人教版高中数学选修2-2教案全集-(18346).doc

-人教版高中数学选修2-2 教案全集第一章导数及其应用1.1.1变化率问题教学目标：1理解平均变化率的概念；2了解平均变化率的几何意义；3会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念教学过程：一创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数 , 求物体在任意时刻的速度与加速度等 ; 二、求曲线的切线 ;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数 研究的问题即变化率问题 ：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度二新课讲授（一）问题提出问题 1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程 , 可以发现 , 随着气球内空气容量的增加 , 气球的半径增加越来越慢 . 从数学角度 , 如何描述这种现象呢 ?气球的体积 V( 单位 : L) 与半径 r ( 单位 : dm) 之间的函数关系是 V (r )4 r 33如果将半径 r 表示为体积V 的函数 , 那么 r (V )33V4分析 :3Vr (V ) 3，4 当 V 从 0 增加到 1 时, 气球半径增加了 r (1) r (0)0.62( dm)气球的平均 膨胀率 为 r (1)r (0)0.62(dm / L)-10 当 V 从 1 增加到 2 时, 气球半径增加了 r (2) r (1) 0.16( dm)气球的平均 膨胀率 为 r (2)r (1)0.16(dm / L)21可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了h思考： 当空气容量从1 增加到2时 , 气球的平均膨胀率是多少?VVr (V2 )r (V1 )V2V1问题 2高台跳水在高台跳水运动中 , 运动员相对于水面的高度h( 单位：) 与起跳后m的时间 t （单位： s）存在函数关系 h( t )= -4.9t 2+6.5 t +10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算：0t0.5 和 1t2 的平均速度 vot在 0 t 0.5 这段时间里，在 1 t 2 这段时间里， v探究： 计算运动员在0th(0.5)h(0)4.05(m / s) ；v0.50h(2)h(1)8.2( m / s)2165这段时间里的平均速度，并思考以下问题：49运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程： 如图是函数h( t )= -4.9t 2+6.5 t +10 的图像，结合图形可知，65 )(0)，h(h49h( 65)h(0)所以v490(/ ) ，65s m04965虽然运动员在 0这段时间里的平均速度为0(s/ m) ，但实际情况是运动员仍然运动，并t49非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态（二）平均变化率概念:1上述问题中的变化率可用式子f (x2 )f ( x1 ) 表示 ,称为函数f( ) 从x1 到x2 的平均变化率x2x1x2 若设 x xx,ff ( x) f (x)( 这里x 看作是对于x1 的一个“增量”可用2121x1+ x 代替 x2, 同样fyf (x2 )f ( x1) )3 则平均变化率为yff ( x2 )f (x1 )xxx2x1思考：观察函数f() 的图象x平均变化率ff ( x2 )f (x1) 表示什么 ?xx2x1直线 AB的斜率三典例分析f (x1x)f ( x1 )xyy=f(x)f(x2) y =f(x2)- f(x1)f(x1 )x= x2- x1Ox1x2x例 1已知函数 f ( x)=x 2x 的图象上的一点A( 1,2) 及临近一点 B( 1 x, 2 y) ,则yx解：2y( 1x) 2( 1x) ，y(1 x)2(1 x)2xxx3例 2求 yx2 在 xx0 附近的平均变化率。解：y( x0x)2x02y( x0x)2x02，所以xxx022x0 xx2x02xx2x0所以 yx 2 在 xx0 附近的平均变化率为2x0x四课堂练习1质点运动规律为st 23，则在时间 (3 , 3t ) 中相应的平均速度为2.物体按照(t)=3t2+4 的规律作直线运动, 求在 4s附近的平均变化率 .3tst253.过曲线 y=f ( x)= x3 上两点 P（ 1， 1）和 Q(1+x,1+y) 作曲线的割线，求出当x=0.1 时割线的斜率 .五回顾总结1平均变化率的概念2函数在某点处附近的平均变化率六教后反思：1.1.2导数的概念教学目标：1了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念教学过程：一创设情景（一）平均变化率（二） 探究： 计算运动员在 0 t65这段时间里的平均速度，并思考以下问题：49运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程： 如图是函数 h( t )= -4.9t2+6.5 t +10 的图像，结合图形可知，h(65 )(0)，h49h( 65)h(0)h所以v490(/ ) ，65s m04965虽然运动员在 0t0(s / m) ，但实际这段时间里的平均速度为49情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态o二新课讲授t1瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，t2 时的瞬时速度是多少？考察t 2 附近的情况：思考： 当t 趋近于 0 时，平均速度 v 有什么样的变化趋势？结论：当t 趋近于 0 时，即无论 t 从小于 2 的一边，还是从大于 2 的一边趋近于 2 时，平均速度 v 都趋近于一个确定的值13.1 从物理的角度看，时间t间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在 t2时的瞬时速度是13.1m / s为了表述方便，我们用limh(2t) h(2)13.1t 0t表示“当 t2， t 趋近于0 时，平均速度 v 趋近于定值 13.1 ”小结 ：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限， 从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。