数学模型-第05章(第五版).ppt

第五章 微分方程模型描述描述随时间连续变化物体或过程随时间连续变化物体或过程的的动态变化动态变化规律规律.微分方程微分方程含自变量含自变量、未知函数及其导数的方程未知函数及其导数的方程.采用采用机理分析机理分析方法方法或或类比类比法法建立建立微分方程微分方程.物理领域物理领域工程技术工程技术,科学研究科学研究牛顿定律牛顿定律电路原理电路原理非物理领域非物理领域人口人口,经济经济,生态等生态等特特定定的的内在规律内在规律例例.火箭火箭发射发射由由燃料燃烧推力燃料燃烧推力发射发射的的火箭火箭加速度、速度加速度、速度、高度的微分方程高度的微分方程.例例.人口预测人口预测含人口数量及增长率的微分方程含人口数量及增长率的微分方程.第五章 微分方程模型5.1人口增长人口增长5.2药物中毒急救药物中毒急救5.3捕鱼捕鱼业的持续收获业的持续收获5.4资金资金、劳动力与经济、劳动力与经济增长增长5.5香烟香烟过滤嘴的过滤嘴的作用作用5.6火箭火箭发射发射升空升空5.7食饵食饵与捕食者模型与捕食者模型5.8赛跑赛跑的的速度速度5.9万有引力定律万有引力定律的的发现发现5.10传染病传染病模型和模型和SARS的的传播传播世界世界人口增长人口增长年年1625 1804192719601974198719992011人口人口(亿亿)510203040506070年年1949195319651982199020002010人口人口(亿亿)5.425.887.2510.1711.4312.6713.40人口人口翻番时间翻番时间123年年39年年中国中国人口增长人口增长老龄化提速老龄化提速,性别比性别比失调失调等凸显等凸显,开始开始调整人口政策调整人口政策.20世纪的一段时间世纪的一段时间内内人口增长人口增长速度过速度过快快.年净增人口年净增人口由由最多的最多的2000多万多万降到降到2011年年的的600多万多万.47年年5.1人口增长人口增长预测预测1953196519825.887.2510.173.模型检验模型检验和增长和增长预测预测年年17901800181018201830184018501860人口人口(百万百万)3.95.37.29.612.917.123.231.4增长率增长率/10年年 0.29490.31130.29860.29690.29070.30120.30820.2452年年18701880189019001910192019301940人口人口(百万百万)38.650.262.976.092.0105.7122.8131.7增长率增长率/10年年 0.24350.24200.20510.19140.16140.14570.10590.1059年年1950196019701980199020002010人口人口(百万百万)150.7179.3203.2226.5248.7281.4308.7增长率增长率/10年年 0.15790.14640.11610.10040.11040.1349建立数学模型描述人口发展规律建立数学模型描述人口发展规律，是，是制定制定积极、积极、稳妥人口稳妥人口政策的政策的前提前提.1.两个两个基本的基本的人口模型人口模型2.用用美国人口数据美国人口数据估计估计参数参数指数增长指数增长模型模型今年人口今年人口x0,年增长率年增长率r1.一个常用的人口预测公式一个常用的人口预测公式基本基本前提前提增长率增长率r在在k年内保持年内保持不变不变.根据人口统计数据根据人口统计数据估计增长率估计增长率由由x0,xk估计估计r.已知已知增长率增长率预测预测未来未来人口人口.k年年后人口后人口例例.从从1960年到年到1999年年(39年时间年时间)世界人口翻番世界人口翻番.该该期间期间的年平均增长率约为的年平均增长率约为 r=(log2)/39=1.8%为什么？为什么？单位单位时间人口时间人口增长率增长率为为常数常数r.t,x(t),按指数规律无限增长按指数规律无限增长.与常用与常用公式一致公式一致?马尔萨斯马尔萨斯1798年年提出提出?2.人口指数增长模型的建立人口指数增长模型的建立t时刻时刻人口人口数量为数量为连续连续、可微函数、可微函数x(t).单位单位时间内时间内x(t)的的增量增量为为rx(t)初始初始时刻时刻(t=0)的的人口为人口为x0假设假设模型模型解释解释3.指数增长模型的指数增长模型的参数估计参数估计(数据拟合数据拟合)方法一方法一直接直接用人口用人口数据数据和和线性线性最小二乘法最小二乘法.1790年年(t=0)至至2000年美国年美国人口数据人口数据=l =l 0MATLAB编程编程计算计算最小二乘法最小二乘法l=l 0+r=0.2743/10年，年，x0=4.18843.