资源描述
§10.3 二项式定理
1．二项式定理
________________________________________________________________________
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(k＝0,1,2，…，n)叫做____________．式中的______________叫做二项展开式的________，用Tk＋1表示，即展开式的第________项；Tk＋1＝____________.
2．二项展开式形式上的特点
(1)项数为________．
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为________．
(3)字母a按________排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按________排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从________，C，一直到C，________.
3．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“__________”的两个二项式系数相等，即C＝C.
(2)增减性与最大值：二项式系数C，当k<________时，二项式系数是递增的；当k>________时，二项式系数是递减的．
当n是偶数时，________________取得最大值．
当n是奇数时，中间两项____________和____________相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和
(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，；_________________________＝2n.
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即________________________＝________________________＝__________.
[难点正本 疑点清源]
1．二项式的项数与项
(1)二项式的展开式共有n＋1项，Can－kbk是第k＋1项．即k＋1是项数，Can－kbk是项．
(2)通项是Tk＋1＝Can－kbk (k＝0,1,2，…，n)．其中含有Tk＋1，a，b，n，k五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．
2．二项式系数与展开式项的系数的异同
在Tk＋1＝Can－kbk中，C就是该项的二项式系数，它与a，b的值无关；Tk＋1项的系数指化简后除字母以外的数，如a＝2x，b＝3y，Tk＋1＝C2n－k·3kxn－kyk，其中C2n－k3k就是Tk＋1项的系数．
1．(x－2y)7的展开式中第3项的二项式系数是________．
2．(2011·广东)x7的展开式中，x4的系数是________．(用数字作答)
3．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为________．
4．(2011·山东)若(x－)6展开式的常数项为60，则常数a的值为________．
5．若n展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x3的项的系数为 ( )
A．－5 B．5 C．－405 D．405
题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数
例1 在二项式n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系数最大的项．
探究提高 求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．
已知在n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
题型二 二项式系数和或各项的系数和的问题
例2 在(2x－3y)10的展开式中，求：
(1)二项式系数的和；
(2)各项系数的和；
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
(4)奇数项系数和与偶数项系数和；
(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．
探究提高 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m (a、b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n (a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
已知等式(x2＋2x＋2)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，其中ai(i＝0,1,2，…，10)为实常数．
求：(1)an的值；(2)nan的值．
题型三 二项式定理的应用
例3 (1)求证：1＋2＋22＋…＋25n－1 (n∈N*)能被31整除；
(2)求S＝C127＋C227＋…＋C2727除以9的余数．
探究提高 利用二项式定理解决整除问题时，基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．因此，一般将被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开，此时常用“配凑法”、“消去法”结合有关整除知识来处理．
求证：
(1)32n＋2－8n－9能被64整除(n∈N*)；
(2)3n>(n＋2)·2n－1 (n∈N*，n>2)．
12.混淆二项展开式的项与项数
以及二项式系数与项的系数致误
试题：(12分)已知(－)n (n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.
(1)求展开式中各项系数的和；
(2)求展开式中含x的项；
(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．
学生错解展示
审题视角 (1)审条件，构建关于n的方程求n.
(2)审要求，可利用“赋值法”求各项系数之和；利用通项公式确定含x的项数；确定系数最大的项数和二项式系数最大项的项数，再求项．
规范解答
解 由题意知，第五项系数为C4n·(－2)4，
第三项的系数为C2n·(－2)2，则有＝，
化简得n2－5n－24＝0， [4分]
解得n＝8或n＝－3(舍去)．
(1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.
(2)通项公式Tr＋1＝Cr8·()8－r·r
＝Cr8·(－2)r·x－2r，
令－2r＝，则r＝1，
故展开式中含x的项为T2＝－16x. [8分]
(3)设展开式中的第r项，第r＋1项，第r＋2项的系数绝对值分别为Cr－18·2r－1，Cr8·2r，Cr＋18·2r＋1，
若第r＋1项的系数绝对值最大，
则，解得5≤r≤6.
又T6的系数为负，∴系数最大的项为T7＝1 792x－11.
由n＝8知第五项二项式系数最大，此时T5＝1 120x－6. [12分]
批阅笔记 (1)本题重点考查了二项式的通项公式，二项式系数、项的系数以及项数和项的有关概念．
(2)解题时要注意区别二项式系数和项的系数的不同；项数和项的不同．
(3)本题的易错点是混淆项与项数，二项式系数和项的系数的区别.