2 导数的概念从函数 y=f ( x) 在 x=x0 处的瞬时变化率是:lim f ( x0x)f (x0 )limfx0xx0x我们称它为函数yf ( x) 在 xx0 出的导数 ，记作 f ( x0 ) 或 y |xx0，即f( x0 )limf (x0x)f (x0 )xx 0说明：（ 1）导数即为函数y=f ( x) 在 x=x0 处的瞬时变化率（ 2） xxx0 ，当x0时， xx0 ，所以 f ( x0 )limf ( x)f ( x0 )x0xx0三典例分析例 1（ 1）求函数 y=3x2 在 x=1 处的导数 .分析： 先求f =y=f ( x)- f ( )=6x+(x) 2再求f6x 再求 limf6xxx 0解： 法一 定义法（略）法二： y |x 1lim 3x23 12lim 3( x212 )lim3( x1)6x1x1x 1x1x 1（ 2）求函数 f ( x)=x2x 在x1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数解：y(1x) 2(1x) 23xxxf( 1)limy( 1x) 2( 1x)2x)3xxlim(3x0x0例 2（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热， 如果第 xh 时，原油的温度 （单位： C ）为 f (x) x 27x15(0x8) ，计算第 2h 时和第 6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义解：在第2h时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是f (2)和 f (6)根据导数定义，ff (2x)f ( x0 )xx(2x) 27(2x) 15(2 27215)3xx所以 f (2)limflim (x 3)3xx 0x 0同理可得 : f(6)5在第 2h时和第 6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3 和 5，说明在 2h 附近，原油温度大约以 3 C / h的速率下降，在第 6h附近，原油温度大约以5 C / h 的速率上升注：一般地，f (x0 ) 反映了原油温度在时刻x0 附近的变化情况四课堂练习1质点运动规律为st 23，求质点在 t3的瞬时速度为2求曲线 y=f ( x)= x3 在 x1时的导数3例 2 中，计算第3h 时和第 5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义五回顾总结1瞬时速度、瞬时变化率的概念2导数的概念六教后反思： 1.1.3导数的几何意义教学目标：1了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2理解曲线的切线的概念；3通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义教学过程：一创设情景（一）平均变化率、割线的斜率（二）瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数= (x) 在= 处的瞬时变化率，反映了函数= (x) 在= 附近的y fx x0y fx x0变化情况，导数f (x0 ) 的几何意义是什么呢？二新课讲授（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当 Pn (xn , f (xn )( n1,2,3,4)沿着曲线f (x) 趋近于点P(x0 , f (x0 ) 时，割线PPn 的变化趋势是什么？图 3.1-2我们发现 , 当点 Pn 沿着曲线无限接近点P 即x 0 时, 割线 PPn 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P 处的切线 .问题： 割线 PPn 的斜率 kn 与切线 PT的斜率 k 有什么关系？ 切线 PT的斜率 k 为多少？容易知道， 割线 PPn 的斜率是 knf (xn )f (x0 ) , 当点 Pn 沿着曲线无限接近点P 时， kn 无xnx0限趋近于切线 PT的斜率 k ，即 k limf (x0x)f (x0 )xf ( x0 )x0x 0P 处的切线的说明：（ 1）设切线的倾斜角为 , 那么当时 , 割线 PQ的斜率 , 称为曲线在点斜率 .这个概念 : 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数在xx0 处的导数 .（ 2）曲线在某点处的切线 :1) 与该点的位置有关 ;2) 要根据割线是否有极限位置来判断与求解 . 如有极限 , 则在此点有切线 , 且切线是唯一的 ; 如不存在 , 则在此点处无切线 ;3) 曲线的切线 , 并不一定与曲线只有一个交点 , 可以有多个 , 甚至可以无穷多个 .（二）导数的几何意义：函数=() 在=0 处的导数等于在该点(x0 , f (x0 ) 处的切线的斜率，y fxxx即f (x0 )limf ( x0x)f (x0 )kx0x:说明： 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤求出 P 点的坐标 ;求出函数在点x0 处的变化率f (x0 )lim f ( x0x)f ( x0 )k ，得到曲线在点x 0x( x0 , f ( x0 ) 的切线的斜率；利用点斜式求切线方程 .（二）导函数 ：由函数 f ( x) 在 x=x0处求导数的过程可以看到, 当时 ,f ( x0 )是一个确定的数，那么, 当 x 变化时 , 便是 x 的一个函数 , 我们叫它为 f ( x) 的导函数 . 记作： f ( x) 或 y ，即 :f ( x)ylimf (xx)f (x)x 0x注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数（三）函数f ( x) 在点 x0 处的导数f (x0 ) 、导函数f ( x) 、导数之间的区别与联系。（ 1）函数在一点处的导数f (x0 ) ，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。(2 ）函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的，就是函数f(x)的导函数(3 ）函数f (x) 在点x0 处的导数f ( x0 )就是导函数f ( x) 在xx0 处的函数值，这也是求函数在点 x0 处的导数的方法之一。三典例分析例 1: （ 1）求曲线 y=f ( x)= x2+1 在点 P(1,2) 处的切线方程 .