2021-2022版高中数学-模块素养评价新人教B版必修第三册.doc

2021-2022版高中数学 模块素养评价新人教B版必修第三册

2021-2022版高中数学 模块素养评价新人教B版必修第三册

年级：
姓名：

模块素养评价(一)
(120分钟　150分)
一、单选题(每小题5分,共40分)
1.若角α=-4,则α的终边在 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选B.因为α=-4, 且-<-4<-π,
所以α的终边在第二象限.
2.(2020·郑州高一检测)sin 40°cos 10°+cos 40°sin 350°= (　　)
A. B.- C. D.-
【解析】选A.依题意,
原式=sin 40°cos 10°-cos 40°sin 10°
=sin =sin 30°=.
3.若a=(3,4),b=(5,12), 则a与b的夹角的余弦值为 (　　)
A. B. C.- D.-
【解析】选A.由题意得cos<a,b>===.
4.函数f(x)=tan的单调递增区间是 (　　)
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
【解析】选B.由题意,函数 f(x)=tan,
令 -+kπ<-<+kπ,k∈Z,
解得2kπ-<x<2kπ+,k∈Z,
即函数f(x)的单调递增区间是,k∈Z.
5.(2020·武汉高一检测)如图,某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=4sin +k,据此图象可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 (　　)

A.10 B.8 C.6 D.5
【解析】选A.某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=4sin +k,
据此图象可知,这段时间水深最小值为-4+k=2,
所以k=6,故这段时间水深(单位:m)的最大值为4+k=10.
6.一个半径为R的扇形,它的周长是4R,则这个扇形所含的弓形的面积是 (　　)
A.(2-sin 2)R2 B.R2sin 2
C.R2 D.R2
【解析】选D.弧长l=4R-2R=2R,α===2,S扇形=lR=×2R·R=R2,S三角形=×2Rsin 1×Rcos 1=·R2,S弓形=S扇形-S三角形
=R2-·R2=R2.
7.若将函数f=2sin 的图象向右平移φ个单位,所得函数为偶函数,则φ的最小正值是 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选A.函数f=2sin 的对称轴满足2x+=kπ+,
即x=+,令k=-1可得x=-,
所以φ的最小值为.
8.如图所示,半圆的直径AB=4,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则·的最小值是(　　)

A.2 B.0 C.-1 D.-2
【解析】选D.由平行四边形法则得+=2,
故(+)·=2·,又||=2-||,
且,反向,设||=t(0≤t≤2),
则(+)·=2·=-2t(2-t)
=2(t2-2t)=2[(t-1)2-1].
因为0≤t≤2,所以当t=1时,(+)·有最小值,最小值为-2.
【补偿训练】
　　已知|p|=2,|q|=3,p,q的夹角为,如图,若=5p+2q,=p-3q,D为BC的中点,则||为 (　　)

A. B. C.7 D.18
【解析】选A.=(+)
=(5p+2q+p-3q)=(6p-q),
所以||==
=
　=
=.
二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.(2020·潍坊高一检测)下列各式的值为的是 (　　)
A.
B.tan 15°cos 215°
C.cos 2-sin 2
D.
【解析】选ACD.A符合,原式=×
=tan 45°=;
B不符合,原式=sin 15°·cos 15°=sin 30°=;
C符合,原式=·cos =;
D符合,原式=sin 30°=.
10.在△ABC中下列结论正确的是 (　　)
A.-=
B.·<·
C.若·=0,则△ABC为等腰三角形
D.若·>0,则△ABC为锐角三角形
【解析】选BC.对于A,-=,故A中结论错误;对于B,设θ为向量与的夹角,因为·=··cos θ,而cos θ<1,故·<·,故B中结论正确;对于C,·=-=0,故=,所以△ABC为等腰三角形,故C中结论正确;对于D,取A=B=,C=,满足·=·cos A>0,但△ABC为钝角三角形,故D中结论错误.
11.将函数f(x)=3sin 的图象向右平移个单位长度所得图象对应的函数为g(x),下列有关函数g(x)的说法正确的是 (　　)
A.图象关于直线x=-对称
B.图象关于中心对称
C.当x=+kπ(k∈Z)时取得最大值
D.在区间上单调递增
【解析】选BD.由题意知,函数f(x)=3sin2x+的图象向右平移个单位长度得到的函数解析式为g=3sin =3sin ,
当x=-时,2x-=-π,此时2x-≠+kπ,k∈Z,故A错误;
当x=时,2x-=0,此时满足2x-=kπ,k∈Z,故B正确;
当x=+kπ(k∈Z)时,2x-=-+2kπ,k∈Z,此时函数g(x)有最小值,故C错误;
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
令k=0,≤x≤,所以函数g(x)在区间上单调递增,故D正确.
12.已知向量a与向量b满足如下条件,其中a与b的夹角是的(　　)
A.=1,=6,a·(b-a)=2
B.==1,a2+a·b=
C.a=(,-1),b=(2,2)
D.a=(2,2),b=(-3,0)
【解析】选ABC.由a·(b-a)=2,得a·b-a2=2,
则a·b=3,设向量a与向量b的夹角为α,
则a·b=·cos α=3,
则cos α=,那么α=,则A正确;
由a2+a·b=,得a·b=,设向量a与向量b的夹角为α,则a·b=·cos α=,
则cos α=,那么α=,
则B正确;由a=(,-1),b=(2,2),
则=2,=4,a·b=4,则cos α=,
那么α=,则C正确;
由a=(2,2),b=(-3,0),则=4,=3,a·b=-6,则cos α=-,那么α=,则D不正确.
三、填空题(每小题5分,共20分)
13.已知 sin α=,则 cos 2α= 　　　. 
【解析】依题意 cos 2α=1-2sin 2α=1-2×=.
答案:
14.(2020·宁波高一检测)已知向量a,b满足a=(-1,2),b=(2,m).若a∥b,则m=　　　　　; 
|b|=　　　　　. 
【解析】因为a∥b,
所以(-1)×m-4=0,所以m=-4.
所以|b|==2.
答案:-4　2
15.设α为锐角,若cos =,则sin2α+的值为　　　　. 
【解析】设β=α+,所以sin β=,
sin 2β=2sin βcos β=,
cos 2β=2cos 2β-1=,
所以sin =sin
=sin =sin 2βcos -cos 2βsin
=.
答案:
16.若函数 f(x)=2sin (ωx+φ)0<ω<, |φ|<的部分图象如图所示, A(0,),C(2,0),并且 AB∥x 轴,则cos ∠ACB的值为　　　　. 

