2021-2022学年高中数学-第三章-三角恒等变换-3.1.2-第2课时-两角和与差的正切公式课时.doc

2021-2022学年高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.2 第2课时 两角和与差的正切公式课时分层作业新人教A版必修4

2021-2022学年高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.2 第2课时 两角和与差的正切公式课时分层作业新人教A版必修4

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课时分层作业(二十六)　
(建议用时：40分钟)

一、选择题
1.的值为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C．tan 6° D.
A　[∵＝tan (27°＋33°)＝tan 60°＝，
∴＝.]
2．已知点P(1，a)在角α的终边上，tan＝－，则实数a的值是(　　)
A．2 B.
C．－2 D．－
C　[∵tan＝＝＝－，
∴tan α＝－2，
∵点P(1，a)在角α的终边上，
∴tan α＝＝a，∴a＝－2.]
3．tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°的值为(　　)
A．－ B.
C．3 D.
B　[由tan(α＋β)＝
变形tan(α＋β)(1－tan αtan β)＝tan α＋tan β，
故tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°
＝tan(10°＋50°)(1－tan 10°tan 50°)＋tan 10°tan 50°
＝(1－tan 10°tan 50°)＋tan 10°tan 50°
＝－tan 10°tan 50°＋tan 10°tan 50°
＝.]
4．A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是(　　)
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
A　[由条件知tan A＋tan B＝，tan Atan B＝，
∴tan(A＋B)＝＝，∴tan C＝－tan(A＋B)＝－，
即C为钝角，故△ABC是钝角三角形．]
5．已知α，β为锐角，cos α＝，tan(α－β)＝－，则tan α·tan β＝(　　)
A. B．4
C. D.
B　[∵α锐角，cos α＝，∴sin α＝，∴tan α＝＝，
又tan(α－β)＝－，
∴tan β＝tan[α－(α－β)]
＝＝＝3，
∴tan α·tan β＝4.故选B.]
二、填空题
6．已知tan＝，则tan α＝ .
　[tan＝＝＝，
解方程得tan α＝.]
7．已知tan＝，tan＝－，则tan＝ .
　[tan＝tan
＝
＝＝.]
8．化简：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于 ．
1　[原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan 20°＋tan 10°)
＝tan 10°tan 20°＋tan(20°＋10°)(1－tan 20°tan 10°)
＝tan 10°tan 20°＋1－tan 20°tan 10°
＝1.]
三、解答题
9．已知tan＝2，tan β＝，
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
[解]　(1)∵tan＝2，
∴＝2，
∴＝2，解得tan α＝.
(2)原式
＝
＝＝
＝tan(β－α)＝
＝＝.
10．已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，求角α＋β的大小．
[解]　由已知得
∴tan α，tan β均为负，
∴－<α<0，－<β<0.
∴－π<α＋β<0，
又tan(α＋β)＝＝＝.
∴α＋β＝－.

1．设向量a＝(cos α，－1)，b＝(2，sin α)，若a⊥b，则tan等于(　　)
A．－ B.
C．－3 D．3
B　[由a·b＝2cos α－sin α＝0，得tan α＝2，
所以tan＝＝＝.]
2．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3，tan2B＝tan A·tan C，则角B等于(　　)
A．30° B．45°
C．120° D．60°
D　[由公式变形得：
tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)
＝tan(180°－C)(1－tan Atan B)
＝－tan C(1－tan Atan B)
＝－tan C＋tan Atan Btan C，
∴tan A＋tan B＋tan C
＝－tan C＋tan Atan Btan C＋tan C
＝tan Atan Btan C＝3.
∵tan2B＝tan Atan C，
∴tan3B＝3，
∴tan B＝，B＝60°.]
3．(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)·…·(1＋tan 44°)(1＋tan 45°)的值为 ．
223　[(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)
＝1＋tan 44°＋tan 1°＋tan 44°tan 1°，
∵tan 45°＝tan(1°＋44°)＝＝1，
∴(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝1＋1－tan 1°tan 44°＋tan 44°tan 1°＝2，
同理，得(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝(1＋tan 2°)(1＋tan 43°)＝…＝2，∴原式＝222×(1＋tan 45°)＝223.]
4．已知tan α＝lg 10a，tan β＝lg，且α＋β＝，则实数a的值为 ．
或1　[∵α＋β＝，
∴tan(α＋β)＝＝1，
tan α＋tan β＝1－tan αtan β，
即lg 10a＋lg＝1－lg 10alg，
1＝1－lg 10alg，
∴lg 10alg＝0，∴lg 10a＝0或lg＝0，
解得a＝或a＝1.]
5．已知锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝.
(1)求证：tan A＝2tan B；
(2)设AB＝3，求AB边上的高．
[解]　(1)证明：∵sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝，
∴⇒⇒＝2，所以tan A＝2tan B.
(2)∵<A＋B<π，sin(A＋B)＝，∴tan(A＋B)＝－，即＝－.
将tan A＝2tan B代入上式并整理得，2tan2 B－4tan B－1＝0.
解得tan B＝，舍去负值，得tan B＝.
∴tan A＝2tan B＝2＋.设AB边上的高为CD.
则AB＝AD＋DB＝＋＝.
由AB＝3，得CD＝2＋.∴AB边上的高等于2＋.