必修五第三章不等式学案.doc

(word完整版)必修五第三章不等式学案
3.1不等关系与不等式（一)
【教学目标】1．了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。
2．会比较两个实数的大小，掌握不等式的基本性质
【重、难点】比较两个数的大小的方法
【基础知识】
一．不等式：用 的式子叫不等式，不等号包括: .
二.实数比较大小的运算性质:
设，则 ;
三．不等式的基本性质:
性质
性质内容
注意
对称性

传递性

可加性

可乘性

的符号

同向可加性

同向同正可乘性

可乘方性

同正
可开方性

(拓展)倒数法则： ;
(同号即可，而不要求均大于0）。
四。使用不等式性质时应注意的问题:
1.在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式”才可相加,“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中“的符号"等也需要注意．
2．作差法是比较两数（式)大小的常用方法,也是证明不等式的基本方法．要注意强化化归意识，同时注意函数性质在比较大小中的作用．
【方法技巧】比较大小的常用方法
(1)作差法： 一般步骤是:①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时,有时也可以先平方再作差．
（2)作商法： 一般步骤是:①作商；②变形；③判断商与1的大小;④结论．
(3）特值法： 若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题,可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．
【特别提醒】用作商法时要注意商式中分母的正负,否则极易得出相反的结论．
知识点一　 不等式的性质及运用
例1（1）　a、b、c为实数，判断下列语句是否正确．
(1) 若a〉b，则ac<bc; （2）若ac2〉bc2，则a>b; （3）若a〈b<0，则a2>ab>b2；
(4）若c〉a>b〉0，则>; (5）若a>b,>，则a>0，b<0.
（2)若，，则下列结论：①；②；
③；④中成立的个数是 （　　)
A． B． C． D．

总结　在不等式的各性质中,乘法的性质极易出错，即在不等式两边同乘或除以一个数时，必须要确定该数是正数、负数或零,否则结论就不确定．
知识点二　利用不等式的性质求取值范围
例2　（1）已知且，则的取值范围是________．

（2）已知,则的取值范围是________； 的取值范围是________．

(2)已知，，则的取值范围是

3。1不等关系与不等式（二）
一．选择题
1．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是（　　）
A.〈 B．a2〉b2 C。〉 D．a｜c|>b|c|
2．已知a、b为非零实数，且a〈b，则下列不等式正确的是(　　)
A．a2〈b2 B．a2b〈ab2 C。< D.<
3．已知a1、a2∈（0，1）．记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　）
A．M〈N B．M>N C．M＝N D．不确定
4．若a〉0且a≠1，M＝loga（a3＋1），N＝loga(a2＋1），则M,N的大小关系为(　　)
A．M<N B．M≤N C．M〉N D．M≥N
5．若a〉b>c且a＋b＋c＝0,则下列不等式中正确的是（　　）
A．ab>ac B．ac>bc C．a｜b｜>c｜b| D．a2〉b2〉c2
6.设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7.已知，记，则的大小关系是(　　）
A． B． C． D．不能确定
8。已知三个不等式：，， (其中均为实数)，用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（　　) A． B． C． D．
9。爬山是一种简单有趣的野外活动,有益于身体健康,但要注意安全,准备好必需物品，控制速度.现有甲，乙两人相约爬山,若甲上山的速度为,下山（原路返回)的速度为，乙上下山的速度都是(两人中途不停歇）,则甲,乙两人上下山所用的时间的关系为（ ）
A。 B。 C. D。不能确定
10若,,则的取值范围是（　　）
A． B． C． 　　 D．
11。设,且，则( ）
A． B． C． D．

二．填空题
12．若,则不等式①；②；③；④ 总能成立的是________．
13。 定义，已知,，,则 ________.(结果用表示)
14。 设满足约束条件 ,则的最大值为______。
15．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围是________．
16．若x∈R，则与的大小关系为________．
17．设n〉1，n∈N,A＝－，B＝－,则A与B的大小关系为________．
三、解答题

