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数字信号处理昆明理工大学理学院电子科学与技术专业第一章离散时间信号与系统1数字信号处理系统数字信号处理系统 接收装置接收装置（天线、接收机、换能（天线、接收机、换能器）器）本课程重点讨论本课程重点讨论的部分的部分2如何学习这门课程？如何学习这门课程？数字信号处理数字信号处理离散时间系统离散时间系统差分方程 差分方程差分方程卷积和卷积和Z变换，离变换，离散傅里叶散傅里叶变换变换信号与系统信号与系统连续时间系统连续时间系统微分方程微分方程卷积卷积拉普拉斯拉普拉斯变换，傅变换，傅里叶变换里叶变换3参考书参考书数字信号处理教程数字信号处理教程，程佩青，程佩青，清华大学出版社清华大学出版社信号与系统信号与系统下册，下册，郑君里等主编，郑君里等主编，高等教育出版社高等教育出版社数字信号处理及应用数字信号处理及应用，卢光跃等主编，人民邮电出版社卢光跃等主编，人民邮电出版社41.1 离散时间信号序列离散时间信号序列信号通常是一个自变量或几个自变量的函数。如果仅有一个自变量，则称为一维信号；如果有两个以上的自变量，则称为多维信号。本课程仅研究一维数字信号处理的理论与技术。关于信号的自变量，有多种形式，可以是时间、距离、温度、电压等，本课程一般地把信号看作时间的函数。5对模拟信号xa(t)进行等间隔抽样，抽样间隔为T，得到n取整数。对于不同的n值，xa(nT)是一个有序的数字序列：xa(-T)、xa(0)、xa(T)，该数字序列就是时域离散信号。实际信号处理中，这些数字序列值按顺序放在存贮器中，此时nT代表的是前后顺序。离散时间信号的获取？离散时间信号的获取？离散时间信号的获取？离散时间信号的获取？6为简化，抽样间隔可以不写，形成x(n)信号，x(n)可以称为序列。这里n取整数，非整数时无定义。对于具体信号，x(n)代表第n个序列值，在数值上等于信号的抽样值，即x(n)=xa(nT)，-n信号随n的变化规律可以用公式表示，也可以用图形表示。如果x(n)是通过观测得到的一组离散数据，则其可以用集合符号表示，例如：x(n)=1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.17序列的表现形式：x(n)的两层两层含义1、表示序列x(n)2、表示n处的量值x(n)：,2,7,3,-1,0,5,9,6 在在Matlab中，可以用一个列向量来表示一个有限中，可以用一个列向量来表示一个有限长度的序列长度的序列n=-3,-2,-1,0,1,2,3,4;x=2,7,3,-1,0,5,9,6公式；集合；公式；集合；图形图形81.单位抽样序列(n)一、几种常用序列一、几种常用序列单位抽样序列也可以称为单位冲激序列，特点是仅在n=0时取值为1，其它均为零。它类似于模拟信号和系统中的单位冲激函数(t)，但不同的是(t)在t=0时，取值无穷大，t0时取值为零，对时间t的积分为1。单位抽样序列和单位冲激信号如图11所示。9移序：移序：1n=m0nmn012345m1图11单位抽样序列和单位冲激信号(a)单位抽样序列；(b)单位冲激信号10用单位抽样序列表示任意序列用单位抽样序列表示任意序列对对于于任任意意序序列列，常常用用单单位位抽抽样样序序列列的的移移位位加加权和表示，即权和表示，即因为只有因为只有m=n时，时，（n-m）=1.这种任意序列的表示方法，在信号分析中是一个这种任意序列的表示方法，在信号分析中是一个很有用的公式。很有用的公式。11例：x(n)的波形如图所示，可以用(1-16)式表示成：x(n)=-2(n+2)+0.5(n+1)+2(n)+(n-1)+1.5(n-2)-(n-4)+2(n-5)+(n-6)12单位阶跃序列如图12所示。它类似于模拟信号中的单位阶跃函数u(t)。(n)与u(n)之间的关系如下式所示：2.单位阶跃序列u(n)13令n-k=m，代入上式得到图12单位阶跃序列14上式中N称为矩形序列的长度。