第11-17届初一华杯赛试题及答案.doc

第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
（初一组）
（时间2006年3月18日10：00～11：00）

一、选择题 以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。（每小题6分）
1、下面用七巧板组成的六个图形中， 有对称轴的图形为（ ）个（不考虑拼接线）
（A）5 （B） 2 （C）3 （D）4

2、有如下四个命题：
①最大的负数是－1； ② 最小的整数是1；
③ 最大的负整数是－1； ④ 最小的正整数是1；
其中真命题有（ ）个
（A）1个 （B）2 个 （C）3个 （D）4个

3 、如果a，b，c均为正数，且a（b＋c）＝152，b（c＋a）＝162，c（a＋b）＝170，那么abc的 值是（ ）
（A）672 （B）688 （C）720 （D）750
4、下图给出了一个立体图形的正视图、左视图和右视图，图中单位为厘米。立体图形的体积为（ ）立方厘米。
（A）2 （B）2.5 （C）3 （D）3.5

5、甲、乙两轮船在静水中航行的速度分别为是v1，v2，(v1＞v2)，下游的A港与上游的B港间的水路路程为150千米。若甲船从A港，乙船从B港同时出发相向航行，两船在途中的C点相遇。若乙船从A港，甲船从B港同时出发相向航行，两船在途中D点相遇,已知C、D间的水路路程为21千米。则v1∶v2等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
6、有一串数：1，22，，33，44，……，20042004，20052005，20062006。大明从左往右依次计算前面1003个数的末位数字之和，并且记为a，小光计算余下的1003个数的末位数字之和，并且记为b,则a－b =（ ）。
（A）－3 （B）3 （C）－5 （D）5

二、A组填空题（每小题8分）
7、如图，以AB为直径画一个大半圆。BC=2AC
分别以AC，CB为直径在大半圆内部画两个小半圆，那么阴影部分的面积与大半圆面积之比等于___。

8 计算：
（1+）（1+）（1+）（1+）…（1+）（1+）=__ ______
9、加油站A和商店B在马路MN的同一侧，A到MN的距离大于B到MN的距离，AB=7米，一个行人P在马路MN上行走，问：当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于___ ___米。

10. 如果=42，，那么x＋y=____ _

三、B组填空题（每题两个空，每个空4分）
11、列车提速后，某次列车21：00从A市出发，次日7：00正点到达B市，运行时间较提速前缩短了2小时，而车速比提速前平均快了20千米/小时，则提速前的速度平均为 千米/小时，两市相距 千米。

12、在算式
第 十 一 届
＋ 华 杯 赛
２ ０ ０ ６
中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”代表1～9中的9个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立。则不同的填法共有 ；三位数华杯赛的最大可能值为 。

13、在由x、y、z构成的单项式中，挑出满足下列条件的单项式：
1）系数为1；
2）x、y、z的幂次之和小于等于5；
3）交换x和z的幂次，该单项式不变。
那么你能挑出这样的单项式共有 个。在挑出的单项式中，将x的幂次最低的两两相乘，又得到一组单项式，将这组单项式相加（同类项要合并）得到一个整式，那么该整式是 个不同的单项式之和。

14、下图中有 个正方形，有 个三角形。

第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
初赛，初一组试题答案
一、选择题（每小题6分，满分36分）
题号
1
2
3
4
5
6
答案
D
B
C
A
B
C
二、A组填空题（每小题8分，满分32分）
题号
7
8
9
10
答案
4/9
1.98
7
0

三、B组填空题（每小题两个空，每个空4分，每小题8分，满分32分）
题号
11
12
13
14
答案
120, 1200
16, 659
12, 9
95; 155

