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2021-2022学年高中数学 第7章 复数测评巩固练习新人教A版必修第二册

2021-2022学年高中数学 第7章 复数测评巩固练习新人教A版必修第二册

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第七章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知a,b∈R,则“a=b”是“(a-b)+(a+b)i为纯虚数”的(　　)
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析:(a-b)+(a+b)i为纯虚数的充要条件是实数a,b满足a-b=0,a+b≠0,即a=b,且a≠-b,也就是a=b≠0.
结合题意知充分性不成立,必要性成立,故选C.
答案:C
2.若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位),则a,b的值分别等于(　　)
A.3,-2 B.3,2 C.3,-3 D.-1,4
答案:A
3.1+2i1-2i=(　　)
A.-45-35i B.-45+35i
C.-35-45i D.-35+45i
解析:1+2i1-2i=(1+2i)25=-3+4i5,故选D.
答案:D
4.已知(x+i)(1-i)=y,则实数x,y分别为(　　)
A.x=-1,y=1 B.x=-1,y=2
C.x=1,y=1 D.x=1,y=2
解析:∵(x+i)(1-i)=(x+1)+(1-x)i,
∴(x+1)+(1-x)i=y.∴x+1=y,1-x=0,∴x=1,y=2.
答案:D
5.已知z1=1+2i,z2=m+(m-1)i,且两复数的乘积z1z2的实部和虚部为相等的正数,则实数m的值为(　　)
A.1 B.34 C.43 D.-34
解析:∵z1=1+2i,z2=m+(m-1)i,
∴z1z2=(1+2i)[m+(m-1)i]
=m+2mi+(m-1)i+2(m-1)i2
=(m-2m+2)+(2m+m-1)i
=(2-m)+(3m-1)i.
根据题意知2-m=3m-1,得m=34.
答案:B
6.若z=1+i(i是虚数单位),则2z+z2等于(　　)
A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i
解析:∵z=1+i,∴2z+z2=21+i+(1+i)2=(1-i)+(1+i)2=(1-i)+(1+2i-1)=1+i.故选D.
答案:D
7.已知在复平面内,向量AB,BC,AD对应的复数分别为-2+i,3-i,1+5i,则CD对应的复数是(　　)
A.-6i B.6i C.5i D.-5i
解析:∵CD=CB+BA+AD=-BC-AB+AD,
∴CD对应的复数为-(3-i)-(-2+i)+1+5i=5i.
答案:C
8.复数z=-1+i1+i-1,在复平面内z所对应的点在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:z=(-1+i)i(1+i)i-1=(-1+i)i-1+i-1=-1+i.
答案:B
9.若z=cos θ+isinθ(i为虚数单位),则使z2=-1的θ值可能是(　　)
A.π6 B.π4 C.π3 D.π2
解析:∵z2=(cosθ+isinθ)2=cos2θ+isin2θ=-1,
∴sin2θ=0,cos2θ=-1,∴2θ=2kπ+π(k∈Z).
∴θ=kπ+π2(k∈Z),令k=0知选D.
答案:D
10.已知i为虚数单位,a为实数,若复数z=(1-2i)·(a+i)在复平面内对应的点为M,则“a>12”是“点M在第四象限”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:z=(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i,所以复数z在复平面内对应的点M的坐标为(a+2,1-2a).所以点M在第四象限的充要条件是a+2>0,且1-2a<0,解得a>12,故选C.
答案:C
11.复数z=1+cos α-isinα(π<α<2π)的模为(　　)
A.2cos α2 B.-2cos α2 C.2sin α2 D.-2sin α2
解析:(方法一)|z|=(1+cosα)2+sin2α=2+2cosα=4cos2α2=2cosα2.
∵π<α<2π,∴π2<α2<π,∴cosα2<0,
∴2cosα2=-2cosα2.
(方法二)z=1+cosα-isinα=2cos2α2-2i·sinα2cosα2=2cosα2cosα2-isinα2.
∵π<α<2π,∴π2<α2<π,∴cosα2<0,
原式=-2cosα2-cosα2+isinα2
=-2cosα2cosπ-α2+isinπ-α2.
答案:B
12.设△ABC的两个内角A,B所对的边分别为a,b,复数z1=a+bi,z2=cos A+icosB,若复数z1·z2在复平面内对应的点在虚轴上,则△ABC是(　　)
A.等腰三角形或直角三角形
B.等腰直角三角形
C.等腰三角形
D.直角三角形
解析:z1·z2=(a+bi)(cosA+icosB)
=(acosA-bcosB)+(acosB+bcosA)i,
∵z1·z2在复平面内对应的点在虚轴上,
∴acosA-bcosB=0,
即sinAcosA-sinBcosB=0,
∴sin2A=sin2B,∴2A=2B或2A+2B=π,
∴A=B或A+B=π2.
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
答案:A
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)
13.已知复数z=(3+i)2(i为虚数单位),则|z|=　　　　　. 
解析:(方法一)∵z=(3+i)2,
∴|z|=|(3+i)2|=|3+i|2=10.
(方法二)∵z=(3+i)2=9+6i+i2=8+6i,
∴|z|=82+62=10.
答案:10
14.i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=　　　　　. 
解析:∵(2,-3)关于原点的对称点是(-2,3),
∴z2=-2+3i.
答案:-2+3i
*15.将复数1+i对应的向量OM绕点O按逆时针方向旋转π4,得到的向量为OM1,那么OM1对应的复数是　　　　　.(用代数形式表示) 
解析:OM1对应的复数是(1+i)cosπ4+isinπ4=22(1+i)2=2i.
答案:2i
16.若关于x的方程x2+(2-i)x+(2m-4)i=0有实数根,则纯虚数m=　　　　　. 
解析:设m=bi(b∈R),则x2+(2-i)x+(2bi-4)i=0,化简得(x2+2x-2b)+(-x-4)i=0,
即x2+2x-2b=0,-x-4=0,解得x=-4,b=4,故m=4i.
答案:4i
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知复数z1满足(z1-2)·(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,z1·z2是实数,求z2.
解:(z1-2)(1+i)=1-i⇒z1=2-i.
设z2=a+2i,a∈R,
则z1z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i,
∵z1z2∈R,∴a=4,∴z2=4+2i.
18.(本小题满分12分)已知复数z=(2+i)m2-6m1-i-2(1-i).求实数m取什么值时,复数z是:(1)零;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数?
分析:先把复数z化简整理为a+bi(a,b∈R)的形式,再根据复数的分类及其几何意义求解即可.
解:因为m∈R,
所以复数z=(2+i)m2-3m(1+i)-2(1-i)
=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i.
(1)当2m2-3m-2=0,m2-3m+2=0,即m=2时,z为零.
(2)当m2-3m+2≠0,即m≠2,且m≠1时,z为虚数.
(3)当2m2-3m-2=0,m2-3m+2≠0,即m=-12时,z为纯虚数.
(4)当2m2-3m-2=-(m2-3m+2),
即m=0或m=2时,z是复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数.
19.(本小题满分12分)已知|z+1-i|=1,求|z-3+4i|的最大值和最小值.