当N=4时，R4(n)的波形如图13所示。矩形序列可用单位阶跃序列表示，如下式：RN(n)=u(n)-u(n-N)(1-8)3.矩形序列RN(n)15图1-3矩形序列16如果|a|1，则称为发散序列。其波形如图1-4所示。4.实指数序列图1-4实指数序列175.复指数序列x(n)=e(+j0)n式中0为数字域频率，设=0，用极坐标和实部虚部表示如下式：x(n)=ej0nx(n)=cos(0n)+jsin(0n)由于n取整数，下面等式成立：ej(0+2M)n=ej0n,M=0,1,218real(x)求x的实部imag(x)求x的虚部abs(x)求x的模值angle(x)求x的幅角196.正弦序列x(n)=Asin(n0)式中A为幅度，为起始相位，0称为正弦序列的数字频率，单位是弧度，它表示序列变化的速率，或者说表示相邻两个序列值之间变化的弧度数。20欧拉公式：欧拉公式：欧拉公式：欧拉公式：复指数信号与正余弦信号之间的关系：补充：补充：21二、序列的周期性二、序列的周期性如果对所有如果对所有n存在一个最小的正整数存在一个最小的正整数N，使下面等式成立：，使下面等式成立：x(n)=x(n+N),-n0时，x(n-m)：延迟/右移m位x(n+m)：超前/左移m位2.移位、翻转及尺度变换移位、翻转及尺度变换29x(n)x(n+m)左移x(n)x(n-m)右移-3-2-101234567x(n)m=4m=3反折反折x(-n)则是x(n)的翻转序列，是以n=0的纵轴为对称轴将序列x(n)翻转。fliplr(x)尺度变换尺度变换x(mn)是x(n)序列每隔m点取一点形成的，相当于时间轴n压缩了m倍。30反折：反折：313.卷积和卷积和 计算卷积和的方法：计算卷积和的方法：计算卷积和的方法：计算卷积和的方法：(1)(1)图解法：图解法：画图(2)(2)列表法：列表法：适用于有限长序列(3)(3)解析法：解析法：适用于有解析表达式的确定信号(4)(4)变换域：变换域：频域法32(1)图解法步骤步骤2、3中，量值不变，仅位置变化中，量值不变，仅位置变化4、对每一个、对每一个n值求和：值求和：1、n m：步骤：步骤：2、反折：反折：3、以、以n为参量平移：为参量平移：3334结论：1、两个有限长序列卷积后结果还是有限长，长度、两个有限长序列卷积后结果还是有限长，长度为为L=N1+N2-1。“线性卷积”2、n-m中的中的n为反折后的序列平移的位置，和为反折后的序列平移的位置，和y(n)对应。对应。3、卷积结果的起始位置为两序列起始位置之和，、卷积结果的起始位置为两序列起始位置之和，截止位置为两序列截止位置之和。截止位置为两序列截止位置之和。35（2）列表法(适用于两有限长序列)x1(0)x1(1)x1(2)x1(3)x2(0)x1(0)x2(0)x1(1)x2(0)x1(2)x2(0)x1(3)x2(0)x2(1)x1(0)x2(1)x1(1)x2(1)x1(2)x2(1)x1(3)x2(1)x2(2)x1(0)x2(2)x1(1)x2(2)x1(2)x2(2)x1(3)x2(2)n=0n=1n=2n=3n=4n=536例例1.1.3另解：用单位抽样序列来表示另解：用单位抽样序列来表示x(n)和和h(n)进行求解进行求解37（3）解析法适用于因果序列、单边序列、有限长序列38对因果序列:x(n)=x1(n)u(n),y(n)=x2(n)u(n)39小结：2、结果的起止位置、结果的起止位置:u(n)1、求和的上下限、求和的上下限:=u(m-0)=u-(m-n)y(n)也是因果序列m+n-m=n40例1.1.5：求和上下限结果的起始位置对单边序列:41例1.1.6：一个常用公式：一个常用公式：|x|142利用(n)的偶函数特性，抽样特性偶函数特性偶函数特性单位抽样序列的卷积特性：43偶函数特性抽样特性44卷积和的运算规律：451.2 线性移不变系统线性移不变系统设时域离散系统的输入为x(n)，经过规定的运算，系统输出序列用y(n)表示。