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(完整word)抽象代数电子教案
《抽象代数》课程教案

第一章 基本概念
教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集.集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算,理解几个元素作代数运算的特点;理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射,单射，一一映射及逆映射的定义.理解满射，单射,一一映射及逆映射的定义;掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n的剩余类。
教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用,对代数运算的理解;代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义;同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n的剩余类。
教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义,应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果;模n的剩余类。
教学措施：黑板板书与口授教学法。
教学时数：12学时。
教学过程：
§1 集合
定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）.集合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。
定义:一个没有元素的集合叫做空集,记为，且是任一集合的子集.
（1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。
（2）集合表示：
习惯上用大写拉丁字母A，B,C…表示集合，
习惯上用小写拉丁字母a,b，c…表示集合中的元素。
若a是集合A中的元素，则记为。
表示集合通常有三种方法：
1、枚举法（列举法）：
例：A={1,2，3，4｝,B=｛1,2，3，…，100｝。
2、描述法:—元素具有的性质.
例:。显然例6中的A就是例5的A.
3、绘图法：用文氏图()可形象地表现出集合的特征及集合之间的关系。
(3）集合的蕴含(包含）
定义：若集B中每个元素都属于集A，则称B是A的子集，记为,否则说B是A的子集，记为。
定义：设，且存在，那么称B是A的真子集，否则称B不是A的真子集。
定义：若集合A和B含有完全一样的元素，那么称A与B相等，记为A=B.
结论：显然，。
（4）集合的运算
①集合的并：
②集合的交：
③集合的差：
④集合在全集内的补：
⑤集合的布尔和(对称差）：

⑥集合的卡氏积：
注：中的元素可看成由A和B坐标轴所张成的平面上的点。
卡氏积的推广：

对上述集合运算，可以得到一批基本公式：

例题:
例1 A=｛1。2。3} B={2。5。6} 那么A∩B=｛2}
A=｛1。2.3｝ B=｛4。5。6} 那么A∩B=空集合。

例2 A=｛1。2.3} B={2.4.6} 那么A∪B=｛1.2.3。4。6}
A=｛1。2。3} B=｛4。5。6｝ 那么A∪B={1。2。3。4.5。6｝

§2 映射
定义:设是集合A到B的一个对应法则：对于任何一个的元,都能够得到一个唯一的D的元d，那么这个法则叫做集合到集合D的一个映射.
其中，元d是在映射的象，a是b在下的逆象.

例1:A1=A2=。。.。=An=D=所有实数作成的集合.
φ：(a1，a2,……，an)→ a12+a22+……+an2=φ(a1，a2,…，an)是一个
A1×A2×…×AN 到D的映射.

例2 ：A1=｛东，西},A2={南}，D=｛高，低｝
φ1:（西，南）→高=φ1(西，南)不是一个A1×A2到D的映射。
φ2：(西,南）→高，（东，南）→低,则φ2是一个A1×A2到D的映射。

例3:A1=D=所有实数所成的集合。
φ：a→a 若a ≠1
1→b 这里b2=1
不是一个A1到D的映射。

例4：A1=D=所有实数所成的集合.
φ：a→a—1不是一个A1到D的映射.
定义：我们说，到集合D的两个映射φ1与φ2是相同的，假如对任何一个元来说，φ1=φ2.

例5：A=D=所有正整数的集合。
φ1：a→1=φ1（a）
φ2： a→=φ2（a） 则φ1与φ2是相同的。

§3 代数运算
设给定，
如果n=2时,f就叫做代数运算.一般地有
定义：任一个的映射都叫做的一个代数运算。

例1：A=｛所有整数｝,B=｛所有不等于零的整数}。D=｛所有有理数｝
0:（a.b）=ab 是一个A×B到D的代数运算，即普通的除法。

例2：令V是数域F上一个向量空间，那么F的数与V的向量空间的乘法是一个F×V到V的代数运算。

例3：A=｛1｝,B=｛2}，D={奇，偶}
0：(1.2）→奇=12 是一个A×B到D的代数运算.

例4 A=｛1。2}，B={1。2｝，D={奇，偶｝
0：（1.1）→奇 （2。2)→奇 (1。2）→奇 （2。1）→偶
是一个A×B到D的代数运算.