指数增长模型的指数增长模型的参数估计参数估计(数据拟合数据拟合)方法方法二二对对人口数据作人口数据作数值微分数值微分估计估计增长率增长率.设设x(t)在在t0,t1,tn(等等间距间距t)的的函数函数值值为为x0,x1,xn数值微分数值微分中点中点公式公式x0=3.9(原始数据原始数据)rk x(t)在各点在各点的导数近似值的导数近似值r=0.2052/10年年4.改进的指数增长模型改进的指数增长模型修改修改人口增长率人口增长率为常数的为常数的假设假设.10年增长率年增长率数据数据x0=3.9(原始数据原始数据)线性线性最小二乘法最小二乘法美国人口美国人口增长率增长率/10年年1800年r 0.32000年r 0.1r0=0.3252，r1=0.0114r(t)=r0r1t年年实际人口实际人口（百万）（百万）指数增长模型指数增长模型（估计估计方法方法一）一）指数增长模型指数增长模型（估计估计方法方法二）二）改进的指数改进的指数增长模型增长模型17903.96.03.93.918005.37.44.85.418107.29.15.97.318209.611.17.29.8183012.913.68.913.11960179.3187.6127.6188.31970203.2229.6156.7213.41980226.5281.0192.4239.11990248.7343.8236.2264.82000281.4420.8290.0290.0误差平方和误差平方和347422204811335.美国人口美国人口用用指数增长指数增长模型模型计算计算结果结果的的比较比较1960年以后年以后3个结果明显不同个结果明显不同5.美国人口美国人口用用指数增长指数增长模型模型计算计算结果结果的的比较比较改进的改进的指数模型指数模型指数模型指数模型(方法二方法二)指数模型指数模型(方法一方法一)200多年时间内假设多年时间内假设增长率为常数增长率为常数违背实际情况违背实际情况.用用指数模型指数模型计算的美国人口计算的美国人口与实际数据相差与实际数据相差很大很大.与与19世纪以前世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合欧洲一些地区人口统计数据吻合.适用于适用于19世纪后迁往世纪后迁往加拿大加拿大的欧洲移民后代的欧洲移民后代.可用可用于于短期短期而不能用于而不能用于较长期的较长期的人口预测人口预测.不符合不符合19世纪后世纪后多数地区多数地区人口增长规律人口增长规律.6.指数增长指数增长模型的应用及局限性模型的应用及局限性改进改进的指数模型的指数模型计算计算结果有所结果有所改善改善,但但它它未未反映增反映增长率下降长率下降的机理的机理,函数函数形式也不形式也不易易确定确定,不便不便于于应用应用.需需分析分析人口增长率人口增长率下降的下降的机理机理,修改假设修改假设建立新模型建立新模型.logistic模型模型1.模型建立模型建立人口增长到一定数量人口增长到一定数量后后增长率增长率下降下降的的原因原因资源、环境等因素对人口增长的资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用阻滞作用,且阻滞作用随且阻滞作用随人口增加人口增加而而变变大大.简单简单、便于便于应用的应用的线性函数线性函数r是是x的减函数的减函数系数系数a,b？内内禀禀(固有固有)增长率增长率r理论上理论上x=0时时的增长率的增长率.人口容量人口容量xm资源资源和和环境环境对对人口人口的的最大容量最大容量.r(0)=rr(xm)=01.模型建立模型建立r(0)=r,r(xm)=0 a=rb=r/xm=()(1-x/xm)资源资源和和环境阻滞人口增长环境阻滞人口增长rx人口人口自身增长自身增长dx/dtxOxmxm/2tx0 x增加先快后慢增加先快后慢xmx0 xm/2S形曲线形曲线渐近线渐近线拐点拐点1.模型建立模型建立tx0 xmx0 xm/2logistic曲线曲线可可分离变量方程分离变量方程logistic模型模型求解求解作作图图t1/22.参数估计参数估计方法方法一一数值微分数值微分计算增长率计算增长率,线性最小二乘线性最小二乘估计估计参数参数.最小二乘法最小二乘法r=0.2805/10年年模型模型x0=3.9(原始数据原始数据)xm=352.0548数值微分数值微分方法二方法二直接直接用数据用数据和和非线性非线性最小二乘最小二乘估计估计参数参数.2.