方法与技巧
1．通项公式最常用，是解题的基础．
2．对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性和简捷性．
3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对k的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性．
4．性质1是组合数公式C＝C的再现，性质2是从函数的角度研究二项式系数的单调性，性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和．
5．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．
6．二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个分析，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用．
失误与防范
1．要把“二项式系数的和”与“各项系数和”，“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来．
2．根据通项公式时常用到根式与幂指数的互化，学生易出错．
3．通项公式是第k＋1项而不是第k项．
课时规范训练
(时间：60分钟)
A组 专项基础训练题组
一、选择题
1．(2011·天津)在6的二项展开式中，x2的系数为 ( )
A．－ B.
C．－ D.
2．若二项式n的展开式中第5项是常数项，则自然数n的值为 ( )
A．6 B．10
C．12 D．15
3．在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )
A．－7 B．7
C．－28 D．28
二、填空题
4．(2011·大纲全国)(1－)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为________．
5． 8的展开式中x2的系数为70，则a＝________.
6．若(2x＋3)3＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋a3(x＋2)3，则a0＋a1＋2a2＋3a3＝________.
7．在(x＋y)20的展开式中，系数为有理数的项共有________项．
三、解答题
8．已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，求2n的展开式中：
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数的绝对值最大的项．
B组 专项能力提升题组
一、选择题
1．(2011·课标全国)(x＋)(2x－)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )
A．－40 B．－20
C．20 D．40
2．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是 ( )
A．74 B．121
C．－74 D．－121
3．在(x2＋3x＋2)5展开式中x的系数为 ( )
A．160 B．240
C．360 D．800
二、填空题
4．(2010·辽宁)(1＋x＋x2)(x－)6的展开式中的常数项为________．
5．已知(1＋x＋x2)n的展开式中没有常数项，n∈N*，且2≤n≤8，则n＝________.
6．若a4(x＋1)4＋a3(x＋1)3＋a2(x＋1)2＋a1(x＋1)＋a0＝x4，则a3－a2＋a1＝______.
7．(2011·湖南)对于n∈N*，将n表示为n＝a0×2k＋a1×2k－1＋a2×2k－2＋…＋ak－1×21＋ak×20，当i＝0时，ai＝1，当1≤i≤k时，ai为0或1.记I(n)为上述表示中ai为0的个数(例如：1＝1×20，4＝1×22＋0×21＋0×20，故I(1)＝0，I(4)＝2)，则(1)I(12)＝______；(2)I(n)＝______.
三、解答题
8．已知n，
(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．
答案
要点梳理
1．(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*) 二项式系数 Can－kbk 通项 k＋1 Can－kbk
2．(1)n＋1 (2)n (3)降幂 升幂
(4)C C
3．(1)等距离 (2) 中间的一项Cn Cn Cn (3)C＋C＋C＋…＋C＋…＋C C＋C＋C＋… C＋C＋C＋… 2n－1
基础自测
1．C27 2.84 3.8 4.4 5.C
题型分类·深度剖析
例1 解 ∵二项展开式的前三项的系数分别是1，，n(n－1)，
∴2·＝1＋n(n－1)，
解得n＝8或n＝1(不合题意，舍去)，
∴Tk＋1＝Ck8xk＝Ck82－kx4－k，
当4－k∈Z时，Tk＋1为有理项，
∵0≤k≤8且k∈Z，∴k＝0,4,8符合要求．
故有理项有3项，分别是T1＝x4，T5＝x，T9＝x－2.
∵n＝8，∴展开式中共9项，
中间一项即第5项的二项式系数最大且为T5＝x.
变式训练1 解 (1)通项为Tr＋1＝Crnxrx－
＝Crnrx.
因为第6项为常数项，所以r＝5时，有＝0，
即n＝10.
(2)令＝2，得r＝(n－6)＝×(10－6)＝2，
∴所求的系数为C2102＝.
(3)根据通项公式，由题意
令＝k (k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－k.
∵r∈N，∴k应为偶数．
∴k可取2,0，－2，即r可取2,5,8.
所以第3项，第6项与第9项为有理项，
它们分别为C2102x2，C5105，C8108x－2.
例2 解 设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)
各项系数和即为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的偶次项系数和a0＋a2＋a4＋…＋a10.
