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数形结合是数学解决问题的奇葩
贵港市港南区桥圩镇南兴小学 李康
数形结合思想是一种重要的数学思想。数形结合思想方法，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使得抽象的数学概念或复杂的数量关系直观化、形象化、简单化。小学生的思维水平发展还不够成熟,特别是对于后进生，理解抽象思维的内容难度较大，这时可以用图形形象地表示出来，然后“按图索骥”,这样很多问题便可迎刃而解。
著名的数学家华罗庚指出：“数缺形时少直观，形少数时难入微,数形结合百般好，隔离分家万事修”。“数"和“形”是紧密联系的，二者的紧密联系有助于培养学生的多种能力.
一、“数形结合”,培养学生问题解决能力。
首先，数形结合是解决问题的有效策略
在数学教学中,抽象的内容教学似乎是一个极大的难题，原因何在?主要的问题在于我们以往的教学不承认学生经验中的“符号世界”，没有给学生提供机会经历“从具体事物→学生个性化的符号表示→学会数学地表示"这个过程。
例如,在解决“一张桌子最多可以围坐6人，15人至少需要多少张桌子？”这一问题时，有的学生可能会通过实际“排演"找到答案;有的学生可能会用长方形的小片表示桌子,用小圆片表示人，然后通过操作找到答案；还有的学生可能会在白纸上画出下图给出答案。当然，也有的学生会通过列算式求得结果。

×× ×× ××
× × × × ×
×× ××
1张 2张 3张
又如，《标准》在第二学段给出了一个案例:按照3个红气球、2个黄气球,1个绿气球的顺序摆下去，第16个气球的颜色是什么？学生利用经验，可以给出多种解题策略. ↓
绿
黄
黄
红
红
红
黄
红
红
红
策略一： ……
策略二：A表示红气球，B表示黄气球，C表示绿气球，
↓
A A A B B C A A A B B C A A A B B C……
策略三：1表示红气球,2表示黄气球，3表示绿气球，
↓
1 1 1 2 2 3 1 1 1 2 2 3 1 1 1 2 2 3……
以上案例说明，“数形结合”体现在解决问题中，利用图形的直观性分析，从多种途径去解决问题，逐步体会用数、形将实际问题“符号化”的优越性。
二、“数形结合"，培养学生的形象思维能力。
按照现代科学研究的最新成果，人的大脑左右两半球各有不同功能，左半球是主管抽象思维，右半球主管形象思维，两者相互配合，相辅相成，相互促进,才能使个体得到和谐发展.“数形结合”思想，不仅能调动右脑思维的积极性和主动性，提高了形象思维能力，还促进了个体左右脑的协调发展,使人变得更聪明。
形象思维对学生的学习具有重要的作用.在数学教学中，教师应用启发式教学法，不是满足于将知识和结论直接告诉学生，而是创造问题情景诱导学生自己动脑去“发现结论"，让学生充分展现自己的形象思维过程。
且看罗鸣亮老师的《解决问题的策略》是怎么做的.梅山小学的长方形花圃长8米，重修后长增加了3米，面积增加了18平方米。请问花圃原来的面积是多少？
探究:学生独立思考后只有两个学生能立式解决.在交流中生1纯粹语言解释，生2画图解释，所有的学生只听懂了生2的解释。然后罗老师就引导学生画图来理解数量关系，解决问题:
1：再给你一次机会,你会怎么做?师生一起根据题意画示意图
8米 3米

18平方米

这种数形结合的解题方法多么简便，几乎可以达到“图形一画出，解答自然出"的效果实在是巧妙,而且充分地培养了学生的形象思维能力。
三、“数形结合”，培养学生的推理能力。
培养初步的逻辑思维能力作为一项数学科目目标，既符合数学的学科特点，又符合小学生的年龄特点。2000年教育部颁发的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用修订版）》中明确规定，要“结合有关内容的教学，引导学生进行观察、操作、猜测，培养学生会进行初步的分析、综合、比较、抽象、概括，对简单的问题进行判断、推理，逐步学会有条理、有根据地思考问题；同时注意思维的敏捷和灵活。”
应用数形结合进行推理，让抽象的数量关系通过图象形象的表现出来，使推理的过程变得简单直观，更易于学生得出结论。特别是中高年级学生，正是发展学生抽象逻辑思维的有利时期，应用数形结合，提供了一个十分有效的方法。
如:“植树问题”教学片段
学生通过画图模拟植树，得出线上植树的三种情况.
师：“ ”代表一段路，用“ / "代表一棵树，画“ / ”就表示种了一棵树。请在这段路上种上四棵树，想想、做做，你能有几种种法？      
学生操作,独立完成后,在小组里交流说说你是怎么种的？
师反馈，实物投影学生摆的情况.师根据学生的反馈相应地把三种情况都贴于黑板：
① \___\___\___\               两端都种
②  \___\___\___\___  或  ___\___\___\___\    一端栽种
③   ___\___\___\___\___                  两端都不种 
师生共同小结得出: 两端都种:棵数＝段数＋1;  一端栽种：棵数=段数； 两端都不种 ：棵数=段数—1。　
以上片段教师利用线段图帮助学生学习.让学生有可以凭借的工具，借助数形结合进行推理与总结，使学习得以继续,使学生的逻辑思维得以发展，也使数学学习的思想方法真正得以渗透。
又如以下教学片段:
师：二（1）的小朋友们正在布置花坛，在四个角各摆一盆，一共摆了多少盆？