设运算关系用T表示，输出与输入之间关系用下式表示：y(n)=Tx(n)其框图如图1.2.1所示。图1.2.1离散时间系统46一、线性系统一、线性系统对于y1(n)=Tx1(n)，y2(n)=Tx2(n)可加性比例性/齐次性/均匀性满足叠加原理的系统满足叠加原理的系统47例1.2.1证明y(n)=ax(n)+b(a和b是常数)，所代表的系统是非线性系统。证明：y1(n)=Tx1(n)=ax1(n)+by2(n)=Tx2(n)=ax2(n)+by(n)=Tx1(n)+x2(n)=ax1(n)+ax2(n)+by(n)y1(n)+y2(n)因此，该系统不是线性系统。用同样方法可以证明以下系统是线性的：48例例1.2.2：判断系统判断系统y(n)=x(n)sin(0n)是否线性系统。是否线性系统。令x(n)=a1x1(n)+a2x2(n)则y(n)=a1x1(n)+a2x2(n)sin(0n)=a1x1(n)sin(0n)+a2x2(n)sin(0n)=a1y1(n)+a2y2(n)所以系统是线性系统。解：解：49二、移不变系统二、移不变系统如果系统对输入信号的运算关系T在整个运算过程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称为移不变系统，用公式表示如下：y(n)=Tx(n)y(n-m)=Tx(n-m)(1.16)LSI(Linear ShiftInvariant)LTI(Linear TimeInvariant)50例1.2.3检查y(n)=ax(n)+b代表的系统是否是移不变系统，上式中a和b是常数。解y(n)=ax(n)+by(n-m)=ax(n-m)+by(n-m)=Tx(n-m)因此该系统是时不变系统。51例1.2.4检查y(n)=nx(n)所代表的系统是否是移不变系统。解：y(n)=nx(n)y(n-m)=(n-m)x(n-m)Tx(n-m)=nx(n-m)y(n-m)Tx(n-m)因此该系统不是移不变系统。同样方法可以证明以下系统不是移不变系统：52三、单位抽样响应与卷积和三、单位抽样响应与卷积和线性时不变系统输入与输出之间的关系：设系统的输入x(n)=(n)，系统输出y(n)的初始状态为零，定义这种条件下系统输出称为系统的单位抽样响应，用h(n)表示。换句话说，单位抽样响应即是系统对于(n)的零状态响应。用公式表示为h(n)=T(n)(1.17)h(n)和模拟系统中的h(t)单位冲激响应相类似，都代表系统的时域特征。53根据线性系统的叠加性质有：根据线性系统的叠加性质有：则系统输出为：则系统输出为：又根据移不变性质有：又根据移不变性质有：设系统的输入用设系统的输入用x(n)表示，根据任一序列可表示成单位抽样序表示，根据任一序列可表示成单位抽样序列移位加权和，即列移位加权和，即 54例1.2.5设x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。解：上式中矩形序列长度为4，求解上式主要是根据矩形序列的非零值区间确定求和的上、下限，R4(m)的非零值区间为：0m3，R4(n-m)的非零值区间为：0n-m3，其乘积值的非零区间，要求m同时满足下面两个不等式：0m3n-3mn因此，55卷积过程以及y(n)波形如图所示，y(n)用公式表示为n+10n3y(n)=7-n4n60其它56四、线性移不变系统的性质四、线性移不变系统的性质（1）交换律证明：证明：57利用上面已证明的结果，得到：利用上面已证明的结果，得到：交换求和号的次序，得到交换求和号的次序，得到:（2）结合律58（3）分配律）分配律证明：证明：59例1.2.5在下图中，h1(n)系统与h2(n)系统级联，设x(n)=u(n)h1(n)=(n)-(n-4)h2(n)=anu(n)，|a|1求系统的输出y(n)。60解：先求第一级的输出m(n)，再求y(n)。