18．设a〉b〉0,试比较与的大小．

3.2 一元二次不等式及其解法（1）
【学习目标】
1。了解一元二次不等式的实际背景；
2。理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系;
3。 掌握一元二次不等式的解法；
【重、难点】
1．一元二次不等式及其解法；
2．一元二次不等式、一元二次方程及二次函数的联系；
【新课导入】
【预习提纲】
（根据以下提纲，预习教材第76页~第78页）
1.认真阅读教材引例，归纳出一元二次不等式的概念。
2.可以看做一元二次不等式的条件 。
3.根据二次函数、一元二次方程、一元二次不等式间的关系完成下表：

二次函数

（）的图象

一元二次方程

无实根

4。解一元二次不等式的步骤：
① 将二次项系数化为“+":A=〉0（或<0)（a〉0）
② 计算判别式，分析不等式的解的情况：
ⅰ.〉0时，求根〈,
ⅱ.=0时，求根＝＝，
ⅲ。〈0时,方程无解，
③ 写出解集。
【典型例题】
例1下面哪些不等式是一元二次不等式？(其中、、、为常数）.
⑴； ⑵； ⑶;⑷；

变式训练1：判断下列不等式哪些是一元二次不等式:
⑴；⑵；⑶;

例2 求不等式的解集。

变式训练2:求不等式的解集.

例3不等式的解为，则 ，不等式的解为 。
变式训练3：二次方程的两根为，，，那么
的解集为（ ）。
（A） （B）
（C） （D）
【作业】
1. 下列不等式:①；②；③；④;
⑤；⑥.其中是一元二次不等式的有( )个。
（A） (B） (C） （D）

2。不等式的解集为（ ）。
(A） （B） （C） （D）

3.已知,则的取值范围是（ )。
（A） （B）R （C） (D）

4。已知二次不等式的解集为,则的值为（ ）.
（A） （B)
（C） （D)

5.若关于的不等式的解集为，则实数的取值是( ）.
(A） （B) （C） （D）

6．若集合，则 .

7。函数的定义域是 。

8.方程有两个实根，则实数的取值范围是 .

9.不等式的解集是，试确定的值.

10.求函数的定义域。

3.2 一元二次不等式及其解法(2）
【学习目标】
1。进一步熟悉一元二次不等式的解法；
2。理解“三个二次”之间的关系；
3。一元二次不等式的实际应用;
【重、难点】
1．一元二次不等式的解法；
2．一元二次不等式的应用；
3.一元二次不等式、一元二次方程及二次函数的联系;
【新课导入】
（根据以下提纲，预习教材第 78 页～第79页)
1。当时，如何解一元二次不等式

2.若一元二次不等式的解集为则可以判断 ，方程的根分别为 .

3.在例3中是如何构造二次不等式的?

4。在例四中，为什么对的取值进行限制?你从中得到的启发是什么？

5。如何解决一元二次不等式的应用？

基础练习
1。在下列不等式中，解集是的是（ ）。
(A) （B）
（C） （D）
2.一元二次不等式的解集是全体实数的条件是（ )。
(A） （B） （C） (D）
3.不等式的解集为（ ).
(A) （B)
（C） （D）
4。二次函数在时的取值范围是 。
【典型例题】
例1某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度 km/h有如下的关系：

在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到km/）.

变式训练1:一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量(辆）与创造的价值（元）之间有如下的关系：

若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？

例3 已知关于的不等式的解集为，其中,则
不等式的解集为（ )。
（A） (B） (C） （D）

变式训练2：已知不等式的解集为，求的解集。

【作业】
1.函数的定义域是( ）.
（A） （B)
(C) (D)
2.已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ）。
（A） (B） （C） (D)
3.若的定义域为R,则实数的取值范围是( ）。
（A） (B） （C) (D)
4.已知集合，,则集合（ ）。
（A） （B） （C） （D）
5。不等式的解集为（ ）。
（A） （B)
(C) （D）
6。已知结合，且，则实数的取值范围为（ ）.
（A） (B） （C） （D）
7.函数的定义域是 。
8.已知不等式的解集为，则不等式的解集为 .
9．用一根长为的绳子围成一个面积大于的矩形吗？当长、宽分别为多少米时,所围成的矩形的面积最大？

