2019.5昌平数学二模文科试题及答案.doc

昌平区2019年高三年级第二次统一练习
数学试卷(文科) 2019.5
本试卷共5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案作答在答题卡上，在试卷上作答无效．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
（1）已知集合，集合，则
(A) (B) (C) (D)
（2）已知复数（为虚数单位，为实数）在复平面内对应的点位于第二象限，则复数的虚部可以是
(A) (B) (C) (D)
开始
a =2,i=1
i ≤ 8

i=i+1
结束
输出a
否
是

（3）已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的的值是
(A)
(B)
(C)
(D)

（4）已知实数，则“”是“”的
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
（5）在平行四边形中，，，则
(A) (B) (C) (D)

（6）若满足 且的最小值为，则实数的值为
(A) (B) (C) (D)
（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为
(A)
(B)
(C)
(D)

（8） 一次数学竞赛，共有道选择题，规定每道题答对得分，不答得分，答错倒扣分．一个由若干名学生组成的学习小组参加了这次竞赛，这个小组的人数与总得分情况为
(A) 当小组的总得分为偶数时，则小组人数一定为奇数
(B) 当小组的总得分为奇数时，则小组人数一定为偶数
(C) 小组的总得分一定为偶数，与小组人数无关
(D) 小组的总得分一定为奇数，与小组人数无关

第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
（9）已知幂函数（是实数）的图象经过点，则的值为 .
（10）为了落实“回天计划”，政府准备在回龙观、天通苑地区各建一所体育文化公园. 针对公园中的体育设施需求，某社区采用分层抽样的方法对于岁至岁的居民进行了调查. 已知该社区岁至岁的居民有人，岁至岁的居民有人，岁至岁的居民有人．若从岁至岁的居民中随机抽取了人，则这次抽样调查抽取的总人数是 ．
(11) 能说明“设为实数，若，则直线与圆相切”为假命题的一组的值依次为___________.

（12）等差数列满足，则_____;若则______时，的前项和取得最大值．
（13）已知双曲线，若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则抛物线的方程为_________________.
（14）已知函数的最小正周期为，且对任意的实数都成立，则的值为_____;的最大值为__________．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
（15）（本小题13分）
在等差数列中，，且.
（I）求等差数列的通项公式；
（II）设各项均为正数的等比数列满足，，求数列的前项和.

（16）（本小题13分）
在中，，，.
（I）求的大小；
（II）若为边上一点，，求的长度.

（17）（本小题13分）
某学校为了解学生的体质健康状况，对高一、高二两个年级的学生进行了体质测试 . 现从两个年级学生中各随机选取人，将他们的测试数据，用茎叶图表示如下：

《国家学生体质健康标准》的等级标准如下表. 规定：测试数据≥，体质健康为合格.
等级
优秀
良好
及格
不及格
测试数据

（I）从该校高二年级学生中随机选取一名学生，试估计这名学生体质健康合格的概率；
（II）从两个年级等级为优秀的样本中各随机选取一名学生，求选取的两名学生的测试数据平均数大于的概率；
（III）设该校高一学生测试数据的平均数和方差分别为，高二学生测试数据的平均数和方差分别为，试估计、的大小 . （只需写出结论）

（18）（本小题14分）
如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面
平面，，，，
为中点．
（I）求证：平面；
（II）求证：平面；
（III）求三棱锥的体积.

（19）（本小题13分）
已知椭圆的离心率为，经过点.设椭圆的右顶点为，过原点的直线与椭圆交于两点（点在第一象限），且与线段交于点.
（I）求椭圆的标准方程；
（II）是否存在直线，使得的面积是的面积的倍？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.

（20）(本小题14分)
已知函数.
（I） 若曲线在点处的切线与轴平行，求的值；
（II）若在处取得极大值，求的取值范围；
（III） 当时，若函数有个零点，求的取值范围.（只需写出结论）

昌平区2019年高三年级第二次统一练习
数学试卷(文科)参考答案
一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分)
题号
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
答案
A
D
A
B
C
B
D
C
二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)
(9) (10) (11) (答案不唯一)
(12) ; (13) (14)
三、解答题(共6小题，共80分)
(15)（共13分）
解：（Ⅰ）设数列的公差为，由已知，
解得，所以. ….5分
（Ⅱ）设数列的公比为，由已知，解得或（舍），
所以，所以 .

….13分

(16)（共13分）
解： （Ⅰ）在中， 由正弦定理得，
所以.
因为，所以,所以. ….6分
（Ⅱ）在中, .
在中，由余弦定理，
得，即，
解得，或. 经检验，都符合题意. ….13分
(17)（共13分）
解：（I）高二年级学生样本中合格的学生数为：，
样本中学生体质健康合格的频率为.
所以从该校高二年级学生中随机选取一名学生，估计这名学生体质健康合格的概率为.
….4分
(II) 设等级为优秀的样本中高一年级测试数据是的学生分别为高二年级测试数据是的学生分别为选取的两名学生构成的基本事件空间为，总数为，
选取的测试数据平均数大于95的两名学生构成的基本事件空间为，总数为，
所以从两个年级等级为优秀的样本中各随机选取一名学生，选取的两名学生的测试数据平均数大于95的概率为. ….9分
（III）. ….13分

(18)（共14分）
证明：（I）连结交于点，连结.
因为底面是矩形,
所以为中点.
又因为为中点, 所以.
因为,
所以平面. ….4分
　　(II) 因为底面为矩形, 所以.
又因为,
　,
　所以.
　因为,所以.
因为
所以，即.
因为平面，
所以平面. ….9分

　（III）因为底面是矩形,
所以.
因为平面，平面，
所以平面.
由（II）得，平面，
所以.
所以三棱锥的体积为. ….14分
(19)（共13分）
解：（I）由题意可知：，解得.
所以椭圆的标准方程为. ….5分
（Ⅱ）设，则，易知，.
若使的面积是的面积的倍，只需使得，
即，即.
由，，所以直线的方程为.
点在线段上，所以，整理得，①
因为点在椭圆上，所以，②
把①式代入②式可得，因为判别式小于零，该方程无解.
所以，不存在直线，使得的面积是的面积的倍. ….13分
(20) (共14分)
解：函数的定义域为.
.
（Ⅰ）因为曲线在点处的切线与轴平行，
所以，解得.
此时，所以的值为. ….5分
（Ⅱ）因为,
① 若，，
则当时，所以；
当时，所以.
所以在处取得极大值.
② 若，，
则当时，
所以.
所以不是的极大值点 .
综上可知，的取值范围为. ….10分
（Ⅲ）. ….14分

9