代数运算表：当都是有限集时,那么的每一个代数运算都可以用运算表表示。

设，则运算表为：

…

…

…
…
… … … … … …
…
注：对于代数运算的运算表，要求中元素在上表中的位置互换.
在实际工作中,更多的是的情形,这时，有如下定义:
定义：若的代数运算，则可称是的代数运算或二元运算。

§4 结合律
例题：A={所有整数｝，代数运算是普通减法
那么(a-b）—c≠a—（b-c) 除非c=0。
定义:设是集合的一个代数运算，如果都有,则称满足结合律。
定义:设中的代数运算为,任取个元素,如果所有加括号的步骤最后算出的结果是一样的,那么这个结果就用来表示。
定理：如果的代数运算满足结合律，那么对于的任意个元素来说，所有加括号的步骤运算的结果总是唯一的,因此，这一唯一的结果就可用来表示。
[论证思路]
因是有限数，所以加括号的步骤必是有限的。
任取一种加括号的步骤,往证：

对用数学归纳法。
①
②和分别是和个元素经加括号而运算的结果。
③，由归纳假设释之.

§5交换律
定义：设是集合的一个代数运算,如果都有，则称满足交换律。
定理：设的代数运算同时满足结合律和交换律，那么中的元的次序可以任意掉换。
［论证思路]
采用数学归纳法，归纳假设时命题成立.
对的情形，任掉换的位置，使之成为。
注意是的一个排列。 令。
用结合律和归纳法假设证明之。

§6分配律
代数运算与的第一分配律和第二分配律的定义，以及的结合律与这两种分配律的综合运用
定义：设都是集合，而是的代数运算，而是的代数运算，如果，都有

那么称适合第一分配律。
例。 假如B与A都是全体实数的集合，和就是普通的乘法和加法，则
b （a1a2)=(ba1) （ba2)就变为
b（a1+a2)=（ba1)+（ba2）

定理1：设和如上，如果满足结合律，且满足第一分配律，那么，都有

［论证思路]
采用数学归纳法,归纳假设时命题成立.
先后利用：结合律——的归纳假设-—的归纳假设直至完成证明.
定义：设和同上，若，若有,那么称满足第二分配律.
定理2：设和同上，若适合结合律，而适合第二分配律。那么。

§7 一一映射、变换
在第1讲中，已对各类映射作了系列性的介绍，这里只对重要的一一映射作重点的讨论.
例1：A={1，2,3，4，5｝ =｛2，4，6，8｝
则 φ:1 2，2 4，36，42，52。是一个A 到的映射.
例2：A={1，2，3,…} =｛奇,偶｝ 则
φ:1，3，5，…奇,2，4，6…偶 是一个A 到的映射。
定义：若是在一个集合到的映射下，的每一个元都至少是A中某一个元的象，那么叫做一个到的满射。
定义:一个到的映射，
叫做一个到单射，假如
.
定义：设是集合到的映射，且既是单的又是满的，则称是一个一一映射（双射)。
例3:，
其中，可知显然是一个双射。
注意：与偶数集之间存在双射,这表明：与它的一个真子集一样“大”.
思考题:从例1中得知：一个无限集与其的某个真子集一样“大".这是否可作为无限集都有的特性？即我们是否有如下的结论：为无限集的充要条件是与其某个真子集之间存在双射.
定理:一个到的一一映射带来一个通常用表示的到间的一一映射.
证明：由于是到的双射，那么就中任一个元素，它在中都有逆象，并且这个逆象是唯一的。利用的这一特点，则可确定由到的映射：
，如果,由上述说明，易知是映射。
是满射：，因是映射，再由的定义知，这恰说明，是在下的逆象。由的任意性，知是满射。
是单射：由是满射的逆象分别是，又是单射,
这说明，所以是单射。
综合上述讨论知：是到的一个双射。
结论：设是映射，那么：
（1)是双射可唯一的确定一个逆映射，使得:
是双射;
;
也是的逆映射，且；
（2）是双射同时是有限集或同时是无限集。
定义：一个A到A的映射叫做的一个变换。
一个A到A的一一映射（单射,满射)时，也称为的一个一一变换（单射变换，满射变换)
例4：A=｛所有实数｝。 τ：X是A的一个单射变换。
例5：A=｛所有整数}. τ：a假如a是偶数
a假如a是奇数
是A的一个满射变换。

例6：A={1，2，3}
τ1：11，22,33
τ2：12，23,31都是A的一一变换.