3。3.1 二元一次不等式组与平面区域（B）
【学习目标】
1。从实际情境中抽象出二元一次不等式组。
2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。
【重、难点】
1。从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
2。截距模型及应用问题
【新课导入】
（预习教材P82— P86，找出疑惑之处）
1．二元一次不等式（组)表示的平面区域
(1）［试点法]
判断不等式Ax＋By＋C〉0所表示的平面区域，可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧的半平面内选取一个特殊点，如选原点或坐标轴上的点来验证Ax＋By＋C的正负．当C≠0时,常选用原点（0,0)．
(2）［B>0判断法］
对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C〉0（或〈0），无论B为正值还是负值,我们都可以把y项的系数变形为正数，当B〉0时，
①Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0________的区域；
②Ax＋By＋C〈0表示直线Ax＋By＋C＝0________的区域．
2。画不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域时，其边界直线应为虚线；画不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域时，边界直线应为实线．画二元一次不等式表示的平面区域，常用的方法是:直线定“界”、原点定“域”．
【典型例题】　画出不等式组表示的平面区域
例1　画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：
(1）指出x，y的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点?

例2。要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
规格类型

钢板类型
A规格
B规格
C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3
今需要三种规格的成品分别为12块、15块、27块,用数学关系式和图形表示上述要求。

【课后反思】
1．在直角坐标系xOy内，已知直线l：Ax＋By＋C＝0与点P（x0，y0)，当B>0时，代（x0,y0），入若Ax0＋By0＋C>0，则点P在直线l上方，若Ax0＋By0＋C〈0,则点P在直线l下方．2．在直线l：Ax＋By＋C＝0外任意取两点P（x1，y1)、Q(x2，y2），若P、Q在直线l的同一侧，则Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C同号；若P、Q在直线l异侧,则Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C异号，这个规律可概括为“同侧同号，异侧异号”．

【作业】
1．在平面直角坐标系中，若点（－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方，则t的取值范围是______________．
2．若点(3，1)和(－4，6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧,则实数a的取值范围是________．
3．在平面直角坐标系xOy中,已知平面区域A＝{（x，y)｜x＋y≤1，且x≥0，y≥0｝，则平面区域B＝｛（x＋y，x－y）｜(x，y)∈A}的面积为________．
4．不等式（x－2y＋1)（x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域（用阴影部分表示)应是________(填序号)．

5．设不等式组表示的平面区域为M，若函数y＝k(x＋1）＋1的图象经过区域M,则实数k的取值范围是____________．
6、在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是
7、已知关于x,y的不等式组所表示的平面区域的面积为4,则k的值为 ．
3。3.2简单的线性规划问题(B)

【学习目标】
1. 了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；
2. 了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
【重、难点】
1. 培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想.
2.用图解法解决简单的线性规划问题,准确求得线性规划问题的最优解.

【新课导入】
(预习教材P87— P91，找出疑惑之处）
1.．线性规划的有关概念
(1)线性约束条件——由条件列出一次不等式(或方程)组．
(2）线性目标函数——由条件列出一次函数表达式．
（3)线性规划问题:求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题．
（4)可行解:满足____________的解(x,y)．
（5)可行域：所有________组成的集合．
（6)最优解：使____________取得最大值或最小值的可行解．
2．利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是：
(1)在平面直角坐标系内作出可行域．（2）作出目标函数的等值线．
(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数等值线,从而确定__________．
【典型例题】　在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，如：
某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
（1）用不等式组表示问题中的限制条件:
设甲、乙两种产品分别生产、件，由已知条件可得二元一次不等式组：