一、选择题
1.D ② ③ ⑤ 6
2.B 最大的负整数是-1和最小的正整数是1正确。
3.C ab+ac=152 （1），bc+ab=162 （2），ac+bc=170 （3）
（2）－（1）得 （b-a）c=10 （4）
（3）÷（4）得 （a+b）/（b-a）=17 即a=8b/9 （5）
（3）－（2）得 a（c-b）=8 （6）
（1）÷（6）得 （b+c）/（c-b）=19 即c=10b/9 （7）
（6）和（7）代入（3） （8b/9）×（10b/9）+b×（10b/9）=170
得b=9，可知a=8，c=10，abc=720
4.A π×（2/2）^2×1+1/2×π×（2/2）^2×2=2π
5.B 150V1/（V1－a+V2+a）-150V2/（V1+a+V2-a）=21，（V1-V2）/（V1+ V2）=7/50
V1：V2=57：43
6.C 第4项至第1003项的末位数字之和和第1004项至第2003项末位数字之和相同
a-b≡1+2^2+3^3-（2004^2004+2005^2005+2006^2006）≡1+4+7-（6+5+6）≡-5（mod10）
二、A组填空题
7.4/9 设AB=2r 则{πr^2/2-[π（r/3）^2/2+π（2r/3）^2/2]}/ (πr^2/2)=1-（1/9+4/9）=4/9
8.1.98 原式=[2^2/（1×3）]×[3^2/（2×4）] ×[4^2/（3×5）] ×[5^2/（4×6）] ×[6^2/（5×7）] ×……×[98^2/（97×99）] ×[99^2/（98×100）]=2×99/100=1.98
9.7 三角形两边之差小于第三边，当P在AB延长线与MN交点的位置时PA-PB=7最大。
10.0 由|x-1|≤5知-4≤x≤6，-12≤3x≤18
由|y+2|≤4知-6≤y≤2，-8≤-4y≤24
由|3x-4y|=42，知3x=18，-4y=24，此时x=6，y=-6，x+y=0
三、B组填空题
11．100，1200(注:组委会提供的标准答案是120,1200,此答案有部分错误)
设提速前的速度平均为V千米/小时，两市相距S千米。
S/（V+20）=10 （1）
S/V=10+2 （2）
由（1）（2）得V=100，S=1200
12．16，659
被加数千位是1，被加数与加数个位分别是7和9，被加数与加数十位数字之和是9，被加数百位与加数百位数字之和是9，有3+6=9与4+5=9。加法算式从右至左选择数字有2×1×4×1×2×1×1=16（种）不同填法。 三位数华杯赛最大可以是659
13．12，9
一.⑴1 ⑵y ⑶y^2 ⑷y^3 ⑸y^4 ⑹y^5 ⑺xz ⑻xyz ⑼xy^2z ⑽xy^3z ⑾x^2z^2 ⑿x^2yz^2
二.y,y^2,y^3,y^4,y^5,y^6,y^7,y^8,y^9 共9项
14. 95，155
①边长是1，2，3，4，5，6的正方形有6X6+5X5+4X4+3X3+2X2+1X1=（6×7×13）/6=91（个），对角线长是2的正方形有4个，共95个。
②直角边为1的三角形有36×2=72（个）；斜边长是2的三角形，1-6行依次有4+4+4+3+1+4=20（个），1-6列依次3+3+3+2+3+3=17（个），共20+17=37（个）；直角边长是2的1-2行8个，2-3行6个，3-4行2个，4-5行8个，5-6行6个，共8+6+2+8+6=30（个）；直角边长是3的1-3行4个，3-5行2个，4-6行4个，共4+2+4=10（个）；斜边长是4的1-4行1个，2-5行2个，4-5行1个，共1+2+1=4（个）；直角边长是4的3-6行2个。共72+37+30+10+4+2=155（个）

第十一届全国"华罗庚金杯"少年数学邀请赛

决赛试卷(初一组)
（红色字为参考答案）
(时间2006年4月22日10:00~l l :30〉

一、.填空
1、计算：（ ）

2、当时，多项式的值是0，则多项式（ 5 ）

3、将若干本书分给几名小朋友,如果每人分4本书,就还余下20本书,如果每人分8本书,就剩有1名小朋友虽然分到了一些书,但是不足8本,则共有( 6 )名小朋友

4、图l中的长方形ABCD是由四个等腰直角三角形和一
个正方形EFGH拼成.己知长方形ABCD的面积为120
平方厘米,则正方形EFGH的面积等于( 10 )平方厘米

5、满足方程|||x-2006|-1|+8|=2006的所有x的和为( 4012 )

6、一个存有一些水的水池,有一个进水口和若干个口径相同的山水口,进水口每分钟进水3立方米.若同时打开进水口和三个出水口,池中水16分钟放完;若同时 打开进水口与五个出水口,池中水9分钟放完.池中原有水( 288 )立方米

7、已知，则小于S的最大的整数是( 0 )