参数估计参数估计模型模型年年实际人口实际人口（百万）（百万）logistic模型模型（方法一）（方法一）logistic模型模型（方法二）（方法二）17903.93.97.718005.35.19.518107.26.811.71980226.5245.8228.31990248.7265.4252.02000281.4282.4275.1误差平方和误差平方和2810.4458.2计算计算结结果比较果比较r=0.2155/10年年,x0=7.6962,xm=443.99312.参数估计参数估计logistic模型模型(方法二方法二)logistic模型模型(方法一方法一)指数模型指数模型（方法一）（方法一）指数模型指数模型（方法二）（方法二）改进的指数改进的指数模型模型logistic模型模型（方法一）（方法一）logistic模型模型（方法二）（方法二）347422204811332810458指数模型与指数模型与logistic模型模型计算计算结果结果比较比较(误差平方和误差平方和)对对1790年至年至2000年美国人口数据的年美国人口数据的拟合，拟合，logistic模型模型比指数增长模型有很大比指数增长模型有很大改善改善.非线性最非线性最小二小二乘乘结结果最好！果最好！模型检验和人口预测模型检验和人口预测上面上面表、图给表、图给出出的结果是的结果是利用利用1790年至年至2000年年美国人口美国人口数据数据估计的估计的参数参数代入模型代入模型计算计算得到得到的的.这些这些结果与结果与同期实际同期实际数据数据比较比较虽虽能反映能反映模型模型与与数据数据的的拟合拟合程度程度,但但不是不是真正意义上的真正意义上的模型模型检验检验.在估计在估计指数模型和指数模型和logistic模型参数模型参数时未时未用用2010年年的美国人口的美国人口，留下留下这个实际这个实际数据数据用用于于模型检验模型检验.模型检验和人口预测模型检验和人口预测实际人口实际人口（百万）（百万）指数模型指数模型(方法一方法一)指数模型指数模型(方法二方法二)改进的指改进的指数模型数模型logistic模型模型（方法一）（方法一）logistic模型模型（方法二）（方法二）2010年年308.7515.0356.0314.0296.8297.0误差误差66.8%15.3%1.7%-3.9%-3.8%2020年年？327.8326.82010年实际年实际人口人口加入重估参数加入重估参数预测预测2020年年人口人口.用用1790年至年至2000年美国年美国人口估计参数人口估计参数代入代入模型模型,计算计算2010年人口年人口与实际值比较作为与实际值比较作为模型模型检验检验.预测准确性预测准确性需等需等2020年美国人口调查年美国人口调查结果公布结果公布.拭目拭目以待以待模型模型检验的检验的误差在误差在5%以内以内，可以接受，可以接受.logistic模型的广泛应用模型的广泛应用logistic模型模型欧洲欧洲生物数学家生物数学家Verhulst19世纪提出世纪提出，中译名中译名为为逻辑逻辑斯谛斯谛.经济、社会领域中经济、社会领域中的应用的应用耐用消费品销售量、耐用消费品销售量、消息传播范围的消息传播范围的变化规律变化规律.生态、医疗领域中的应用生态、医疗领域中的应用鱼塘中鱼群数量、鱼塘中鱼群数量、森林中树木数量、传染病传播人数的变化规律森林中树木数量、传染病传播人数的变化规律.模型模型假设假设是建模是建模的的关键之一关键之一.“增长率增长率随人口增随人口增加而线性加而线性减少减少”是是logistic模型模型的的合理合理、简化假设简化假设.参数估计参数估计是建模的重要是建模的重要步骤步骤,最小二乘法最小二乘法是参是参数估计的基本数估计的基本方法方法.模型模型检验检验对对建模是不可缺少的建模是不可缺少的.用作用作检验的数检验的数据不据不应应用于用于建模建模过程的过程的参数估计参数估计,正像正像裁判员裁判员不不能能做做运动员运动员一样一样.小结与评注小结与评注场景场景两位家长带着孩子急匆匆来到医院急诊室两位家长带着孩子急匆匆来到医院急诊室.诉说两小时前孩子一次误吞下诉说两小时前孩子一次误吞下11片片治疗哮喘病、剂量治疗哮喘病、剂量100mg/片片的氨茶碱片，已出现呕吐、头晕等不良症状的氨茶碱片，已出现呕吐、头晕等不良症状.按照按照药品说明氨茶碱药品说明氨茶碱的每次用量成人是的每次用量成人是100200mg，儿童儿童是是23mg/kg(按按3040kg计计,约约100mg).