§8 同态
定义：一个到的映射叫做一个对于代数运算来说的，到的同态映射，假如，在之下，不管a和b是A的那两个元，只要

就有 。
例1：φ：a1 (a是A的任一元)是一个A到的同态映射，φ1是一个A到的映射，显然对于的任意两个整数a和b来说，有a1, b1,a+b1=1×1
例 2：φ2 ：a1 若a是偶数
a—1 若a是奇数
φ2是一个A到的满射的同态映射
例 3:φ3 :a—1（a是A的任一元） 固然是一个A到的映射，但不是同态映射
定义:假如对于代数运算来说，有一个到的满射的同态映射存在,则称这个映射是一个是同态满射。
在近世代数中，同态满射是尤其重要的。
定理1：假设对于代数运算和来说，A与同态，那么
Ⅰ)若适合结合律，也适合结合律
Ⅱ）若适合交换律，也适合交换律.
证明：(1）任取是满射，又因为中的满足结合律
即,但是是同态映射。

所以
同理可以证明（2）
定理2:假定，，都是集合A的代数运算,， 都是集合的代数运算，并且存在一个A到的满射φ，使得A与对于代数运算，来说同态。对于代数运算，来说也是同态，那么
Ⅰ）若， 适合第一分配律,， 也适合第一分配律
Ⅱ）若， 适合第一交换律，， 也适合第一交换律
证明:（1）是满射.
又因为是关于及的同态映射

即.
同理可证明（2).

§9 同构、自同构
定义：一个到的一一映射是一个对于代数运算来说的,到的同构映射，假如，在之下,不管a和b是A的那两个元，只要

就有 。
假如在一个与之间，对于代数运算来说，存在一个到的同构映射，则称对于代数运算来说，与同构，记为。
例1：A={1，2,3} . =｛4,5，6}.
1 2 3 4 5 6
1 3 3 3 4 6 6 6
2 3 3 3 5 6 6 6
3 3 3 3 6 6 6 6
各是A与的代数运算与的表,那么
14，25，36，是一个A与之间的同构映射。
定义:对于代数运算来说的一个到的一个同构映射叫做的一个对于来说的A的自同构。
例2：A=｛1,2，3} 代数运算由下表给定：

1 2 3
1 3 3 3
2 3 3 3
3 3 3 3
那么φ：12，21,33
是一个对于来说的 A的自同构。

§10 等价关系与集合的分类
定义：设为集合，{对，错}，那么一个到的映射就叫做的一个关系。（也称为二元关系）
若，就称与符合关系,记为
若,就称与不符合关系,记为
由上述定义知，中任一对元，都可以判定与是否符合这个关系.
例1：A={所有实数｝
R：（a,b) 对，若是b—a是正的
(a，b） 错，若是b-a不是正的
是A 的元间的一个关系。
定义:设是集合的元间的一个关系~叫做一个等价关系，如果～满足以下规律：
（1） 反射律（反身性）：～
（2） 对称律（对称性）：当～时必有～；
（3） 推移律(传递性）：当～且～时，
必有～。
当～时，习惯称与等价。
定义：若把一个集合A分成若干个叫做类的子集，使得A的每一个元属于而且只属于一个类，那么这些类的全体叫做集合A的一个分类.
定理1：集合的每个分类都决定了的元间的一个等价关系。
证明：设是的一个分类，用我们可以规定上的一个二元关系：～在同一类里，显然～是的一个关系，须证～是等价关系。
（1） 反身性：~。
（2） 对称性：
若～～。
（3)传递性：
若~～，
～。
定理2：集合的一个等价关系～决定的一个分类。
证明：,令～，如此确定的这些子集具有：
（1）：由～；
（2)，当与不等价时：若～～，由~的对称性和传递性知～，推出矛盾，所以。
(3）：。
的一个分类.
注意：
(1）～
“”～

～，
“”～
（2)若
因为设～~，由传递性推出~再由（1）知。
定义：假定我们有一个集合的分类,那么，一个类里的任何一个元叫做这个类的一个代表。刚好由每一类的一个代表组成的集合叫做一个全体代表团。
注：由于，那么~,这表明对等价类来说，中任何元素均可作为的代表，即等价类与其代表元素的选取无关.
一种重要的等价关系-—同余关系
定义。 任取，可以在中确定一种等价关系

