非稳态导热.ppt

第一第一节 非非稳态导热的基本概念的基本概念一、一、分分类 物体的温度随时间而变化的导热过程叫非稳态导热。根据物体的温度随时间而变化的特征可分为两类：周期性非稳态导热 非周期性非稳态导热（又称为瞬态导热）二、非周期性非二、非周期性非稳态导热（瞬（瞬态导热）指物体温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值。1.1.举例例说明其明其过程特点：程特点：以采暖设备给室内供热为例，分析墙内各点温度及热流密度的变化情况。1.1.已知：已知：a.墙外tf2始终保持不变；b.初始时刻，室内空气温度tf1/、墙体各点温度tw1/、ta/、tb/、tc/、tw2/均稳定；c.供暖设备工作后，室内空气因热容小温度很快上升到tf1/并保持稳定。2.2.问：墙内各点温度及热流密度如何变化？非稳态导热1.第一第一节 非非稳态导热的基本概念的基本概念 3.3.墙内各内各处温度的温度的变化：化：a.开始，因为tf1的上升内墙表面温度直线上升，靠近内墙的墙体温度上升，而此时，a、b、c及外墙在短促时间内可认为不发生变化；b.随着时间的推移，a、b、c处的温度分别自a、b、c时刻后开始上升；c.外墙tw2自0时刻后开始上升；d.当各点t上升至“/”状态后，室内对内墙的对流换热量等于外墙的换热量，即达到新的稳态阶段。二、非周期性非二、非周期性非稳态导热（瞬（瞬态导热）1.1.举例例说明其明其过程特点：程特点：txabctf1/tw1/ta/tb/tc/tw2/tf2tf1/ta/tb/tc/tw2/tw1/2.第一第一节 非非稳态导热的基本概念的基本概念二、非周期性非二、非周期性非稳态导热（瞬（瞬态导热）1.1.举例例说明其明其过程特点：程特点：3.3.墙内各内各处温度的温度的变化：化：0abc0tw1/ta/tb/tc/tw2/tw1/ta/tb/tc/tw2/tw1tatbtctw2由tf1/升至tf1/所需时间3.第一第一节 非非稳态导热的基本概念的基本概念4.4.墙内外表面内外表面热流密度的流密度的变化：化：a.内墙表面开始时，因温差大，q1呈直线上升（图中AB段），由于tw1先快后慢地上升，导致q1也先快后慢地下降，直至q/不变，达到新的稳态阶段；b.外墙表面开始因tw2未变，故先保持不变（图中AD段），后来由于tw2先快后慢地上升，导致q2也先快后慢地上升，直至q/不变，达到新的稳态阶段。5.5.图中阴影面中阴影面积：墙体热力学能的增加（蓄热）。二、非周期性非二、非周期性非稳态导热（瞬（瞬态导热）1.1.举例例说明其明其过程特点：程特点：q1内墙吸热量q2外墙放热量q/ABCDq/q004.第一第一节 非非稳态导热的基本概念的基本概念二、非周期性非二、非周期性非稳态导热（瞬（瞬态导热）2.2.物体非物体非稳态导热过程的温度分布可分程的温度分布可分为两种两种类型型非正非正规状况状况阶段：段：在初始阶段，物体内各点的温度主要受初始温度的控制，随时间变化率是不一样的，即各点的t/均不相同，且无规则；正正规状况状况阶段：段：一定时间后，初始温度的影响逐渐消失，物体的温度主要受热边界条件的影响，t/虽不一定相同，但有一定的规律可循。一般，物体的整个非稳态导热过程主要处于正规状况阶段，其温度分布是我们主要讨论内容。5.第一第一节 非非稳态导热的基本概念的基本概念3、非、非稳态导热的基本特点的基本特点.，这意味着任何非稳态导热过程必然伴随着加热 或冷却过程。.在非稳态导热过程中，热量传递方向上的不同位置的导热量是不同的。.非稳态导热过程数学描写：数学上可以证明其解t=f(x,y,z，）是唯一的。6.第一第一节 非非稳态导热的基本概念的基本概念4、非、非稳态导热的三种情形的三种情形 设一块厚2的金属平板，初始温度为 ，突然将它置于温度为 的流体中冷却，表面换热系数为h，平板的导热系数为。根据平板的导热热阻与表面对流换热热阻的相对大小，其温度分布有三种情形。P116图3-4 即 见图3-4a，由于表面换热热阻可以忽略，一开始平板表面温度就被冷却到 ，随着时间的推移，平板内各点的温度逐渐下降而趋近于 。即 见图3-4b，由于平板导热热阻可以忽略，任一时刻各点的温度一致，即t=f(),并随时间的推移整体下降，逐渐趋近于 。