2021-2022学年高中数学-第三章-三角恒等变换-3.1.2-第1课时-两角和与差的正弦、余弦公.doc

2021-2022学年高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.2 第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式课时分层作业新人教A版必修4

2021-2022学年高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.2 第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式课时分层作业新人教A版必修4

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课时分层作业(二十五)　
(建议用时：40分钟)

一、选择题
1．化简sin＋sin＝(　　)
A．－sin x　　　　　　 B．sin x
C．－cos x D．cos x
B　[sin＋sin
＝sin x＋cos x＋sin x－cos x
＝sin x．]
2．已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
C　[由于α，β∈，∴α＋β∈，∴cos(α＋β)＝＝，
又β－∈，∴cos＝－，
∴cos＝cos＝
cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝－.]
3．已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，那么β＝(　　)
A. B.
C. D.
C　[∵0＜β＜α＜，
∴0＜α－β＜，
由cos α＝得sin α＝，
由cos(α－β)＝得sin(α－β)＝，
∴sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×
＝＝，
∴β＝.]
4．函数y＝sin＋sin的最小值为(　　)
A.　　　　B．－2　　　　C．－　　　　D.
C　[因为y＝sin＋sin＝sin 2xcos ＋cos 2xsin ＋sin 2xcos－cos 2xsin ＝sin 2x，所以所求函数的最小值为－.]
5．已知向量a＝(cos 75°，sin 75°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，那么|a－b|等于(　　)
A. B.
C. D．1
D　[|a－b|＝
＝
＝＝1.]
二、填空题
6．若cos α＝－，sin β＝－，α∈，β∈，则sin(α＋β)的值为 ．
　[∵cos α＝－，α∈，
∴sin α＝＝.
∵sin β＝－，β∈，
∴cos β＝＝，
∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×＋×＝.]
7．已知cos＝－，则cos x＋cos＝ .
－1　[cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x＝ cos x＋sin x＝cos＝×＝－1.]
8．在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6,4sin B＋3cos A＝1，则角C等于 ．
30°　[已知两式两边分别平方相加，得
25＋24(sin Acos B＋cos Asin B)＝37，
即25＋24sin(A＋B)＝37，
∴sin C＝sin(A＋B)＝，
∴C＝30°或150°.
当C＝150°时，A＋B＝30°，
此时3sin A＋4cos B＜3sin 30°＋4cos 0°＝与已知矛盾，∴C＝30°.]
三、解答题
9．已知cos α＝(α为第一象限角)，求cos，sin的值．
[解]　∵cos α＝，且α为第一象限角，
∴sin α＝＝＝.
∴cos＝cos cos α－sin sin α
＝×－×＝.
同理可求sin＝.
10．已知0＜β＜，＜α＜，cos＝，
sin＝，求sin(α＋β)的值．
[解]　∵＜α＜，∴－＜－α＜0.
∴sin＝－＝－.
又∵0＜β＜，
∴＜＋β＜π，
∴cos＝－＝－，
sin(α＋β)＝－cos
＝－cos
＝－coscos－sinsin
＝－×－×＝.

1．在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)，则△ABC的形状一定是(　　)
A．等边三角形　　　　　 B．不含60°的等腰三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
D　[∵A＋B＋C＝180°，∴cos(B＋C)＝cos(180°－A)＝－cos A，sin(A＋C)＝sin(180°－B)＝sin B，
由sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)
得sin Acos B－cos Asin B＝1－2cos Asin B，
∴sin(A＋B)＝1，即sin C＝1，
∴C＝，即△ABC是直角三角形．]
2．已知sin＋sin α＝，则sin的值是(　　)
A．－ B.
C. D．－
D　[因为sin＋sin α＝，所以sincos α＋cossin α＋sin α＝，即cos α＋sin α＝，所以cos α＋sin α＝，即sin＝，所以sin＝sin＝－sin＝－，所以应选D.]
3．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝ .
－　[∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，∴sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1①，cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0②，①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，∴sin(α＋β)＝－.]
4．若tan α＝2tan，则＝ .
3　[＝＝
＝＝
＝＝3.]
5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若f＝，求cos的值．
[解]　(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.
又因为f(x)的图象关于直线x＝对称，
所以2·＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….
由－≤φ＜，得k＝0，
所以φ＝－＝－.
(2)由(1)得f
＝sin＝，
所以sin＝.
由＜α＜得0＜α－＜，
所以cos＝
＝＝.
因此cos＝sin α
＝sin
＝sincos＋cossin
＝×＋×＝.