过量服用可使血药浓度过量服用可使血药浓度(单位血液容积中的药量单位血液容积中的药量)过高，过高，100g/ml浓度会出现浓度会出现严重中毒严重中毒,200g/ml浓度可致命浓度可致命.医生需要判断：孩子的血药浓度会不会达到医生需要判断：孩子的血药浓度会不会达到100200g/ml；如果会达到，应采取怎样的；如果会达到，应采取怎样的紧急施救紧急施救方案方案.5.2药物中毒急救药物中毒急救调查与分析调查与分析转移率转移率正比于正比于x排除率排除率正比于正比于y胃肠道胃肠道血液系统血液系统口服药物口服药物体外体外认为血液系统内药物的分布，即血药浓度是均匀的，认为血液系统内药物的分布，即血药浓度是均匀的，可以将血液系统看作一个房室，建立可以将血液系统看作一个房室，建立“一室模型一室模型”.药量药量x(t)药量药量y(t)血液系统对药物的吸收率血液系统对药物的吸收率(胃肠道到血液系统的转移胃肠道到血液系统的转移率率)和排除率可以由和排除率可以由半衰期半衰期确定确定.半衰期半衰期可以从药品说明书上查到可以从药品说明书上查到.通常，通常，血液总量约为人体体重的血液总量约为人体体重的7%8%，体，体重重5060kg的成年人有的成年人有4000ml左右的血液左右的血液.目测这个孩子的体重约为成年人的一半，可认目测这个孩子的体重约为成年人的一半，可认为其血液总量约为为其血液总量约为2000ml.调查与分析调查与分析血药浓度血药浓度=药量药量/血液总量血液总量口服活性炭口服活性炭来吸附药物，可使药物的来吸附药物，可使药物的排除排除率率增加增加到原来（人体自身）的到原来（人体自身）的2倍倍.临床施救的临床施救的办法办法体外血液透析体外血液透析，药物排除率可增加到原来，药物排除率可增加到原来的的6倍，但是安全性不能得到充分保证倍，但是安全性不能得到充分保证.模型假设模型假设 1.胃肠道胃肠道中药物向血液的中药物向血液的转移率与转移率与x(t)成正比成正比,比例系数比例系数(0)，总剂量，总剂量1100mg药物在药物在t=0瞬间进入胃肠道瞬间进入胃肠道.2.血液系统中药物的血液系统中药物的排除率与排除率与y(t)成正比成正比，比例，比例系数系数(0)，t=0时血液中无药物时血液中无药物.3.氨茶碱被吸收的半衰期为氨茶碱被吸收的半衰期为5h，排除的半衰期为，排除的半衰期为6h.4.孩子的血液总量为孩子的血液总量为2000ml.胃肠道中药量胃肠道中药量x(t),血液系统中药量血液系统中药量y(t)，时间，时间t以以孩子误服药的时刻为起点（孩子误服药的时刻为起点（t=0）.模型建立模型建立x(t)下降速度与下降速度与x(t)成正比成正比(比例系数比例系数),总剂量总剂量1100mg药药物在物在t=0瞬间进入胃肠道瞬间进入胃肠道.转移率转移率正比于正比于x排除率排除率正比于正比于y胃肠道胃肠道血液系统血液系统口服药物口服药物体外体外药量药量x(t)药量药量y(t)y(t)由吸收而增长的速度是由吸收而增长的速度是x，由排除而减少的速度，由排除而减少的速度与与y(t)成正比成正比(比例系数比例系数),t=0时血液中无药物时血液中无药物.模型模型求解求解 药物吸收的半衰期为药物吸收的半衰期为5h药物排除的半衰期为药物排除的半衰期为6h只考虑血液对药物的排除只考虑血液对药物的排除血液总量血液总量2000ml血药浓度血药浓度200g/ml结果及分析结果及分析 胃肠道药量胃肠道药量血液系统药量血液系统药量血药浓度血药浓度100g/mly(t)=200mg严重中毒严重中毒y(t)=400mg致命致命t=1.62t=4.87t=7.89y=442孩子到达医院前已严重中毒，如不及时施救，孩子到达医院前已严重中毒，如不及时施救，约约3h3h后将致命！后将致命！y(2)=236.5施救方案施救方案 口服活性炭使药物排除率口服活性炭使药物排除率增至原来的增至原来的2倍倍.孩子到达医院孩子到达医院(t=2)就开始施救，血液中药量记作就开始施救，血液中药量记作z(t)=0.1386(不变)，=0.11552=0.2310 施救方案施救方案 t=5.26z=318施救后血液中药量施救后血液中药量z(t)显著低于显著低于y(t).z(t)最大值低于最大值低于致命水平致命水平.要使要使z(t)在施救后在施救后立即下降，可算出立即下降，可算出至少应为至少应为0.4885.若采用体外血液透析，若采用体外血液透析，可增至可增至0.11556=0.693，血，血液中药量下降更快；临床上是否需要采取这种办法，液中药量下降更快；临床上是否需要采取这种办法，当由医生综合考虑并征求病人家属意见后确定当由医生综合考虑并征求病人家属意见后确定.