8.如图2,数轴上标有2n+1个点,它们对应的整数是:

为了确保从这些点中可以取出2006个,其中任何两个点之间的距离都不等于4,则n的最小值是( 2005 )

二.解答下列各题,要求写出简要过程
9、如图3,ABCD是矩形,BC=6cm,AB =10cm,AC和
BD是对角线.图中的阴影部分以CD为轴旋转一周,则阴影
部分扫过的立体的体积是多少立方厘米?(z取3.14)
解: ①设三角形BCO以CD为轴旋转一周所得到的立
体的体积是S,S等于高为10厘米,底面半径是6厘米的
圆锥的体积减去2个高为5厘米,底面半径是3厘米的圆
锥的体积.
②即:
S=××10×π-2×××5×π=90π,
2S=180π=565.2(立方厘米).
答:体积是565.2立方厘米.
10、将21个整数
分为个数不相等的六组数,分别计算各组的平均值,那么这六个平均值的和最大是多少?
解:①分为个数不相等的6组,整数的个数分别为1、2、3、4、5、6.
②应当将数值大的分在整数个数少的组中.所以,可以如下分组:

第一组
10

第二组
9
8

第三组
7
6
5

第四组
4
3
2
1

第五组
0
-1
-2
-3
-4

第六组
-5
-6
-7
-8
-9
-10

③计算它们的平均值的和:

答:最大的和是。

11、当m =-5，-4，-3，-1，0，1，3，23，124，1000时,从等式(2m+1)x+(23M)y+1-5m =0 可以得到10个关于x和y的二元一次方程,问这10个方程有没有公共解?如果 有,求出这些公共解.
解:①分别取m =0和m =1,得到两个方程:

先求两个方程的公共解,把它们看作二元一次方程组,解得:x =1,y =-1.
②把x=1,y =-1代入(2m+l)x+(2-3m)y+1-5m,值恒为0.此即意味着: 当m =-5,一4,一3,一1,0,1,3,23,124,1000时,(2m+l)x+(2-3m)y+l-5m=0成立所以, x=1,y =-1是对应的10个方程的的公共解.
答:这些方程的公共解是x=1,y =-1.

12、平面上有5条直线,其中任意两条都不平行,那么在这5条直线两两相交所成的角中,至少有一个角不超过36度,请说明理由.
解:①在平面上任取一点。,过O点作已知的5条直线的平行线
②将O为中心的周角分为10个彼此依次相邻的小的角,这10个小角的
和恰等于3600,所以,至少有一个小角不超过360。

三.解答下列各题,要求写出详细过程

13.如图4,A、B和C是圆周的三等分点,甲、乙、丙 三只蚂蚁分别从A、B 、C三个点同时出发,甲和乙 沿圆周逆时针爬行,丙顺时针爬行.己知甲、乙、 丙三只蚂蚁爬行的速度之比是8:6:5,求出三只蚂蚁 所有的会合地点.
解: ①设圆周周长为3L,甲、乙、丙的速度分别为8ν、6ν、5ν;

②甲第一次追上乙时爬行的时间=，
甲第一次追上乙时爬行的路程=
甲第k+1次追上乙时爬行的时间=,
甲第k+1次追上乙时爬行的路程=
因为3×(l+4k)L是圆周周长的整数倍,所以,甲总在B点追上乙
③在时刻,丙爬行的路程=
当k=1时,上式是。因为丙是从C出发顺时针爬行，所以
丙爬行至B处,意味甲、乙、丙能够在B点会合.
答:甲、乙、丙仅仅在B处或合.

14、己知m，n都是正整数,并且
，

①证明:，

②若，求m和n的值.
解:①

同样,
②由题设,
，，
所以,，

即13+n是13×13的因数,

13×13只有3个因数:1，13，132所以,

13+n=132, n=132-13=156, m=12.

求出正整数m,n另一方法:使
，
设m =Kα, n=Kb, (α,b)=1, 代入上式,

(b一α)和α,b都互质,一定整除K. 记是正整数, 则有

由上式和b >α,b=13, α=1,d=l 所以,K=12,m和n有唯一解 m=13 n =156.

答:m=13n =156.

特别说明: 因给各题的解答未必唯一,上述解答仅供参考.