m(n)=x(n)*h1(n)=u(n)*(n)-(n-4)=u(n)*(n)-u(n)*(n-4)=u(n)-u(n-4)=R4(n)y(n)=m(n)*h2(n)=R4(n)*anu(n)=anu(n)*(n)+(n-1)+(n-2)+(n-3)=anu(n)+an-1u(n-1)+an-2u(n-2)+an-3u(n-3)61五、因果系统五、因果系统如果系统n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而和n时刻以后的输入序列无关，则称该系统具有因果性质，或称该系统为因果系统。如果n时刻的输出还取决于n时刻以后的输入序列，在时间上违背了因果性，系统无法实现，则系统被称为非因果系统。因此系统的因果性是指系统的可实现性。线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位抽样响应满足下式：h(n)=0，n0(1.19)62例例1.2.6：系统的单位抽样响应系统的单位抽样响应h(n)为：为：3nu(n)，判断系判断系统的因果性。统的因果性。n0时，时，u(n)=0，n0时，时，h(n)=0，所以系统为所以系统为因果系统。因果系统。例例1.2.7：判断系统判断系统Tx(n)=x(n-n0)的因果性。的因果性。当当n00时，如时，如n0=2，则，则y(n)=Tx(n)=x(n-2)，此时此时2时刻的时刻的输出由输出由0时刻的输入决定，即当前的输出由以前的输入决时刻的输入决定，即当前的输出由以前的输入决定，因此系统为因果系统。定，因此系统为因果系统。63BIBO：有界输入产生有界输出系统稳定的充分必要条件是系统的单位抽样响应绝对可和。用公式表示为:六、稳定系统六、稳定系统证明：证明：先证明充分性。64因为输入序列x(n)有界，即|x(n)|B,-n，B为任意常数因此如果系统的单位抽样响应h(n)满足(1-20)式，那么输出y(n)一定也是有界的，即|y(n)|输出有界，系统稳定。原条件是充分条件。65下面用反证法证明其必要性。已知系统稳定，假设 ，那么总可以找到一个或若干个有界的输入引起无界的输出，例如：即在n=0输出无界，这不符合稳定的条件，因而假设不成立。是系统稳定的必要条件。66例例1.2.8：设设线线性性时时不不变变系系统统的的单单位位取取样样响响应应h(n)=anu(n)，式中式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。是实常数，试分析该系统的因果稳定性。解解：由于：由于n0时，时，h(n)=0，所以系统是因果系统。所以系统是因果系统。只有当只有当|a|1时时，因此系统稳定的条件是|a|1；否则，|a|1时，系统不稳定。系统稳定时，h(n)的模值随n加大而减小，此时序列h(n)称为收敛序列。如果系统不稳定，h(n)的模值随n加大而增大，则称为发散序列。67例1.2.9：设系统的单位取样响应h(n)=u(n)，求对于任意输入序列x(n)的输出y(n)，并检验系统的因果性和稳定性。解：h(n)=u(n)因为当n-k0的方向递推，是一个因果解。但对于差分方程，其本身也可以向n0的方向递推，得到的是非因果解。因此差分方程本身并不能确定该系统是因果还是非因果系统，还需要用初始条件进行限制。下面就是向n0，求输出序列y(n)。解:y(n-1)=a-1(y(n)-(n)n=1时，y(0)=a-1(y(1)-(1)=0n=0时，y(-1)=a-1(y(0)-(0)=-a-1n=-1时，y(-2)=a-1(y(-1)-(-1)=-a-2n=n时，y(n-1)=-an-1u(-n)将n-1用n代替，得到y(n)=-anu(-n-1)76图图1.4.1 模拟信号数字处理框图模拟信号数字处理框图 1.6 1.6 连续时间信号的抽样连续时间信号的抽样 77对模拟信号进行抽样可以看作一个模拟信号通过一个电子开关S。设电子开关每隔周期T合上一次，每次合上的时间为T，在电子开关输出端得到其抽样信号。