当两种热阻的数值比较接近，即Bi 为有限值时，其温度分布见图3-4c。7.第二第二节 集中参数法集中参数法一、集中参数法的一、集中参数法的实质：当Bi0.1时，可忽略物体内部导热热阻而认为其内部温度场均匀一致，此时的温度为 而与空间坐标无关。此简化分析方法称为集中（总）参数法。因为物体的温度与空间坐标无关，故集总参数法容易处理形状不规则的物体。二、数学描写：二、数学描写：已知：任意形状物体，、c、体积V，参加换热的全表面积A，流体tf、h，初始时t|=0=t0，即0=t0-tf，且有Bi 0.1。如下图：据热平衡关系式（冷却时）：物体在单位时间放出的能量=对流换热量 即：-cVd/d=hA tfhA8.第二第二节 集中参数法集中参数法三、求解：三、求解：对方程进行分离变量有：积分上式（由0积至，由0积至）得：即：温度温度场：指数式中 为毕渥数，称为傅里叶数，其中特征长度为 ,对平板取半厚，对圆柱和球体取半径。9.第二第二节 集中参数法集中参数法 故温度分布为：=0e-BiFo 或：=0exp（-BiFo）导热量：量：导热物体在时刻的瞬时热流量为：物体自0时刻到时刻与流体交换的总热量为：10.第二第二节 集中参数法集中参数法四、四、时间常数：常数：当采用集中参数法分析导热物体时，其过于温度随时间成指数曲线变化，见图3-5.指数 称为时间常数 。当 时，即物体的过于温度已经降低到初始过于温度值的36.8。热电偶测定流体温度时，其时间常数说明了热电偶对流体温度变化响应快慢的指标。时间常数越小，热电偶越能迅速反映出流体温度的变动。五、傅里叶数的物理意五、傅里叶数的物理意义：傅里叶数的物理意义可以理解为两个时间间隔相除所得的无量纲时间，表示非稳态过程进行的深度。11.第三第三节 典型一典型一维物体非物体非稳态导热一、无限大平板非一、无限大平板非稳态导热1.1.已知：已知：壁厚2，平壁的导热系数为，导温系数为，平壁t|=0=t0，冷热流体温度为tf，两侧对流换热系数为h。2.2.解：解：以平壁被冷却为例。完整的数学描述完整的数学描述 tx-x-otftf=0 t=t01212.第三第三节 典型一典型一维物体非物体非稳态导热一、无限大平板非一、无限大平板非稳态导热2.2.解：解：引入引入过余温度：余温度：（x x，）=t=t（x x，）-t-tf f 上述微分方程则可改写成如下形式：13.第三第三节 典型一典型一维物体非物体非稳态导热一、无限大平板非一、无限大平板非稳态导热2.2.解：解：解微分方程（采用分离解微分方程（采用分离变量法）：量法）：假定：（x，）=X（x）（）将代入并整理得：若令上式等于某一正数2，式左侧积分后有：上式说明，当时，=X 而实际上要温差是不可能的，故式取正数不合实际，只能取负数，且可写成如下形式：14.第三第三节 典型一典型一维物体非物体非稳态导热一、无限大平板非一、无限大平板非稳态导热2.2.解：解：解微分方程解微分方程 式的通解可分别写为：X=Bcos（x）+Csin（x）将代入式，即得微分方程的通解为：利用式即对称性边界条件有：上式中：若A=0 =0，若=0，则、X均等于一常数，因此实际上两者均不可能等于0，故只有：C=0，将此结果代入式，且令D=AB，则得符合对称性条件的通解为：15.第三第三节 典型一典型一维物体非物体非稳态导热一、无限大平板非一、无限大平板非稳态导热2.2.解：解：解微分方程解微分方程 再用式即边界条件来求待定数。将代入得：整理得：=hctg（）也可写成：上式中：为书写方便，令=，只要求出即可得，另上式左侧的分母即为毕渥准则数 Bi=h/上式可写为：/Bi=ctg 式为一特征方程（超越方程），其解理论上有无穷多个，如图3-4所示，为 y1=/Bi 与 y2=ctg 间的交点，其具体数值如P57表3-1所示。于是也有无穷多个解1=1/、2=2/、3=3/、n=n/即：=F（Bi）16.第三第三节 典型一典型一维物体非物体非稳态导热一、无限大平板非一、无限大平板非稳态导热2.2.解：解：解微分方程解微分方程 于是，在给定Bi条件下，将对应的1、2、n代入式，即得一组温度分布：1（x,）=D1cos（1x）exp（-12）2（x,）=D2cos（2x）exp（-22）n（x,）=Dncos（nx）exp（-n2）注意：上式中D1、Dn均为任意值，且上述特解仅满足边界条件和对称性条件，不满足初始条件式。