第十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题及参考答案（初一组）

∶∶∶∶∶∶∶∶∶装∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶订∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶线∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶

线

亲订
学校 姓名 考号

学号
第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
复赛试卷（初一组）
（时间2007年4月21日10：00～11：30）
一、填空（每题10分，共80分）
1、计算： 。
2、“b的相反数与a的差的一半的平方”的代数表达式为 。
3、规定符号“⊕”为选择两数中较大者，规定符号“⊙”为选择两数中较小者，

例如：3⊕5=5，3⊙5=3，则

4、已知 ，，那么 = 。
5、用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如图1，从正面看这个立体，如图2，则这个立体的表面积最多是 。

图1（从上向下看） 图2（从正面看）
6、满足不等式的整数n的个数是 。
7、某年级原有学生280人，被分为人数相同的若干个班。新学年时，该年级人数增加到585人，仍被分为人数相同的若干个班，但是多了6个班，则这个年级原有 个班。
8、如果锐角三角形的三个内角的度数均为整数，并且最大角是最小角的5倍，那么这个三角形的最大角的度数是 。
二、简答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9、已知a，b，c都是整数，当代数式 的值能被13整除时，那么代数式 的值是否一定能被13整除，为什么？
10、如图3所示，在四边形ABCD中，，，四边形ABEM，MEFN，NFCD的面积分别记为，和，求 =？
（提示：连接AE、EN、NC和AC）
11、图4是一个9×9的方格图，由粗线隔为9个横竖各有3个格的“小九宫”格，其中，有一些方格填有1至9的数字，小鸣在第九行的空格中各填入了一个不大于9的正整数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小鸣将第九行的数字从左向右写成一个9位数。请写出这个9位数，简单说明理由。
12、平面上有6个点，其中任何3个点都不在同一条直线上，以这6个点为顶点可以构造多少个不同的三角形？从这些三角形中选出一些，如果要求其中任何两个三角形没有公共顶点，最多可以选出多少个三角形？如果要求其中任何两个三角形没有公共边，最多可以选出多少个三角形？（前两问不要求说明理由）
三、详答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）
13、壮壮、菲菲、路路出生时，他们的妈妈都是27岁，某天三位妈妈王雪、刘芳和李薇闲谈时，王雪说：“菲菲比刘芳小29岁”；李薇说：“路路和刘芳的年龄的和是36岁”，刘芳说：“路路和王雪的年龄的和是35岁”。已知壮壮、菲菲、路路和他们的妈妈6个人年龄的总和是105岁。请回答：谁是路路的妈妈？壮壮、菲菲和路路的年龄各是多少岁？
14、请回答：能否表示为3个互异的正整数的倒数的和？能否表示为3个互异的完全平方数的倒数的和？如果能，请给出一个例子；如果不能，请说明理由。

第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
复赛试题参考答案（初一组）
一、 填空（每题10分，共80分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案

97
48
5
7
85°
二、简答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9、解：设x，y，z，t是整数，并且假设
（1）
比较上式a，b，c的系数，应当有

（2）

取 ，可以得到 ，，，则有
（3）
既然 和都能被13整除，就能被13整除。
【说明】 表式为均能被13整除的两个代数式的代数和，表达方式不唯一，例如：取，则有 ，，，则有

实际上，（2）是一组二元整系数不定方程，我们先解第一个，得到
，，这里k是任意整数，
将 代入其余方程，解得
，，这里k是任意整数，
则可以有

评分参考：有类似于（3）的代数表达式，给10分。
10、解：如图3a，连接AE、EN和NC，易知
由 ， ，
上面两个式子相加得
（1）
并且四边形AECN的面积=。
连接AC，如图3b,由三角形面积公式，易知
，
上面两个式子相加得
四边形AECN的面积= （2）
将（1）式和（2）相加，得到
，
既然
，
因此 图3b
， 。
答：
评分参考：①能利用三角形面积公式导出结果（1），给4分；②能利用三角形面积公式导出结果（2），给4分；③正确给出答案，给2分。
11、解答：填数的方法是排除法，用（m，n）表示位于第m行和第n列的方格。
第七行、第八行和第3列有9，所以，原题图4左下角的“小九宫”格中的9应当填在（9，2）格 图4a
子中；第1列、第2列和第七行有数字5，所以，在图4右下角的“小九宫”格