（ 2）求函数 y=3x2 在点 (1,3) 处的导数 .解：（ 1） y |x 1lim(1x)21(121)lim2xx2,xx2x0x 0所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为y22( x1) 即 2 xy0（ 2）因为 y |x 13x23 12lim3( x2 12 )lim3(x1)6limx1x1x1x 1x1所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为y36( x1) 即 6x y30（ 2）求函数 f ( x)=x2x 在 x1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数解：y(1x) 2(1x)23xxxf ( 1)limy( 1x) 2(1x)2lim(3x)3xxx0x 0例 2（课本例2）如图 3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h( x) 4.9x26.5x10 ，根据图像，请描述、比较曲线 h(t) 在 t0 、 t1 、 t2 附近的变化情况解：我们用曲线h(t) 在 t0 、 t1 、 t2 处的切线，刻画曲线 h(t)在上述三个时刻附近的变化情况（ 1）当 tt0 时，曲线 h(t) 在 t 0 处的切线 l0 平行于x 轴，所以，在t t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降（ 2）当 tt1 时，曲线 h(t) 在 t1 处的切线 l1 的斜率 h (t1 )0 ，所以，在 tt1 附近曲线下降，即函数 h( x)4.9x26.5x 10 在 t t 附近单调递减1（ 3）当 tt 2 时，曲线 h(t) 在 t 2 处的切线 l 2 的斜率 h (t2 )0 ，所以，在 tt 2 附近曲线下降，即函数 h( x)4.9x26.5x 10 在 t t2 附近单调递减从图 3.1-3 可以看出，直线l1 的倾斜程度小于直线l 2 的倾斜程度，这说明曲线在t1 附近比在 t2附近下降的缓慢例 3（课本例3）如图3.1-4 ，它表示人体血管中药物浓度c f (t ) ( 单位： mg / mL ) 随时间 t （单位： min）变化的图象根据图像，估计t 0.2 , 0.4 , 0.6 , 0.8 时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1 ）解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f (t) 在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线f (t) 在此点处的切线的斜率如图 3.1-4 ，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值作 t0.8 处的切线，并在切线上去两点，如(0.7, 0.91)， (1.0,0.48)，则它的斜率为：0.480.91k1.41.00.7所以f (0.8)1.4下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：t0.20.40.60.8药物浓度瞬时变化率 f (t )0.40-0.7-1.4四课堂练习1求曲线y=f ( x)= x3 在点 (1,1) 处的切线；2求曲线yx 在点 (4,2) 处的切线五回顾总结1曲线的切线及切线的斜率；2导数的几何意义六教后反思： 1.2.1 几个常用函数的导数教学目标：1使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数yc 、 y x 、 yx2 、 y1的导x数公式；2掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数教学重点：四种常见函数yc 、 yx 、 yx2 、 y1的导数公式及应用x教学难点： 四种常见函数yc、 yx 、 yx2 、 y1的导数公式x教学过程：一创设情景我们知道， 导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度那么，对于函数y f ( x) ，如何求它的导数呢？由导数定义本身， 给出了求导数的最基本的方法， 但由于导数是用极限来定义的， 所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦， 有时甚至很困难， 为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数二新课讲授1函数 y f ( x) c 的导数根据导数定义，因为yf ( xx)f ( x) ccxx0xylim 0 0所以 y limx0 xx0函数导数ycy0y0 表示函数 yc 图像（图 3.2-1 ）上每一点处的切线的斜率都为0若 yc 表示路程关于时间的函数，则y0 可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态2函数 yf ( x)x 的导数因为yf ( xx) f ( x)xx x1xxx所以 ylimylim 11xx 0x 0函数导数yxy1y1表示函数 yx 图像（图 3.2-2 ）上每一点处的切线的斜率都为 1若 yx 表示路程关于时间的函数，则y1可以解释为某物体做瞬时速度为1 的匀速运动3函数 yf ( x)x2 的导数因为yf (xx)f (x)(xx)2x2xxxx22xx(x)2x2xx2x所以 ylimylim (2 xx)2xxx 0x0函数导数yx2y 2xy2x 表示函数 yx2 图像（图3.2-3 ）上点 (x , y) 处的切线的斜率都为 2x，说明随着 x 的变化，切线的斜率也在变化另一方面， 从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当 x 0时，随着 x 的增加，函数y x2 减少得越来越慢；当x0 时，随着 x 的增加，函数 y x2 增加得越来越快若yx2 表示路程关于时间的函数，则y2x 可以解释为某物体做变速运动，它在时刻 x 的瞬时速度为 2x 4函数 yf ( x)1的导数xyf ( xx)f (x)11因为xxxxxxx( xx)1x(xx)xx2xx所以 ylimylim (1)1x2x2x0x0xxx函数导数y11xyx25函数 yf ( x)x 的导数因为yf (xx) f ( x)xxxxxx(xxx )(xxx )x(xxx)(xx)xx(xxx )所以 yli