小结与评注小结与评注“转移转移率和排除率和排除率率与与血药浓度血药浓度成正比成正比”是药物是药物动力学建立动力学建立房室模型房室模型的基本假设的基本假设.假定整个血液假定整个血液系统的系统的血药浓度均匀血药浓度均匀（用一个时间（用一个时间函数表示），建立最简单的函数表示），建立最简单的一室模型一室模型，用一阶微，用一阶微分方程即可求解分方程即可求解.以药物中毒急救为背景，研究药物通过胃肠向以药物中毒急救为背景，研究药物通过胃肠向血液系统的血液系统的转移转移，以及从血液以及从血液系统系统的的排除排除.再生资源（渔业、林业等）与再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等）非再生资源（矿业等）.再生资源应适度开发再生资源应适度开发在持续稳产在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益前提下实现最大产量或最佳效益.问题问题及及 分析分析在在捕捞量稳定捕捞量稳定的条件下，如何控制的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳捕捞使产量最大或效益最佳?如果使捕捞量等于自然增长量，如果使捕捞量等于自然增长量，渔场渔场鱼量将保持不变鱼量将保持不变，则捕捞量稳定，则捕捞量稳定.背景背景5.3捕鱼捕鱼业的持续收获业的持续收获产量模型产量模型假设假设无捕捞时鱼的自然增长服从无捕捞时鱼的自然增长服从Logistic规律规律.单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比.建模建模有捕捞情况下有捕捞情况下渔场鱼量满足渔场鱼量满足不需要求解不需要求解x(t),只需知道只需知道x(t)稳定的条件稳定的条件.r固有增长率固有增长率,N最大鱼量最大鱼量h(x)=Ex,E捕捞强度捕捞强度x(t)渔场鱼量渔场鱼量产量模型产量模型平衡点平衡点稳定性判断稳定性判断x0稳定稳定,可得到稳定产量可得到稳定产量x1稳定稳定,渔场干枯渔场干枯E捕捞强度捕捞强度r固有增长率固有增长率产量模型产量模型在捕捞量稳定的条件下，在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使控制捕捞强度使产量产量最大最大.图解法图解法P的横坐标的横坐标x0平衡点平衡点y=rxhPx0yOy=h(x)=ExxNy=f(x)P的纵坐标的纵坐标h产量产量产量最大产量最大f与与h交点交点Phmx0*=N/2P*y=E*x控制渔场鱼量为最大鱼量的一半控制渔场鱼量为最大鱼量的一半效益模型效益模型假设假设鱼销售价格鱼销售价格p单位捕捞强度费用单位捕捞强度费用c单位时间利润单位时间利润在捕捞量稳定的条件下，控制在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使捕捞强度使效益效益最大最大.稳定平衡点稳定平衡点求求E使使R(E)最大最大渔场渔场鱼量鱼量收入收入T=ph(x)=pEx支出支出S=cEEsS(E)T(E)OrE捕捞捕捞过度过度封闭式捕捞封闭式捕捞追求利润追求利润R(E)最大最大开放式捕捞开放式捕捞只求利润只求利润R(E)0R(E)=0时的捕捞强度时的捕捞强度Es=2ER临界强度下的渔场鱼量临界强度下的渔场鱼量ERE*令令=0 xs由成本由成本价格比决定价格比决定捕捞过度捕捞过度临界强度临界强度捕捞捕捞过度过度T(E)OrES(E)Es2Es1S(E)pNEE*pNE/2收入收入支出支出利润利润临界强度临界强度Es=0经济学捕捞过度经济学捕捞过度生态学捕捞过度生态学捕捞过度小结小结在自然增长和捕捞情况的合理假设下建模在自然增长和捕捞情况的合理假设下建模.用平衡点稳定性分析确定渔场鱼量稳定条用平衡点稳定性分析确定渔场鱼量稳定条件件,讨论讨论产量、效益和捕捞过度产量、效益和捕捞过度3个模型个模型.增加生产增加生产发展经济发展经济增加投资增加投资 增加劳动力增加劳动力 提高技术提高技术建立产值与资金、劳动力之间的关系建立产值与资金、劳动力之间的关系.研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大.