【解析】由已知 f(0)=2sin φ=,
又 |φ|<,所以 φ=,
所以 f(x)=2sin,
由 f(2)=0,即 2sin=0,
所以 2ω+=2kπ+π, k∈Z,
解得 ω=kπ+, k∈Z,而 0<ω<,所以 ω=,
所以 f(x)=2sin ,
令 f(x)=,得x+=2kπ+ 或 x+=2kπ+,k∈Z,
所以x=6k或x=6k+1,由题干图可知, B(1,) .
所以 =(-2,),=(-1,),
所以 |=,||=2,
所以 cos ∠ACB===.
答案:
四、解答题(共70分)
17.(10分)(2020·沈阳高一检测)如图所示,在平面直角坐标系中,锐角α、β(β>α)的终边分别与单位圆交于A,B两点,点A.

(1)若点B,求cos (α+β)的值:
(2)若·=,求sin β.
【解析】(1)因为α是锐角,且A,B,在单位圆上,
所以sin α=,cos α=,sin β=,cos β=,
所以cos (α+β)=cos αcos β-sin αsin β
=×-×=-.
(2)因为·=,
所以||·||cos (β-α)=,
且==1,所以,cos (β-α)=,
可得:sin (β-α)=(β>α),且cos α=,sin α=,所以sin β=sin [α+(β-α)]
=sin αcos (β-α)+cos αsin (β-α)
=×+×=.
18.(12分)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.
(1)求 |a+b|.
(2)求向量a 在向量a+b上的投影的数量.
【解析】(1)因为(2a-3b)·(2a+b)=61,
所以 4-4a·b-3=61.
因为 |a|=4,|b|=3,所以 a·b=-6,
所以 |a+b|=　
==.
(2)因为 a·(a+b)=+a·b=42-6=10,
所以向量a 在向量 a+b 投影的数量为
==.
19.(12分)已知函数y=cos2x+sin xcos x+1,x∈R.
(1)求它的振幅、周期和初相.
(2)用“五点法”作出它的简图.
(3)该函数的图象可由y=sin x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?
【解析】y=cos2x+sin xcos x+1=cos 2x+sin 2x+=sin+.
(1)y=cos2x+sin xcos x+1的振幅为A=,周期为T==π,初相为φ=.
(2)令x1=2x+,
则y=sin+=sin x1+,
列出下表,并描点得出的图象如图所示:
x
-

x1
0

π

2π
y=sin x1
0
1
0
-1
0
y=sin
+

(3)将函数图象依次经过如下变换:
函数y=sin x的图象函数y=
sin的图象.

函数y=sin的图象
函数y=
sin的图象函数y=sin+的图象,
即得函数y=cos2x+sin xcos x+1的图象.
20.(12分)已知 sin α=, α∈.
(1)求 sin 的值;
(2)若 tan β=,求tan(2α-β) 的值.
【解析】(1)因为 sin α=,α∈,
所以 cos α===,
所以 sin =sin αcos +cos αsin
=×+×=.
(2)由(1) tan α= 得 tan 2α===,所以 tan(2α-β)===.
21.(12分)已知向量m=,n=(cos x,cos 2x),函数 f(x)=m·n.
(1)求函数 f(x) 的最小正周期及单调增区间.
(2)将函数 y=f(x) 的图象向左平移 个单位,得到函数 y=g(x) 的图象,求 g(x) 在上的值域.
【解析】(1)f(x)=m·n = sin xcos x-cos 2x
= sin 2x-cos 2x = sin ,
所以f(x)的最小正周期 T==π,由 -+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,
所以增区间为k∈Z.
(2)由(1)得f(x)=sin ,
将函数 y=f(x) 的图象向左平移 个单位得到 y=sin=sin的图象,
因此 g(x)=sin,又 x∈,
所以 2x+∈,
sin∈,
故 g(x) 在上的值域为.
22.(12分)已知函数f(x)=Asin (ωx+φ)+BA>0,ω>0,|φ|<的一系列对应值如表:
x
-

y
-2

4

-2

4
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的解析式.
(2)求函数f(x)的单调递增区间和对称中心.
(3)若当x∈时,方程f(x)=m+1恰有两个不同的解,求实数m的取值范围.
【解析】(1)设 f(x) 的最小正周期为 T,
得 T=-=2π,由 T= 得 ω=1,
又 解得
令 ω·+φ=2kπ+(k∈Z ),
即 +φ=2kπ+ (k∈Z),解得 φ=-,
所以 f(x)=3sin (x-)+1.
(2)当2kπ-≤x-≤2kπ+ (k∈Z)时,
即 x∈(k∈Z)时,函数 f(x) 单调递增.令x-=kπ(k∈Z),得x=kπ+(k∈Z),
所以函数f(x)的对称中心为(k∈Z).
(3)方程 f(x)=m+1 可化为 m=3sin,
因为 x∈,所以 x-∈,由正弦函数图象可知,实数 m 的取值范围是.