一、理想抽样一、理想抽样 问题：问题：信号被抽样后其频谱怎样变化？信号被抽样后其频谱怎样变化？从抽样信号中不失真地恢复出原来信号的条件是什么？从抽样信号中不失真地恢复出原来信号的条件是什么？78图1.4.2对模拟信号进行抽样实际抽样实际抽样理想抽样理想抽样79用一个周期冲激函数序列表示抽样序列：用一个周期冲激函数序列表示抽样序列：理想抽样后的输出：理想抽样后的输出：80 在在傅傅里里叶叶变变换换中中，两两信信号号在在时时域域相相乘乘的的傅傅里里叶叶变变换换等于两个信号分别的傅里叶变等于两个信号分别的傅里叶变换的卷积。换的卷积。连续时间信号的傅立叶变换为：连续时间信号的傅立叶变换为：理想抽样信号的傅立叶变换为：理想抽样信号的傅立叶变换为：周期冲激函数用傅立叶级数表示为：周期冲激函数用傅立叶级数表示为：则有：则有：81周期冲激函数用傅立叶级数表示：周期冲激函数用傅立叶级数表示：傅里叶级数的系数：傅里叶级数的系数：抽样角频率抽样角频率82周期冲激函数的频谱为：周期冲激函数的频谱为：83理想抽样信号的傅立叶变换为：理想抽样信号的傅立叶变换为：84抽样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴，每间隔抽样角频率s重复出现一次；或者说抽样信号的频谱是原模拟信号的频谱以s为周期进行周期性延拓而成的；频谱幅度是原信号频谱幅度的1/T倍。结论：结论：85图图1.4.3 抽样信号的频谱抽样信号的频谱 设xa(t)是限带信号（频谱有限带宽）c为截止频率，s/2称为折叠频率，当cs/2，则|Xa(j)|周期延拓后会产生混叠。86奈奎斯特抽样定理：奈奎斯特抽样定理：要使实信号抽样后能够不失真还原，抽样频率必须要使实信号抽样后能够不失真还原，抽样频率必须大于两倍信号谱的最高频率。大于两倍信号谱的最高频率。即：即：87二、抽样的恢复二、抽样的恢复 若满足抽样定理，则抽样后不会产生频谱混叠，因此若满足抽样定理，则抽样后不会产生频谱混叠，因此将抽样信号通过一个截止频率为将抽样信号通过一个截止频率为s理想低通滤波器后就可理想低通滤波器后就可以不失真地还原出原信号频谱，在输出端就能得到要恢复以不失真地还原出原信号频谱，在输出端就能得到要恢复的信号。的信号。做反变换后即可得原信号做反变换后即可得原信号xa(t)。理想低通滤波器的频率特性为：理想低通滤波器的频率特性为：抽样信号通过该滤波器后输出信号为：抽样信号通过该滤波器后输出信号为：88图1.4.5抽样恢复89抽样信号通过理想低通滤波器的响应过程抽样信号通过理想低通滤波器的响应过程理想低通滤波器的冲激响应为：理想低通滤波器的冲激响应为：90理想低通滤波器的输出理想低通滤波器的输出：输出输出=原信号抽样点的值与原信号抽样点的值与内插函数内插函数乘积的总和。乘积的总和。91内插函数的特性：内插函数的特性：在抽样点在抽样点在抽样点在抽样点mTmT上，其值为上，其值为上，其值为上，其值为1;1;其余抽样点上，其值为其余抽样点上，其值为其余抽样点上，其值为其余抽样点上，其值为0 0。92恢复信号：恢复信号：（1）在抽样点上，信号值不变；）在抽样点上，信号值不变；（2）抽样点之间的信号则由各抽样函数波形的延伸）抽样点之间的信号则由各抽样函数波形的延伸叠加而成。叠加而成。信号的抽样值信号的抽样值信号的抽样值信号的抽样值x xa a(mTmT)经内插函数得到连续信号经内插函数得到连续信号经内插函数得到连续信号经内插函数得到连续信号x xa a(t t)93三、实际抽样三、实际抽样实际上，抽样脉冲是具有一定的宽度的矩形周期脉冲：94实际抽样时，抽样信号的频谱：实际信号的频谱和理想抽样一样，抽样信号的频谱时连续信号频谱的周期延拓，只要满奈奎斯特抽样定理，不会产生频谱的混叠失真。不同在于：实际抽样的频谱分量的幅度有变化，其包络是随频率增加而逐渐下降的。9596由于包络的第一个零点出现在：由于T，因此包络的第一个零出现在k很大的地方。97