调节资金与劳动力的增长率，使经济调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率生产率)增长增长.1）Douglas生产函数生产函数产值产值Q(t)F为待定函数为待定函数资金资金K(t)劳动力劳动力L(t)技术技术f(t)=f0(常数常数)5.4经济经济增长模型增长模型模型假设模型假设静态模型静态模型每个劳动力每个劳动力的产值的产值每个劳动力每个劳动力的投资的投资z随着随着y的增加而增长，但增长速度递减的增加而增长，但增长速度递减yg(y)O1）Douglas生产函数生产函数解释含义？解释含义？Douglas生产函数生产函数产值产值Q,资金资金K,劳动力劳动力L,技术技术f0 资金在产值中的份额资金在产值中的份额1-劳动力在产值中的份额劳动力在产值中的份额更一般更一般的的Douglas生产函数生产函数1）Douglas生产函数生产函数单位资金创造的产值单位资金创造的产值单位劳动力创造的产值单位劳动力创造的产值w,r,K/L 求资金与劳动力的分配比例求资金与劳动力的分配比例K/L(每个每个劳动力占有的资金劳动力占有的资金)，使效益，使效益S最大最大.资金和劳动力创造的效益资金和劳动力创造的效益资金来自贷款，利率资金来自贷款，利率r劳动力付工资劳动力付工资w2）资金与劳动力的最佳分配（静态模型）资金与劳动力的最佳分配（静态模型）3)经济经济(生产率生产率)增长的条件增长的条件(动态模型动态模型)要使要使Q(t)或或Z(t)=Q(t)/L(t)增长增长,K(t),L(t)应满足的条件应满足的条件模型模型假设假设投资增长率与产值成正比投资增长率与产值成正比(用一定比例扩大再生产用一定比例扩大再生产)劳动力相对增长率为常数劳动力相对增长率为常数Bernoulli方程方程3)经济增长的条件经济增长的条件产值产值Q(t)增长增长dQ/dt03)经济增长的条件经济增长的条件 劳动力相对增长率劳动力相对增长率每个劳动力的产值每个劳动力的产值Z(t)=Q(t)/L(t)增长增长dZ/dt03)经济增长的条件经济增长的条件劳动力增长率小于初始投资增长率劳动力增长率小于初始投资增长率小结与评注小结与评注资金与劳动力的最佳资金与劳动力的最佳分配分配是利用是利用Douglas生产函生产函数建立的一个静态模型数建立的一个静态模型.经济经济(生产率生产率)增长的增长的条件条件是利用是利用Douglas生产函数生产函数建立的一个建立的一个动态模型，虽然微分方程的推导过程动态模型，虽然微分方程的推导过程稍繁，但稍繁，但结果简明结果简明，并且可以给出，并且可以给出合理解释合理解释.Douglas生产函数是生产函数是计量经济学计量经济学中重要的数学中重要的数学模型，这里给出其建模过程及参数的含义模型，这里给出其建模过程及参数的含义.过滤嘴的作用过滤嘴的作用与它的与它的材料材料和和长度长度有什么关系有什么关系?人体吸入的人体吸入的毒物量毒物量与哪些因素有关，与哪些因素有关，其中其中 什么什么因素影响大，什么因素影响小因素影响大，什么因素影响小?模型模型分析分析 分析吸烟时毒物进入人体的过程，分析吸烟时毒物进入人体的过程，建立建立 吸烟吸烟过程的数学模型过程的数学模型.设想一个设想一个“机器人机器人”在典型环境下吸烟在典型环境下吸烟，吸烟吸烟方式和外部环境在整个过程中不变方式和外部环境在整个过程中不变.问题问题5.5香烟香烟过滤嘴的作用过滤嘴的作用模型模型假设假设定性分析定性分析1）l1烟草长，烟草长，l2过滤嘴长，过滤嘴长，l=l1+l2，毒物量毒物量M均匀分布均匀分布，密度，密度w0=M/l1.2）点燃处毒物随烟雾）点燃处毒物随烟雾进入空气进入空气和和沿香烟穿沿香烟穿行行的数量比是的数量比是a:a,a+a=1.3）未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的）未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的毒物的毒物的(单位时间单位时间)吸收率吸收率分别是分别是b和和.4）烟雾沿香烟）烟雾沿香烟穿行速度穿行速度是常数是常数v，香烟燃，香烟燃烧速度是常数烧速度是常数u，vu.Q吸一支烟毒物进入人体吸一支烟毒物进入人体总量总量模模型型建建立立Ot=0,x=0，点燃香烟，点燃香烟q(x,t)毒物流量毒物流量w(x,t)毒物密度毒物密度1)求求q(x,0)=q(x)流量守恒流量守恒t时刻，香烟燃至时刻，香烟燃至x=ut1)求求q(x,0)=q(x)2)求求q(l,t)3)求求w(ut,t)考察考察 t内毒物密度的增量内毒物密度的增量(单位长度烟雾毒物被吸收部分单位长度烟雾毒物被吸收部分)4)计算计算QQ吸一支烟毒物进入人体总量吸一支烟毒物进入人体总量结果结果分析分析烟草烟草为什么有作用为什么有作用?1）Q与与a,M成正比，成正比，aM是毒物集中在是毒物集中在x=l处的吸入量处的吸入量2)过滤嘴因素，过滤嘴因素，,l2负指数负指数作用作用是毒物集中在是毒物集中在x=l1处的吸入量处的吸入量3）(r)烟草的吸收作烟草的吸收作用用b,l1线性线性作用作用带过滤嘴带过滤嘴不带过滤嘴不带过滤嘴结果结果分析分析4)与另一支不带过滤嘴的香烟比较，与另一支不带过滤嘴的香烟比较，w0,b,a,v,l均相同，吸至均相同，吸至x=l1扔掉扔掉.