将式进行叠加，即得（x,）满足的通解为：17.第三第三节 典型一典型一维物体非物体非稳态导热一、无限大平板非一、无限大平板非稳态导热2.2.解：解：解微分方程解微分方程 据初始条件，=0，=0，代入式有：将上式两边同乘 cos（mx/）且在0 x内积分有：其中m为自然数1、2、3、m。上式中右边各项当nm时，据三角函数的正交性有：于是右边只剩下n=m项，式变成：18.第三第三节 典型一典型一维物体非物体非稳态导热一、无限大平板非一、无限大平板非稳态导热2.2.解：解：解微分方程解微分方程 因Dn为常数，故上式可写成：我们以不同的m值代入方程，即可得出不同的Dn值，如将m=1代入，则得D1，m=2，得D2，直至m=n，得Dn。将Dn代入方程，即得温度分布为：19.第三第三节 典型一典型一维物体非物体非稳态导热一、无限大平板非一、无限大平板非稳态导热2.2.解：解：温度分布的分析：温度分布的分析：a.据/Bi=ctg知：实际上n是Bi的函数，即n=F（Bi）；b.令：Fo=/2，为一无因次数，其大小反映了时间对非稳态导热过程的影响，常称为傳里叶准则数。c.从上述分析知，式实际上是一个以三个无因次量Fo、Bi、x/为自变量的函数，即：（x,x,）/0 0=f=f（FoFo、BiBi、x/x/）每平方米平壁在每平方米平壁在 时刻的放刻的放热量量 式中：0=c20：指每平方米平壁从温度t0冷即到tf时的放热量。从式上中不难看出：/0 0=f=f（BiBi、FoFo）20.第三第三节 典型一典型一维物体非物体非稳态导热二、二、诺谟图法：法：工程计算时常将上述分析解的结果制成线算图，称诺谟图 或海斯勒图，即图3-7,8,9等。其主要依据为：（x,）/0=f（Fo、Bi、x/）/0=f（Bi、Fo）1.1.求某求某时刻某刻某处温度温度时的方法步的方法步骤：a.先算Bi，再求出1/Bi；b.算出Fo；c.由1/Bi、Fo的值，查图3-7，得m/0值，算出m，m为时刻平壁中心（即x=0处）的过余温度；d.计算x/，且据1/Bi查图3-8得/m，此时即可算出。2.2.求求 时刻放刻放热量量时的方法步的方法步骤：a.分别求Bi、Fo后，再求出Bi2Fo；b.计算0=c20；c.据图3-9，查得/0，即可得。3.3.使用范使用范围：此法只适用于Fo0.2（即正常情况阶段）。对于Fo0.2（即不规则情况阶段）情况只能用分析解法。21.第三第三节 典型一典型一维物体非物体非稳态导热三、傅里叶准三、傅里叶准则数数FoFo对温度分布的影响温度分布的影响1.Fo1.Fo大小与温度分布大小与温度分布间的关系的关系 傳里叶准则数Fo=/2，是非稳态导热的无因次时间。据式中的 可知：随着Fo，（x,）将呈指数形式衰减，也即随着Fo，无穷级数（x,）将很快收敛。对于一般形状物体，当Fo0.2时，工程中只取（x,）级数的第一项，其计算结果已足够精确，于是式变为：将上式两边同取对数有：22.第三第三节 典型一典型一维物体非物体非稳态导热三、傅里叶准三、傅里叶准则数数FoFo对温度分布的影响温度分布的影响1.Fo1.Fo大小与温度分布大小与温度分布间的关系的关系 ln=-m+k（Bi，x/）上式说明：当Fo0.2时，温度分布函数的对数与经历的时间成-直线关系。若令*/2=0.2，即*=0.22/，当*时，非稳态导热进入第二阶段：正常情况阶段（如下图）。23.lnoln0 x/=0即平壁中心处x/=1即平壁外表面处*m24.第三第三节 典型一典型一维物体非物体非稳态导热三、傅里叶准三、傅里叶准则数数FoFo对温度分布的影响温度分布的影响2.2.冷却率（或称加冷却率（或称加热率）率）将式两边对时间求导，则有：/：过余温度对时间的变化率；（/）/：过余温度对时间的相对变化率。它反映了过余温度对时间的相对变化率。当Fo0.2后，可知冷却率m与时间、空间位置x等无关，仅与物体的物性参数、形状大小尺寸及表面边界条件有关，据此，利用非稳态导热正常情况阶段的特点，可对其物质的物性进行测定。25.第三第三节 典型一典型一维物体非物体非稳态导热 上式说明：任何时刻壁面温度分布的切线都通过坐标为（/Bi+），tf的点o/，此点称为定向点。当Bi，/Bi0，定向点将收缩至平壁的外表面；当Bi0，/Bi，定向点将在无穷远处，此时平壁内温度分布为一簇直线。