学生口答.
师：如果每边各摆3盆,一共摆了多少盆？请同学生画图表示。
生通过画图,找出了答案.摆4盆呢？
教师引导学生的主要思路。
生1:上下各3盆，另加2盆，3×2+2=8
生2：每边3盆，3×4=12盆，顶点上的多算一次，所以3×4-4=8。

生3：……
师：如果每边摆4盆，一共摆多少盆？摆5盆呢?……在练习纸上画出点子图。

图

……

每边盆数
2
3

总盆数
4
8

你能很快算出各用了多少盆花吗？你发现了什么？
师生共同总结：总盆数=每边盆数×4－4.（也有学生说：（每边盆数－1）×4=总盆数）
沟通图形表象与算式意义的联系,帮助学生积累数形结合的经验,同时丰富了后续推理的路径：既可以从数据方面做形式化的归纳推理,也可以回到情景，借助算法体验，概括基本数量关系，进而推理.
四、“数形结合”，培养学生的自主创新能力。
目前,推行素质教育已成为教育发展的主流.对学生进行综合素质和能力的培养，是建立新世纪创造性人才队伍的需要,是思维的最高境界.只有具有创造性思维能力的人，才能在各自的领域中有所创造发明,才能推动科学技术、人类社会的向前发展。
在数学教学中，教师可通过编选一些探索性的题目，让学生去研究,去探讨，去发现。让他们不是从头脑中已有的思维形式和思维方法中去找答案,而是从问题的本身进行具体的分析，进行一系列探索性思维活动，将已有的思维方式大跨度地迁移,从可供选择的途径中筛选出解决问题的方法。
在小学数学里解决应用题时，通常是将数量关系转化成线段图.但这并不是解决问题的唯一方法，我们应培养学生从多种方法里找出最佳的方法.
如: 一盒糖果平均分给三个小朋友,如果每人吃掉4块，那么三人剩下的糖块数之和恰好是原糖果数的1/3，原糖果有多少块？
分析与解：如用线段图表示数量关系，则如下图所示,其中带斜线的线段表示每人吃掉的糖块数：
\\\\ \\\\ \\\\
由于题目给出的是三人剩下的糖块数之和，与原糖果数的关系，在以上线段图中，三人剩下的糖块数是三条未带斜线且各自分离的线段，较难发现三条带斜线的线段长的和与整条线段长之间的数量关系，因此这不是最佳的选择图形。
4
4

我们希望选择的图形能够一目了然地看出“三人剩下的糖块数之和恰好是糖果数的1/3”,就是说,能把“三人剩下的糖块数之和”在图形中连成一片，并且能直载了当地看出它与原糖果数之间的关系。为此,我们画一个大圆,并且大圆的面积表示原糖块数。把大圆三等分，每份即表示每位小朋友分得的糖块数。在大圆中再画一个小同心圆（小圆半径约等于大圆半径的０。6），用小同心圆的面积表示三人剩下的糖块数之和，于是圆环（阴影部分）的面积则表示三人吃掉的糖块数之和。如右图所示：
4
这样一来,数量关系完全明朗清晰了。
1-= X×=12 答：原有糖果18块。
教师要引导学生通过一些典型题目最佳解法的寻求,增强学生的求新、求异意识，激发他们不甘满足，勇于创新的激情,从而培养学生的创造性思维能力。
数形结合能培养学生多种能力，那么在教学中如何渗透数形结合思想呢?
1、 在理解算理过程中渗透数形结合思想
小学数学内容中，有相当部分的内容是计算问题,计算教学要引导学生理解算理.但在教学中很多老师忽视了引导学生理解算理，尤其在课改之后，老师们注重了算法多样化，在计算方法的研究上下了很大功夫，却更加忽视了算理的理解。我们应该意识到，算理就是计算方法的道理,学生不明白道理又怎么能更好的掌握计算方法呢?在教学时，教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然、知其所以然。”如在学习《整十数加减整十数》时，我们可以让学生摆小棒理解算理.
2、 在教学新知中渗透数形结合思想
在教学新知时,不少教师都会发现很多学生对题意理解不透彻、不全面，尤其是到了高年级，随着各种已知条件越来越复杂，更是让部分学生“无从下手”。基于此，把从直观图形支持下得到的模型应用到现实生活中，沟通图形、表格及具体数量之间的联系,强化对题意的理解。如在学习应用题时,老师常用到线段图进行分析题意，以此寻找解题的突破口.
3、 在数学练习题中挖掘数形结合思想
运用数形结合是帮助学生分析数量关系,正确解答应用题的有效途径。它不仅有助于学生逻辑思维与形象思维协调发展，相互促进，提高学生的思维能力，而且有助于培养学生的创新思维和数学意识.
在做练习时,教师可先提出“先作图分析再解答”或“先解答后作图分析”或“选自己喜欢的方法解答”，这样经过长期的训练，学生的思维可达到较高的境界。
如练习题：公园里有一块长方形场地，长17米，宽15米,周围有3米宽的绿化带。一共占地多少平方米?绿化带占地面积是多少平方米？
在做练习前教师提出先画图再作答，学生们很快就找到解决的方法，而且理解得很好，很多学生获得了成功感。
总之,在小学数学教学中，数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化,这不仅能让学生顺利的、高效率的学好数学知识,更能让学生享受学习数学的成功与快乐，提高学生数学思考能力。