差分格式.doc

(完整word)差分格式
§1。 差分
1． 一阶导数的差分近似（差商）
导数的定义：
导数的近似： （当 与 足够接近时）
这样的表达式称为差商，它可作为导数的近似，称为导数的差分近似。
误差分析 － 泰勒展开:将 在 处做泰勒展开，有

于是

各种差分近似： 取 （称为步长），则可以有
向前差分近似（相当于取 ）

向后差分近似（相当于取 ）

中心差分近似 （前差近似与后差近似的算术平均）

2． 差分近似的一般形式
差分近似的一般形式可写成

或简写为

称为一阶导数 的一个 点差分近似。这里

差分近似的精度 : 阶
定义:若

则称表达式 是一阶导数 的 阶差分近似。
例:通过误差分析，上面给出的向前和向后差分近似都是一阶的，而中心差分近似是二阶的.中心差分近似的精度较高.

差分近似的分类
若 ，则 称为中心差分近似；
若 ，则 称为偏心差分近似，特别是
若 ,则 称为向前差分近似(前差近似）；
若 ,则 称为向后差分近似（后差近似）。

3． 待定系数法
构造导数的差分近似可用待定系数法.
【例1】用 、、、 四点构造一阶导数 的差分近似。
【解】由泰勒展开，有

将这些展开式带入所求得差分近似，得

为了使上式能够成为一阶导数的差分近似且具有尽可能高的精度，式中的四个待定系数应满足
解得
因此，若将函数值 简写成 ,所求的差分近似就是

误差为

所以上述差分近似具有三阶精度.

【例2】用 、 两点构造一阶导数 的差分近似。
【解】由泰勒展开,有

将这些展开式带入所求得差分近似，得

为了使上式能够成为一阶导数的差分近似且具有尽可能高的精度,式中的两个待定系数应满足
解得
因此，所求的差分近似为

这正好是前面提到过的中心差分近似，其误差为

由于选点的对称性，误差中二阶导数项的系数恰好抵销为零，所以上述差分近似具有二阶精度。这就是中心差分近似精度较高的原因.
4． 高阶导数的差分近似
以上关于一阶导数的差分近似，完全可以推广到高阶导数。
高阶导数的差分近似：其一般形式为

待定系数法：构造高阶导数的差分近似，仍可用待定系数法.
【例3】用 、、 三点构造二阶导数 的差分近似。
【解】由泰勒展开,有

将这些展开式带入所求得差分近似，得

为了得到二阶导数的差分近似且具有尽可能高的精度,式中的三个待定系数此时应满足
解得
因此,所求的差分近似为

误差为

所以上述差分近似具有二阶精度。这里，我们又一次看到了中心差分近似的精度较高这一事实.

二阶导数的各种差分近似
向前差分近似

向后差分近似

中心差分近似

或

这就是例3的结果。
以上这些推导表明：
l 高阶导数的差分近似可通过反复使用一阶导数的差分近似推导出来;
l 先前差再后差，或者先后差再前差，可得到二阶导数的中心差分近似。

11