四、四、毕渥准渥准则数数BiBi对温度分布的影响温度分布的影响 毕渥准则数 Bi=h/：表示物体内部导热热阻/与物体表面对流换热热阻1/h的相对大小（比值）。对于第三类边界条件方程式可改写成：tx-x-otftf=0 t=t012o/o/Bi|x=26.第三第三节 典型一典型一维物体非物体非稳态导热六、几种不同方法的六、几种不同方法的选用用1.先计算Bi值（计算时注意采用正确的定型尺寸L），看是否Bi0.1，若Bi0.1，则应用集总参数法；2.当Bi0.1，且Fo0.2时，工程计算时多用诺谟图法；3.当Bi0.1，且Fo0.2时，且分析解法在数学上可解时，可用此法，且此时无论Bi、Fo为何值，理论上说均可用此法求解，但十分繁锁；4.无论Bi、Fo为何值，均可用数值解法进行近似计算，且理论上来说可达到任意精度（计算机的容量允许的话）。27.第四第四节 半无限大物体的瞬半无限大物体的瞬态导热一、半无限大物体的定一、半无限大物体的定义：在三维空间中，以无限大平面（如x-y、x-z、y-z平面）为界面，沿z、y、x方向伸展至无穷远的物体，为一理想的半无限大物体。但现实中，大地即可看作是一半无限大物体。二、二、现实现象及需解决的象及需解决的实际问题 地下建筑物建成后，投入使用前预热问题常出现以下情况：1.1.已知热流密度q，求需多长时间，才使壁面温度从初始温度t0升至规定温度tw；2.2.规定经历时间，且使壁面温度从初始温度t0升至规定温度tw，求需要多大热流密度q的加热设备；3.3.规定经历时间，同时加热设备现存，即q已知，验算壁面温度从初始温度t0能否升至规定温度tw。28.第四第四节 半无限大物体的瞬半无限大物体的瞬态导热三、已知第二三、已知第二类边界条件界条件时半无限大物体数学描述半无限大物体数学描述 令过余温度=t-t0，t0为初始时刻壁面温度，则有：29.第四第四节 半无限大物体的瞬半无限大物体的瞬态导热四、分析解四、分析解 解上述微分方程组，即得此时的温度分布：ierfc（u）为高斯误差补函数的一次积分，可表示为：上式中erfc（u）为高斯误差补函数，它等于：erf（u）为高斯误差函数。高斯误差补函数的一次积分的数值可由附录14查得。30.第四第四节 半无限大物体的瞬半无限大物体的瞬态导热五、分析解的五、分析解的讨论1.1.当量厚度当量厚度 e e：令温度分布函数中的x=0（壁面处）时有：比照稳态无限大平壁的热流密度表达式：q=（tw1-tw2）/（/）我们可发现qw中 相当于q中的，因此我们将它称为半无限大物体的当量厚度，即：上式表明：随着物体导温系数的提高和时间的发展，热影响就越深入，即e就越大。因室内空气温度较易测量，式中的tw常用tf替代，则有：于是，可据tf、计算所需的设备qw，也可据qw计算到达指定室温时所需的预热时间等。31.第四第四节 半无限大物体的瞬半无限大物体的瞬态导热 如图，在1、2、3时刻外界的热影响只到达半无限大物体的（1）、（2）、（3）处。不难理解：在实际工程中，对一个有限厚度的物体，在时刻，若渗透厚度（）e。五、分析解的五、分析解的讨论2.2.渗透厚度渗透厚度（）：反映时刻半无限大物体热影响的深度。tx（1）（2）（3）321to32.第四第四节 半无限大物体的瞬半无限大物体的瞬态导热五、分析解的五、分析解的讨论3.3.、c c、的影响：的影响：据表面温度tw与qw的关系：我们可以知道：由于工程上我们感兴趣的是tw或tf，故、c、越小，则达到相同的tw或tf时所需的加热或冷却设备qw也越小，即设备的额定功率可选择越小，如此，设备的初始投资和运行费用就越低，经济效益就越高。、c、越小，且在现有设备情况下，预热（冷）所需的时间也越短。若一味追求很小、c、数值的建筑材料，可能因材料的昂贵而得不偿失。33.第四第四节 半无限大物体的瞬半无限大物体的瞬态导热六、六、实际应用用 当实际上遇到半无限大物体的加热（或冷却）问题时，应注意到：若预热时间长些，则达到tf时所需的加热设备的功率qw可选小些而节约初始投资；若要达tf时，要求预热时间短，以便房间能迅速投入使用，则必须选用大功率的设备，耗费资金则较多。总之：要兼顾设备的经济合理性及房间投入使用的缓急性等，综合考虑热负荷设备的选取。通过此节的分析与讨论，我们就可以完满地解决本节刚开始（二）所提出的问题。34.