2021-2022学年高中数学-第一章-数列-2.2.2-等差数列习题课学案北师大版必修5.doc

2021-2022学年高中数学 第一章 数列 2.2.2 等差数列习题课学案北师大版必修52021-2022学年高中数学 第一章 数列 2.2.2 等差数列习题课学案北师大版必修5年级：姓名：第2课时等差数列习题课学习目标1.掌握an与Sn的关系,会由Sn求an.(数学运算)2.掌握与等差数列前n项和有关的数列求和.(数学运算)3.能够应用等差数列前n项和公式解决实际问题.(数学建模)关键能力合作学习类型一已知Sn求an(数学运算)【典例】已知数列an的前n项和为Sn=n2+n,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?【思路导引】由Sn的定义可知,当n=1时,S1=a1;当n2时,an=Sn-Sn-1,即an=【解析】根据Sn=a1+a2+an-1+an与Sn-1=a1+a2+an-1(n2),可知,当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-=2n-,当n=1时,a1=S1=12+1=.也满足式,所以数列an的通项公式为an=2n-.由此可知,数列an是一个首项为,公差为2 的等差数列.【解题策略】由Sn求an的方法(1)an与Sn的关系:an=当n=1适合于an时,则a1可以统一到an(n2,nN+)的形式中,而不用写成分段函数形式.若n=1不适合an,则通项公式应写成分段函数形式.(2)等差数列an中,若d0,则Sn可写成关于n的二次函数形式,反之,若Sn=An2+Bn,那么数列an一定是等差数列.【跟踪训练】已知数列的前n项和Sn=n2+n,则an= .【解析】当n=1时,a1=S1=2,当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2+(n-1)=2n,n=1时,a1=2也适合an=2n,综上an=2n(nN*)答案:2n类型二求等差数列绝对值的前n项和(数学运算)【典例】数列an的前n项和Sn=33n-n2,(1)求an的通项公式;(2)an的前多少项和最大;(3)设bn=|an|,求数列bn的前n项和Sn.【思路导引】(1)利用Sn与an的关系求通项,也可由Sn的结构特征求a1,d,从而求出通项.(2)利用Sn的函数特征求最值,也可以用通项公式找到通项的变号点求解.(3)利用an判断哪些项是正数,哪些项是负数,再求解,也可以利用Sn的函数特征判断项的正负求解.【解析】(1)方法一:(公式法)当n2时,an=Sn-=34-2n,当n=1时,a1=S1=32=34-21,满足an=34-2n.所以an的通项公式为an=34-2n.方法二:(结构特征法)由Sn=-n2+33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数,所以an是等差数列,由Sn的结构特征知解得a1=32,d=-2,所以an=34-2n.(2)方法一:(公式法)令an0,得34-2n0,所以n17,所以数列an的前17项大于或等于零,又a17=0,所以数列an的前16项或前17项的和最大.方法二:(函数性质法)由y=-x2+33x的对称轴为x=.距离最近的整数为16,17.由Sn=-n2+33n的图像可知:当n17时,an0,当n18时,an0,所以数列an的前16项或前17项的和最大.(3)由(2)知当n17时,an0;当n18时,an0,d0,这种数列只有前边有限项为非负数,从某项开始其余所有项都为负数,可把数列an分成两段处理.(3)等差数列an中,a10,这种数列只有前边有限项为负数,其余都为非负数,同样可以把数列分成两段处理.【跟踪训练】 等差数列an中,a1=-10,d=2,则数列|an|的前3项的和S3= ,前8项的和S8= .【解析】a1=-10,d=2,所以an=-10+2(n-1)=2n-12,a6=0,故S3=|-10|+|-8|+|-6|=24,S8=|a1|+|a2|+|a3|+|a6|+|a7|+|a8|=-a1-a2-a6+a7+a8=36.答案:2436类型三等差数列前n项和的应用(数学建模)角度1等差数列前n项和的实际应用【典例】如图所示,有一块菜地共有20畦,每畦长12米,宽1.5米,离菜地18米处有一个池塘,浇水的人从池塘挑一担水,绕着第1畦菜地走一圈,浇完第1畦菜,然后他返回池塘边,再挑一担水,绕着第2畦菜地走一圈,浇完第2畦菜,以后照此办法,直至浇完整块菜地,问他一共走了多少路?【思路导引】由题意知:浇完后一畦菜地比前一畦菜地多走21.5米,所以此人每次所走路程为等差数列.【解析】设浇完第n(1n20)畦菜地后,再回到池塘边时浇水人所走的路程为an,由题意,数列an是等差数列,其中a1=218+2(12+1.5)=63,a20=218+2(12+1.5)+1921.5=120.所以S20=1 830(米).