提高提高-b与加长与加长l2，效果相同，效果相同.小结与评注小结与评注在基本在基本合理的简化假设合理的简化假设下，用精确的数学下，用精确的数学工具工具解决解决一个看来一个看来不易下手的实际问题不易下手的实际问题.引入两个基本函数：引入两个基本函数：流量流量q(x,t)和和密度密度w(x,t)，运用运用物理学的物理学的守恒定律守恒定律建立微分方程，建立微分方程，构造构造动态模型动态模型.对求解结果进行定性和定量分析，得到对求解结果进行定性和定量分析，得到合乎合乎实际实际的结论的结论.火箭火箭垂直垂直地面地面发射发射,以以很很短距离短距离穿越大气层穿越大气层,尽量尽量减少减少空气阻力空气阻力.三级火箭三级火箭接力助推接力助推,把把燃料耗尽燃料耗尽的火箭结构的火箭结构残骸残骸一一一一丢弃丢弃.建立单建立单级小型火箭发射、上升过程的级小型火箭发射、上升过程的数学模型数学模型.讨论讨论提高火箭上升高度的提高火箭上升高度的办法办法.加大加大燃料推力燃料推力、减轻火箭质量减轻火箭质量,得到得到尽可能大的尽可能大的有效载荷有效载荷.5.6火箭火箭发射发射单级小型火箭的发射单级小型火箭的发射火箭垂直于地面发射、上升的过程：火箭垂直于地面发射、上升的过程：垂直向上发射垂直向上发射后后燃料燃料以一定的速率以一定的速率燃烧燃烧,火焰火焰向后喷射，对火箭产生向后喷射，对火箭产生向前的向前的推力推力.克服克服地球引力和地球引力和空气阻力空气阻力,推动推动火箭火箭加速加速飞行飞行,燃料燃料燃尽后火箭依靠获得的速度燃尽后火箭依靠获得的速度继续继续上升上升.在引力和阻力的作用在引力和阻力的作用下下火箭火箭速度速度逐渐逐渐减小减小,直到直到速度速度为为零零,火箭达到最高点火箭达到最高点.空气的空气的阻力阻力单级小型火箭的发射单级小型火箭的发射火箭发射火箭发射、上升过程上升过程的的基本基本规律规律牛顿第二定律牛顿第二定律.空气阻力随着火箭速度的增加而变空气阻力随着火箭速度的增加而变大大.阻力阻力与与速度之间速度之间的数量的数量关系关系不易确定不易确定.？火箭在运动中火箭在运动中受到受到的力：的力：燃料燃烧的燃料燃烧的推力推力地球地球的的引力引力 1.不不考虑空气阻力的简单模型考虑空气阻力的简单模型问题与假设问题与假设火箭垂直火箭垂直地面发射地面发射,燃料燃烧燃料燃烧速率速率r=18(kg/s),产产生生推力推力F=27000(N),燃尽燃尽后火箭后火箭继续升继续升至至最高点最高点.火箭火箭初始初始质量质量m0=1600(kg),包括包括m1=1080(kg)燃料燃料.地球引力地球引力不变不变,重力加速度重力加速度g=9.8(m/s2)给给出燃料燃尽时火箭的高度、速度和加速度出燃料燃尽时火箭的高度、速度和加速度，及，及火箭到达火箭到达最高点最高点的的时间时间和和高度高度.建立火箭上升建立火箭上升高度高度、速度速度和和加速度加速度的数学模型的数学模型.模型建立模型建立1.不不考虑空气阻力的简单模型考虑空气阻力的简单模型火箭火箭t=0时从地面时从地面x=0发射发射.x(t)火箭高度火箭高度速度速度加加速度速度m(t)火箭质量火箭质量m(t)=m0 rt燃料燃烧速率燃料燃烧速率rt1燃料燃料燃尽燃尽的时间的时间t1=m1/rt1以后火箭质量保持为以后火箭质量保持为m0 m1t2火箭火箭到达到达最高点最高点的的时间时间火箭火箭初始初始质量质量m0燃料燃料质量质量m1模型建立模型建立1.不不考虑空气阻力的简单模型考虑空气阻力的简单模型重力重力m(t)g燃料燃尽燃料燃尽后后t1tt2火箭火箭t=0,x=0,零速度零速度发射发射.燃料燃料燃烧阶段燃烧阶段0tt1,t1=m1/r质量质量m(t)=m0 rt推力推力F质量质量m=m0 m1重力重力(m0 m1)g模型模型求解求解1.不不考虑空气阻力的简单模型考虑空气阻力的简单模型速度速度v(t)=加加速度速度a(t)=积分积分,v(0)=0积分积分,x(0)=0燃料燃料燃烧阶段燃烧阶段0tt1a(t1)v(t1)x(t1)模型模型求解求解1.