中的数字5只能填在（9，3）中；第七行、第八行有数字6，图4中下部的“小九宫”格的数字6应当填在（9，6）；此时，在第九行尚缺数字7和3，由于第9列有数字7，所以，7应当填在（9，8）；3自然就填在（9，9）了，填法见图4a。
九位数是 495186273。
评分参考：①正确给出答案，给5分；②对图4左边中间的“小九宫”格的5个空格的填法，能说明理由，给5分，每个空格给1分；③即使最后答案不正确，对于推理正确的空格填法，要适当给分；
12、解答：
（1）先从6个点中选取1个做三角形的一个顶点，有6种取法；再从余下的5个点中选取1个做三角形的第二个顶点，有5种取法；再从余下的4个点中选取1个做三角形的第三个顶点，有4种取法。因为任何3个点不在同一条直线上，所以，这样选出的三个点可以做出1个三角形。但是，如果选出的三个点相同的话，则做出的三角形相同，三个点相同的取法有3×2×1=6种，所以，以这6个点为顶点可以构造 个不同的三角形。
（2）每个三角形有3个顶点，所以，6个点最多只能构造2个没有公共顶点的三角形。
（3）用英文大写字母A、B、C、D、E、F记这6个点，假设可以选出两两没有公共边的5个三角形，它们共有15个顶点，需要15个英文大写字母。这里不同的英文大写字母仅有6个。因此，这5个三角形中至少有3个三角形有同一个顶点，无妨设为A。根据假设，这3个三角形两两没有公共边，即除去公共顶点A之外，其余6个顶点互不相同，即表示这6个顶点的字母不相同。但是，除A之外，我们仅有5个不同的字母。所以，不可能存在5个三角形，它们两两没有公共边。
又显然，，和这4个三角形两两没有公共边。所以，最多可以选出4个三角形，其中任何两个三角形都没有公共边。
评分参考：①回答第一问正确给3分；②回答第二问正确给2分；③第三问，回答正确给2分，能解释理由再给2分。
三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）
13、解：设刘芳的年龄为x岁。
① 刘芳和路路的年龄和是36岁，是个偶数，他们的年龄差也是一个偶数，而路路和妈妈的年龄的差是奇数，因此路路的妈妈不是刘芳。注意到菲菲比刘芳小29岁，菲菲的妈妈不是刘芳，所以，壮壮的妈妈是刘芳。
②壮壮和妈妈刘芳的年龄的和为(
路路岁，他的妈妈应当是 岁，和为
菲菲岁，她的妈妈应当是 岁，和为
由于6个人共105岁，所以，
。
③解出x=32,菲菲比刘芳小29岁，所以菲菲3岁；路路和刘芳的年龄的和是36，路路4岁；路路和王雪的年龄的和是35岁，所以王雪31岁。
答：王雪是路路的妈妈；壮壮5岁、菲菲3岁和路路4岁。
评分参考：①第一步，能判断出壮壮的妈妈是刘芳，给5分；②能正确回答谁是路路的妈妈，给5分；③能正确回答3个孩子的年龄，给5分。
14、解：
（1）由于，故有 。所以，能表示为3个互异的正整数的倒数的和（表示法不唯一）。
（2）不妨设，现在的问题就是寻找整a，b，c，满足

由，则有
，从而 ,
所以 。又有，所以 ，故或16。
若，则有 ，由于，并且 ，
所以 ， 。
故 ，100或121。将 、100和121分别代入 ，没有一
个是完全平方数，说明当 时，无解。
若 ，则 。类似地，可得：
，即 ，
此时，不是整数。
综上所述，不能表示为3个互异的完全平方数的倒数之和。
评分参考：①正确回答第一问给5分（答案不唯一）；②能得到或16，给6分；③能分别对 和16讨论能否表示为3个互异的完全平方数的倒数之和，各给2分，共4分；④对代数式合理和正确的推导适当给分。
特别说明：因为各题的解答未必唯一，上述解答和评分仅供参考。

总分

学校____________ 姓名_________ 参赛证号 联系电话 电子邮件
密 封 线 内 请 勿 答 题

第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
初赛试卷（初中组）
（ 建议考试时间: 2008 年 3 月 22 日 10:00～11:00 ）
一、选择题（每小题 10 分.以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的.
请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内）
1．若有理数a、b在数轴上的位置如图1所示.则下列各式中错误的是
（ ）.
（A）-ab＜2 （B）＞ （C）＜ （D）＜-1