因为要计算的路程到浇完第20畦为止,所以所求路程为S=S20-(18+191.5)=1 830-46.5=1 783.5(米).答:他一共走了1 783.5米.【变式探究】在一次数学竞赛中,获得一等奖的八名同学的分数恰好构成等差数列,总分为656,且第一名的分数超过了90分(满分为100分).已知同学们的分数都是整数,那么第三名的分数是多少?【解析】设第一名的分数为a1,公差为d.则S8=8a1+d=656,所以d=. 因为a1(90,100,a1Z,dZ,所以当a1=96时,d=-4符合题意,此时第三名的分数是88.角度2裂项相消法求和【典例】已知数列an的各项均为正数,a1=1,且2an+1an+an+1-an=0.(1)设bn=,求证:数列bn是等差数列.(2)设cn=,求数列cn的前n项和Sn.【思路导引】(1)由题意证明bn+1-bn为一个常数,可得数列bn是等差数列.(2)由(1)得an=表示出cn,利用裂项相消法求和.【解析】(1)因为2an+1an+an+1-an=0.两边同除以an+1an,得2+-=0,所以bn+1-bn=-=2,又b1=1,所以数列bn是以1为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)知,bn=2n-1,所以an=.所以cn=,Sn=+=.【解题思路】1.等差数列解决实际问题的一般思路2.裂项相消法求数列的和裂项相消法求数列的和,主要适用于数列的通项公式是分式的形式.常见的裂项有:(1)若an是等差数列,则=,=(2)=(3)=(4)=-(5)=(6)=1+【题组训练】1.(2020威海高一检测)某渔业公司年初购进一艘渔船用于捕捞,第一年需要维修费12万元,从第二年起维修费比上一年增加4万元,则前10年维修费总和为万元.【解析】由题意,从第二年起维修费比上一年增加4万元,即每年的维修费成等差数列.设每年的维修费构成的等差数列为an,则an=12+4(n-1)=4n+8,S10=1012+1094=300(万元).答案:3002.数列an的通项公式an=,其前n项和Sn=9,则n=.【解析】an=-,所以Sn=(-1)+(-)+(-)=-1=9.所以n=99.答案:993.在数列an中,an=+,且bn=,求数列bn的前n项的和.【解析】an=(1+2+n)=,因为bn=,所以bn=8,所以数列bn的前n项和为Sn=8+-=8=.课堂检测素养达标1.已知等差数列an的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列的前100项和T100为()A.B.C.D.【解析】选A.因为a5=5,S5=15,所以=15,所以a1=1.所以d=1,所以an=n.所以=-.则数列的前100项的和为:T100=+=1-=.2.数列的前n项和为Sn=2n2-3n(nN*),若p-q=5,则ap-aq=()A.20B.15C.10D.-5【解析】选A.当n2时,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3n-3=4n-5,a1=S1=-1适合上式,所以an=4n-5,所以ap-aq=4(p-q),因为p-q=5,所以ap-aq=20.3.一物体从1 960 m的高空降落,如果第1秒降落4.90 m,以后每秒比前一秒多降落9.80 m,那么经过秒落到地面.【解析】设物体经过t秒降落到地面.物体在降落过程中,每一秒降落的距离构成首项为4.90,公差为9.80的等差数列.所以4.90t+t(t-1)9.80=1 960,即4.90t2=1 960,解得t=20.答案:204.已知数列an的前n项和Sn=n2+n+1,则a6+a7+a10的值为.【解析】a6+a7+a10=S10-S5=111-31=80.答案:805.(教材二次开发:习题改编)已知数列的前n项和Sn=3n-2,则数列的通项公式是.【解析】当n=1时,a1=S1=31-2=1;当n2时,Sn-1=3n-1-2,则an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=3n-3n-1=33n-1-3n-1=23n-1.此时若n=1,an=23n-1=231-1=2a1,故an=答案:an=6.等差数列an的前n项和Sn=-n2+n,求数列|an|的前n项和Tn.【解析】a1=S1=101,当n2时,an=Sn-Sn-1=-n2+n-=-3n+104,a1=S1=101也适合上式,所以an=-3n+104,令an=0,n34.7,故n35时,an0,所以对数列|an|,n34时, Tn=|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+an=-n2+n,当n35时,Tn=|a1|+|a2|+|a34|+|a35|+|an|=a1+a2+a34-a35-an=2(a1+a2+a34)-(a1+a2+an)=2S34-Sn=n2-n+3 502,所以Tn=