不不考虑空气阻力的简单模型考虑空气阻力的简单模型燃料燃尽燃料燃尽后后积分积分,v(t1)积分积分,x(t1)t1tt2v(t2)=0t2x(t2)模型模型求解求解1.不不考虑空气阻力的简单模型考虑空气阻力的简单模型t1=60s,x(t1)=2.3656 104m,v(t1)=1098m/s,a(t1)=42.12m/s2.m0=1600(kg),m1=1080(kg),r=18(kg/s),F=27000(N),g=9.8(m/s2)t2=172s,x(t2)=8.5155 104m.数据代入数据代入模型模型计算计算a(t)v(t)x(t)t1t1t12.考虑考虑空气阻力的模型空气阻力的模型知识知识和和经验经验低速低速时阻力与速度时阻力与速度成正比成正比,高高速速时阻力与时阻力与速度平方速度平方或或三三次方次方成正比成正比.燃料燃尽燃料燃尽后后t10P:临界状态临界状态q0P不稳定不稳定tx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24063.96510.200022.56493.94050.300023.97633.92695.10009.616216.72355.20009.017316.20649.500018.47504.04479.600019.61363.99689.700020.83113.9587用用MATLAB求求微分方程数值解微分方程数值解t相相轨线轨线yx计算结果（数值，图形）计算结果（数值，图形）x(t),y(t)是周期函数，相图是周期函数，相图(x,y)是封闭曲是封闭曲线线观察，猜测观察，猜测x(t),y(t)的周期约为的周期约为9.6xmax 65.5,xmin 6,ymax 20.5,ymin 3.9用数值积分可算出用数值积分可算出x(t),y(t)一周期的平均值：一周期的平均值：x(t)的平均值约为的平均值约为25,y(t)的平均值约为的平均值约为10.食饵食饵与与捕食者捕食者模型模型(Volterra)消去消去dt用相轨线分析用相轨线分析点稳定点稳定性性c由初始条件确定由初始条件确定取指数取指数x0fmf(x)xOg(y)gmy0yO在相平面上讨论相轨线的图形在相平面上讨论相轨线的图形用相轨线分析用相轨线分析点稳定点稳定性性相轨线相轨线时无相轨线时无相轨线以下设以下设y2y1xQ3Q4qy1y2x1x2pyy0 xx0POx1x2Q1Q2Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)Q3(x,y1),Q4(x,y2)相轨线相轨线退化为退化为P点点 存在x1x0 x2,使f(x1)=f(x2)=p存在y1y0y2,使g(y1)=g(y2)=q相轨线是封闭曲线族相轨线是封闭曲线族xQ3Q4f(x)xx0fmOg(y)gmy0yO相轨线相轨线P中心中心x是是x1,x2内任意点内任意点相轨线相轨线是封闭曲线是封闭曲线x(t),y(t)是周期函数是周期函数(周期记周期记T)求求x(t),y(t)在一周期的平均值在一周期的平均值轨线轨线中心中心用相轨线分析用相轨线分析点稳定点稳定性性T2T3T4T1PT1T2T3T4x(t)的的“相位相位”领先领先y(t)模型解释模型解释初值初值相轨线的方向相轨线的方向模型解释模型解释r食饵增长率食饵增长率d捕食者死亡率捕食者死亡率b食饵供养捕食者能力食饵供养捕食者能力捕食者捕食者 数量数量食饵食饵数量数量Pr/ad/ba捕食者掠取食饵能力捕食者掠取食饵能力捕食者数量与捕食者数量与r成正比成正比,与与a成反比成反比食饵食饵数量与数量与d成正比成正比,与与b成反比成反比模型模型解释解释一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但是其中但是其中鲨鱼的比例却在增加，为什么？鲨鱼的比例却在增加，为什么？rr-1,dd+1捕捞捕捞战时战时捕捞捕捞rr-2,dd+2,211-1/iOt 1di/dt1,i01,i(t)先增后减先增后减 s(0)1,i(t)单调减少单调减少传染病蔓延传染病蔓延传染病传染病不不蔓延蔓延一般情况下一般情况下s(0)1,控制蔓延控制蔓延需要需要 1.SARS的的传播模型传播模型2003年年SARS爆发爆发初期初期，处于，处于几乎不受制约的几乎不受制约的自然传播自然传播形式形式，后期后期的的传播传播则则受到受到严格控制严格控制。越越复杂的模型包含的参数越多，为确定这些复杂的模型包含的参数越多，为确定这些参数所需要的疫情数据就越全面，而实际上参数所需要的疫情数据就越全