2．关于数a有下面四个命题:
①若,则a必为0;
②若,则a,a+1,a-1中至少有一个为零；
③若,则a=0,或a=1;
④若,则的值必为零.
四个命题中正确的个数为（ ）.
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
3．图2（a）是长方形纸带，∠SAB=20°，将纸带沿AB折叠成图2（b），
再沿BN折叠成图2（c），则图2（c）中的∠TBN为（ ）.
（A） （B） （C） （D）

4．今有四个数,其中一个数与其它三个数的平均数之和分别为92,86,80,90,那么,这四个数中最大的数等于（ ）.
（A）51 （B）48 （C）33 （D）42
5．依次排列4个数:2,11,8,9.对相邻的两个数,都用右边的数减去左边的数,所得之差排在这两个数之间得到一串新的数:2,9,11,-3,8,1,9.这称为一次操作,做二次操作后得到一串新的数:2,7,9,2,11,-14,-3,11,8,-7,1,8,9.这样下去,第100次操作后得到的一串数的和是（ ）.
（A）737 （B）700 （C）723 （D）730
6．如图3所示,一只小蚂蚁从棱长为1的正方体的顶点A出发,经过每个面的中心点后,又回到A点,蚂蚁爬行最短程S满足（ ）.
（A）5＜S≤6 （B）6＜S≤7
（C）7＜S≤8 （B）8＜S≤9
二、填空题（每小题 10 分,满分40分,第10题每空5分）
7．计算:= .
8．如图4所示,圆的半径为2,圆的两条弦AB,CD互相垂直,垂足为E.若圆心O到弦AB的距离OF=1,EF=1.则图中阴影部分的面积等于 .（取3.41）
9．可将1～30这30个整数写成一行,使得由第二个数开始的每个数都是它前面所排列的所有数之和的约数.则排在第30个位置上的数最大应是 .
10．把符号“★”放在图5的小方格中,则含有“★”的由小方格组成的正方形个数随“★”的放法而改变.在所有的放法中,含有“★”的正方形个数最多时有 个,最少时有 个.
第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
决赛试卷（初一组）
（建议考试时间：2008年4月19日10:00～11:30）
一、填空（每题10分，共80分）
1. 某地区2008年2月21日至28日的平均气温为-1℃，2月22日至29日的平均气温为-0.5℃，2月21日的平均气温为-3℃，则2月29日的平均气温为 .

2. 已知×(新+奥+运)=2008，其中每个汉字都代表0到9的数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，则算式
= .
3. 代数和－1×2008+2×2007－3×2006＋4×2005＋…－1003×1006＋1004×1005的个位数字是 .

4. 用一个平面去截一个长方体,裁面是一个多边形,
这个多边形的边数最多有 条.

5. 一列数1,3,6,10,15,21,…中,从第二个数开始,每一个数都是这个数的序号加上前一个数的和,那么第2008个数是 .
6. 当x取相反数时,代数式ax+bx对应的值也为相反数,则ab等于 .
7. 已知是以x为未知数的一元一次方程,如果,那么的值为 .
8. 在3×4方格网的每个小方格中心都放有一枚围棋子,至少要去掉 枚围棋子,才能使得剩下的棋子中任意四枚都不构成正方形的四个顶点.

二、解答下列各题(第题10分,共40分,要求写出简要过程)
9. 如果一个锐角三角形的三个角的度数都是正整数,且最大角是最小角的4倍，那么这个三角形的最小角的度数可能是哪些值？

10. 小明将164个桃子分给猴子,余下的几个留给了自己,每只猴子得到了数目相同的桃子,小明留给自己的桃子数是一只猴子的四分之一,问共有多少只猴子?

11. 下图中,E,F为三角形ABC边上的点,CE与BF相交于P. 已知三角形PBC的面积为12, 并且三角形EBP, 三角形FPC及四边形AEPF的面积都相同,求三角形EBP的面积.

12. 现有代数式x+y, x-y, xy和 ,当x和y取哪些值时,能使其中的三个代数式的值相等?

三、解答下列各题(每题15分,共30分,要求写出详细过程)
13. 对于某些自然数n, 可以用n个大小相同的等边三角形拼成内角都为120°的六边形. 例如, n=10时就可以拼出这样的六边形,见右图,请从小到大,求出前10个这样的n.