（2）画出不等式组所表示的平面区域：

【课后反思】
1．求解目标函数不是直线形式的最值的思维程序是：
→→→
2。寻找整点最优解的方法：1. 平移找解法：先打网格，描整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应用于充分利用非整点最优解的信息,结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值,经比较求最优解。
2. 调整优值法:先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛先出整点最优解。
3. 由于作图有误差，有时仅由图形不一定就能准确而迅速地找到最优解，此时可将数个可能解逐一检验即可见分晓.
【作业】
1．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M(x,y）为D上的动点，点A的坐标为(，1），则z＝x＋y的最大值为______________．
2．设变量x,y满足｜x|＋|y|≤1,则x＋2y的最大值和最小值分别为________．
3．设不等式组表示的平面区域为D。若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点,则a的取值范围是________．
4．已知实数x、y同时满足以下三个条件：①x－y＋2≤0；②x≥1；③x＋y－7≤0，
则的取值范围是______________．
3。4 基本不等式（一）
【学习目标】1、学会推导不等式,理解不等式的几何意义。
2、知道算术平均数、几何平均数的概念
重点：基本不等式的推导及应用。难点：理解“当且仅当时取等号” 的意义。
【课前导学】请阅《必修5》后完成下面问题：

A B
D C
1、如图所示是我国古代数学家赵爽设计的弦图.在北京召开的24届国际数学家大会上被选为会标。设小直角三角形的两条直角边为、，则大正方形的边长为 ，大正方形的面积为 ,四个直角三角形的面积和为 .于是有>4 〉 。当中间的小正方形缩成一点,
即其面积S=______时,有S____4S， _____。
2、（1)一般地,对任意实数、有,当且仅当 时，
等号成立.请在下面给予证明。

（2)特别地若〉0、〉0，当用、分别代替、可得+≥2，常写成≤，当且仅当 时等号成立。阅读课本98页完成证明并完成课本的填空。
E
A O C B
D
R

, ， , 。
此不等式还有别的证法吗？请课后尝试一下.
3、如图，阅读课本98页的探究，圆的半径OD=______。
易知R△ACD∽R△DCB，得CD=________。由图知OD≥CD ，即_______.
我们把叫正数、的算术平均数(也是、的等差中项)，两正数、的几何平均数(也是、的正的等比中项)，于是此不等式的几何意义即为______________________________________________________.

4、 判断正误:(1）+1≥2 ( ）； （2)≥2 （ ）；(3）≥2 （ ）；
(4）≥2 ( ）；(5）≤(） ( ）。

【典例探究】 例1、若>0，求=的最小值及此时的值。

变式：若〈0，求=的最大值。

例2:（1）用篱笆围一个面积为36的矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少所用篱笆最短?最短为多少？
（2)一段长为100m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少面积最大？最大为多少？

总结：两个实数(1）若它们的积为定值，则它们的和有最 值，当且仅当成立。
（2）若它们的和为定值，则它们的和有最 值，当且仅当。

3。4 基本不等式（二）
【学习目标】1.进一步掌握用基本不等式求函数的最值问题；2.审清题意，综合运用函数关系、不等式知识解决一些实际问题． 
【重点难点】能利用基本不等式求出函数的最值，注意基本不等式的运用条件
【课前导学】阅读教材
1、重要不等式：若，则 。（当且仅当 时取“="号）
基本不等式：若，则 。（当且仅当 时取“=”号）
也可变形：，，等。
2、已知都是正数,若（积为定值），则 ；若（和为定值）,则 ，（当且仅当成立）.概括为 。
3、利用基本不等式求最值的条件是 .
4、已知，则有最 值,且此最值为 .
5、已知，且，则有最大值 。
【课内探究】
例1、已知，求函数的最小值。若呢？

变式:（1）已知,求函数的最大值.
（2）已知，且，求函数的最小值。
例2、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800深为4.如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为150元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价为多少元?

5、某工厂拟建一座平面图为矩形,面积为200的三级污水处理池（平面图如下图)。 如果池四周墙的建造单价为400元/，中间两道隔墙的建造单价为248元/，池底的建造单价为80元/，水池所有墙的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长、宽,使总造价最低，并求出最低造价.