解:设ω=z-3+4i,则z=ω+3-4i,
∴z+1-i=ω+4-5i.
又|z+1-i|=1,
∴|ω+4-5i|=1.
可知ω对应的点的集合是以(-4,5)为圆心,半径为1的圆,如图所示,
∴|ω|max=41+1,|ω|min=41-1.
20.(本小题满分12分)已知z是复数,z+2i,z2-i均为实数(i为虚数单位),且复数(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.
解:设z=x+yi(x,y∈R),
∵z+2i=x+(y+2)i是实数,∴y=-2.
∵z2-i=x-2i2-i=15(x-2i)(2+i)
=15(2x+2)+15(x-4)i是实数,
∴x=4,∴z=4-2i.
∵(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,
根据条件,可知12+4a-a2>0,8(a-2)>0,解得2<a<6.
∴实数a的取值范围是(2,6).
21.(本小题满分12分)已知复数z满足|z|=2,z2的虚部是2.
(1)求复数z;
(2)设z,z2,z-z2在复平面上的对应点分别为A,B,C,求△ABC的面积.
解:(1)设z=a+bi(a,b∈R),
由已知条件得,a2+b2=2,①
又z2=a2-b2+2abi,∴2ab=2.②
由①②解得a=b=1或a=b=-1,
即z=1+i或z=-1-i.
(2)当z=1+i时,z2=(1+i)2=2i,z-z2=1-i,
∴点A(1,1),B(0,2),C(1,-1),
∴S△ABC=12·|AC|·1=12×2×1=1.
当z=-1-i时,z2=(-1-i)2=2i,z-z2=-1-3i.
∴点A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),
∴S△ABC=12·|AC|·1=12×2×1=1.
故△ABC的面积为1.
22.(本小题满分12分)已知复数z1=cos α+isinα,z2=cos β-isinβ,且z1+1z2=12+32i,求复数z1,z2的值.
解:由z1+1z2=12+32i,得
cosα+isinα+1cosβ-isinβ=12+32i,
∴cosα+isinα+cosβ+isinβ=12+32i,
即(cosα+cosβ)+i(sinα+sinβ)=12+32i.
∴cosα+cosβ=12,sinα+sinβ=32.∴cosα=12-cosβ,sinα=32-sinβ.
∴cos2α+sin2α=12-cosβ2+32-sinβ2=1,
整理,得cosβ=1-3sinβ,代入sin2β+cos2β=1,
可解得sinβ=0或sinβ=32.
当sinβ=0时,cosβ=1,cosα=-12,sinα=32.
当sinβ=32时,cosβ=-12,cosα=1,sinα=0.
∴z1=-12+32i,z2=1或z1=1,z2=-12-32i.