由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．
(1)二项式系数的和为C010＋C110＋…＋C1010＝210.
(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.
(3)奇数项的二项式系数和为C010＋C210＋…＋C1010＝29，
偶数项的二项式系数和为C110＋C310＋…＋C910＝29.
(4)令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1， ①
令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，
得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510， ②
①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，
∴奇数项的系数和为；
①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，
∴偶数项的系数和为.
(5)x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝；
x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝.
变式训练2 解 (1)∵(x2＋2x＋2)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋
a10(x＋1)10，
∴令x＝0，则a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝25＝32；
令 x＝－1，则a0＝1，即an＝31.
(2)∵(x2＋2x＋2)5＝[1＋(x＋1)2]5
＝C05×15＋C15(x＋1)2＋C25(x＋1)4＋C35(x＋1)6＋C45(x＋1)8＋C55(x＋1)10
＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a10(x＋1)10，
∴a0＝C05，a1＝a3＝a5＝a7＝a9＝0，a2＝C15，a4＝C25，a6＝C35，a8＝C45，a10＝C55.
∴nan＝a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10
＝2C15＋4C25＋6C35＋8C45＋10C55
＝10C15＋10C25＋10C55
＝50＋100＋10＝160.
例3 (1)证明 ∵1＋2＋22＋…＋25n－1＝
＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1
＝C0n×31n＋C1n×31n－1＋…＋Cn－1n×31＋Cnn－1
＝31(C0n×31n－1＋C1n×31n－2＋…＋Cn－1n)，
显然C0n×31n－1＋C1n×31n－2＋…＋Cn－1n为整数，
∴原式能被31整除．
(2)解 S＝C127＋C227＋…＋C2727＝227－1＝89－1
＝(9－1)9－1＝C09×99－C19×98＋…＋C89×9－C99－1
＝9(C09×98－C19×97＋…＋C89)－2.
∵C09×98－C19×97＋…＋C89是正整数，
∴S被9除的余数为7.
变式训练3 证明 (1)∵32n＋2－8n－9＝32·32n－8n－9
＝9·9n－8n－9＝9(8＋1)n－8n－9
＝9(C8n＋C8n－1＋…＋C·8＋C·1)－8n－9
＝9(8n＋C8n－1＋…＋C82)＋9·8n＋9－8n－9
＝9×82(8n－2＋C·8n－3＋…＋C)＋64n
＝64[9(8n－2＋C8n－3＋…＋C)＋n]，
显然括号内是正整数，∴原式能被64整除．
(2)利用二项式定理对3n＝(2＋1)n展开证明．
因为n∈N*，且n>2，所以3n＝(2＋1)n展开后至少有4项．
(2＋1)n＝2n＋C·2n－1＋…＋C·2＋1≥2n＋n·2n－1＋2n＋1>2n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n－1，
故3n>(n＋2)·2n－1.
课时规范训练
A组
1．C 2.C 3.B 4.0 5．±1 6.5 7.6
8．解 根据二项式系数的性质，列方程求解n.系数绝对值最大问题需要列不等式组求解．
由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0.
∴2n＝32，解得n＝5.
(1)由二项式系数的性质知，10的展开式中第6项的二项式系数最大．
即T6＝C510·(2x)5·5＝－8 064.
(2)设第r＋1项的系数的绝对值最大，
∴Tr＋1＝Cr10·(2x)10－r·r
＝(－1)rC10·210－r·x10－2r，
∴，
得，
即，解得≤r≤.
∵r∈Z，∴r＝3.
故系数的绝对值最大的项是第4项，
T4＝－C310·27·x4＝－15 360x4.
B组
1．D 2.D 3.B 4.－5 5.5 6．－14 7.2 1 093
8．解 (1)∵C4n＋C6n＝2C5n，
∴n2－21n＋98＝0.
∴n＝7或n＝14，
当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.
∴T4的系数为C37423＝，
T5的系数为C47324＝70，
当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.
∴T8的系数为C714727＝3 432.
(2)∵C0n＋C1n＋C2n＝79，∴n2＋n－156＝0.
∴n＝12或n＝－13(舍去)．设Tk＋1项的系数最大，
∵12＝12(1＋4x)12，
∴
∴9.4≤k≤10.4，∴k＝10.
∴展开式中系数最大的项为T11，
T11＝C1012·2·210·x10＝16 896x10.
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