两点之间一直线，而你说的新数系就是“两点之间有无数的曲线”真是一个离奇的想法啊！商：有必要在这里再强调一下，我们现在说的是一种建立非线性数系的办法，但是实际上建立非线性数系可以有很多其他办法,譬如我在上一本书的“数系的非线性哲学解读一文中说过：事实上现代抽象的数学已经不在意所研究的点在数系中的位置，而是根据某些特征，将分布在数系中具有这类共同特征的点抽象出来组成新的集合，这种集合已经完全脱离了平面数系,存在于一个抽象的空间中，形成一个新的连续的域，来解决数学发展面临的离散与连续的矛盾，使得数学得以正常发展。而这些新的连续的域，实际上就是我前面所说的，各类连续结构的非线性数系中的某个域。朋友：是的,我还记得你说的那段话，但是此刻我想问一下老兄，你用对数来表达数的种做法，有什么实际意义吗？商:哈哈哈哈,老弟真是得了好处就忘记恩人啊！朋友:（丈二和尚摸不着头脑）什么呀？！商：老弟不要急，听我继续分析。我在前面已经说了，我们用实数轴来表示所有实数时,实数轴上的维度（进制）是离散结构系统，因为在10进制的计数方法中，维度只能按整数维增加，不可能增加任何小数维但是在我现在说的这个计数系统中，维度却是连续改变的，因为这里的维度就是对数函数的定义域，是一切大于0的实数。我在上一本书中说过，任何形都是模拟量，模拟量都是连续结构系统，它们一般都是连续维度系统；数字量都是离散结构系统，数字量的维度都是整数维度的.我们用直线形的数轴来表达数，就是用模拟量来表征数，也就是在做模数转换。现在用的实数轴，由于维度是整数维的(每一个维度相差10），所以是离散结构系统。但是在我说的这个新建的数系中，由于维度（进制）是连续变化的连续结构系统,所以我们不但可以用形(模拟量)来表达数，还可以用对模拟量的计算，来进行对数的计算，你在70年代工作中不可或缺的计算尺，其实就是这样的一台模拟计算器.你应该知道，还有一种类似的计算尺，是圆形的，原理是一样的，只不过是用圆（模拟量）来替代直线。朋友:你这么一说，还真的是这样！因为在对数计算尺上的刻度都是非线性的，我们在计算的时候确实只是在做尺的长度(模拟量）的加减，但是却完成了数的乘除的运算。我们那时只知道如何用计算尺，也知道这种计算方法是利用了对数函数的特征，确实没有从模数转换和模拟计算机的角度去考虑过问题。不过我有点好奇，难道老兄研究这些，是想恢复对数计算尺的应用吗？商:哈哈哈，我可没有那么傻!现在的计算器和计算机的功能、计算精度、计算速度早就不是计算尺可以同日而语的了。我考虑这个问题,是从2006年开始的。那一年的某一天（具体日期我记不住了）,我们党派的几个朋友一起宴请几个来自台湾的客人,他们都是一些专家和学者。坐在我旁边的是一位50多岁的女性，毕生从事数学研究。我与她谈到了现代计算机发展的极限问题,为了方便叙述，下面用我们对话的形式表达：商：我在考察台湾标杆学院时，与一些计算机专家讨论过计算机发展的极限问题。我们对计算机的硬件极限几乎没有什么争议,都认为量子计算机是计算机的极限了，因为近五十年来，数字计算机的计算速度平均约每两年翻一翻,相应元件尺寸则每两年缩小一倍，系统的控制技术和运算模数也很先进，芯片中导线与晶体管的宽度已经小到人的头发丝的百分之一，芯片的运算速度和储藏容量比早期的计算机提