14. 对于有理数x,用[x]表示不大于x的最大整数, 请解方程

第十三届“华罗庚金杯”少年数字邀请赛
决赛试题参考答案（初一组）

一、填空（每题10分，共80分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
1℃
29
8
6
2017036
0
6
4
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9. 答案:20,21,22.
解答: 设最小角为x, 最大角为4x, 另一个角为y. 则由题目的条件得
, , ①
由①的前两个式子得到: , 解得; 又由①的第三个式子得到, 所以.
评分参考: 1) 给出三个关系①给4分; 2)得出范围给4分; 3)给出答案给2分.

10. 答案:10.
解答: 设有n只猴子, 小明留给自己p个桃子. 每只猴子分到了4p个桃子. 则
, 所以p是4的倍数, 令, 则, 是4的倍数. 令, 则, , 因为n是正整数, 所以. 当时, .
评分参考: 1)给出p, n的关系给3分; 2)得到n, k的最终关系给4分; 3)得到答案给3分.

11. 答案: 4
解答: 设三角形EBP的面积为X, 连接AP. 若令三角形APF的面积为Y, 则三角形AEP的面积为. 因为
,
而, , 所以有, 解得, 即, 所以X=4. 三角形EBP的面积为4.
评分参考: 1)引出辅助线给2分; 2)得到X与Y的关系给4分; 3)得到答案给4分.

12. 答案: , , , .
解答: 首先必须, 否则没有意义. 若, 则, 矛盾. 所以
. 若, 则由, 或都得到, 所以, 即. 因此, 三个相等的式子只有两种可能:
(1) . 由后一等式得到, 或, 而是不可能的, 因为此时由第一个等式得到, 矛盾. 当时, 由第一个等式得到, 即, 所以.
(2) . 由后一等式同样得到, 或, 同样, 是不可能的, 而当时, 由第一个等式得到, 所以.
评分参考: 1) (1)之前给2分; 2) (1)和(2)各给4分.
三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）
13. 答案: 6,10,13,14,16,18,19,22,24,25.
解答: 设所用的等边三角形的边长单位为1. 任何满足条件的六边形的外接三角形一定是一个边长为l的大等边三角形. 该六边形可以通过切去边长分别为的等国三角形的角而得到, 其中为正整数, 并且满足, .
又由于用边长为1的等边三角形拼成的一个边长为x (正整数)的等边三角形所需要的个数是. 因此, , 其中, , .
(1) 时, n可以为.
(2) 时, n可以为. .
(3) 时, 与上面不同的n可以为
, .
, .
(4) 时,与上面不同的n可以为
, .
, .
, =36-3=33.
(5) 时, 与上面不同的n都比27大.
(6) 时, 可以证明满足要求的n都不小于26.
由(1)到(6)可得,前10个满足要求的n为6,10,13,14,16,18,19,22,24,25
评分参考: 1)写出10个中的1个给1分; 2)给出足够的理由,例如(1)之前的部分给5分.

14. 答案:或.
解答: 因为方程左边的第1、3项都是整数, 所以是整数. 注意到
,
代入方程, 得到, . 所以是整数, 是10的倍数. 令, k是整数, 代入得
,
其中, 对于有理数x, =. 所以有, . 当k取不同整数时, 的情况如下表:
k

=1
=2
=3

=
=1
=

=0

K的可能值是和3, 相应的和y =10. 代入验算得到或.
评分参考: 1) 得到是整数给3分; 2)得到关于k的不等式给5人; 3)得到列表的结果给5分; 3)每个答案各给1分.

第十四届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
初赛试卷（初一组）
（ 时间: 2009年 3 月 14 日 10:00～11:00 ）
总分

一、选择题（每小题 10 分,满分60分. 以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在答卷纸相应的表格内）
1、下面四个算式中，正确的是（ ）.
（A） （B）
（C） （D）
2、某班暑假野营沿公路步行从学校到基地，再由基地立即原路返回学校，如果行程每天增加1千米，去时用了4天，返回时用了3天，则学校到该基地的路程是（ ）千米.
（A）36 （B）38 （C）40 （D）42
3、设、是两个负数，，则下面四个数中一定大于而小于的数是（ ）.
（A） （B） （C） （D）

3

1

6

5