则称为模的同余关系，并将记为

由同余关系确定的分类中的等价关系为模的剩余类.
而由同余关系引导出来的商集习惯上记为.
模的同余关系为:
,其中

第二章 群论
教学目的与教学要求：理解群的定义，掌握群定义中的四个等价条件，和群的判定方法；理解单位元、逆元、元的阶的定义，初步地掌握利用单位元、逆元、元阶的定义证明有关的性质和定理;理解群同态思想，理解若群G同态G'则群G的许多代数性质可以传递给它的同态象；理解变换群的定义应用几何上的实际问题，并且理解变换群在群论上的重要性，同群论中具有的普遍性,弄清楚变换群和变换群的区别;理解置换群,n次对称群,循环置换的定义，搞清楚置换乘法的先后顺序是从右到左，并且搞清楚置换的循环分解,多做练习；理解循环群的思想，理解循环群结构中的主要的结果(i)数量问题,（ii)构造问题，（iii）循环群的生成元；理解子群的判定方法和构造群的子群的方法;理解左（右）陪集的思想，理解陪集定义的最基本的两种出发点;
教学重点：群的定义，基本特点，群的思想方法，群的判定常用的方法;单位元、逆元、消去律、元的阶，并且利用这些概念;有限群的定义,利用有限群的思想,利用定义证明有关定理和例子；群的同态定义，利用群的同态定义证明由G是群可以推出G'也是群（G~G'条件下);变换群的定义，Cayley定理,变换群的判定常用的方法；置换,转换群，n次对称群,循环置换的定义，利用这些概念的定义证明每一个有限群都一个置换群同构；G=〈a〉的定义，利用G=〈a>的定义,证明有关的定理和命题，(如:循环群，乘余类加群）;子群定义，利用子群定义证明有关的问题，群的一个非空集组成子群的充要条件;左、右陪集的定义，群G的子群H的阶，H在G里的指数;任两个左（右）陪集间存在双射的概念;
教学难点：群的定义，群的判定常用的方法，利用群的定义证明性质和判定；群的判定常用的方法。且半群中消去律与元的可逆性之间的关系和定理的证明;掌握群同态定义中的同态映射的要求；变换群的定义，利用变换群在几何上的实际应用和群的理论上的重要性；置换群中元素是n次置换非常具体，所以n次置换，及置换乘积是本节中较难的概念；G=（a)的构选问题,利用G=(a）的定义证明<i>若a为无限阶的,则〈a>≌{Z，+｝；〈ii〉若a的阶为n，则<a〉≌{Zn，+｝;作成子群的充分必要条件的证明过程，子群的判定方法；左（右）陪集的定义,利用左(右）陪集的定义掌握左(右）陪集的判别条件;
教学措施：黑板板书与口授教学法。
教学时数:20学时。
教学过程：
§1 群的定义
群的第一定义：一个非空集合G对一个叫做乘法的代数过算来说作成一个群，假如：
Ⅰ。G对于这个乘法来说是闭的；
Ⅱ.结合律成立：a（bc）=（ab）c对G的任意三个元都对；
Ⅲ。对于G的任意两个元a，b来说，方程ax=b和ya=b在G中都有解，是一个有限整数。
例 1：证明若G包含一个元g，且乘法是gg=g，则G对于这个第六法来说作成一个群。
例2：设G是一个全体整数的集合,证明G对于普通加法来说作成一个群。
例3：设G是所有不等于零的整数集合,证明G对于普通乘法来说不作成一个群。
群G有以下性质：
Ⅳ.G里至少有一个元e,叫做G的一个左单位元，能让
ea=a
对于G的任何元a都成立。
Ⅴ。对于G的每一个元a,在G里至少存在一个元，叫做a的一个左逆元,能让
a=e
成立。这里e是一个固定的左单位元。
证明:略。

群的第二定义：一个非空集合G对一个叫做乘法的代数过算来说作成一个群，假如：
Ⅰ.G对于这个乘法来说是闭的;
Ⅱ。结合律成立：a(bc)=（ab）c对G的任意三个元都对
Ⅳ.G里至少有一个元e，叫做G的一个左单位元，能让
ea=a
对于G的任何元a都成立;
Ⅴ。对于G的每一个元a,在G里至少存在一个左逆元，能让
a=e。
证明思路:1。一个左逆元也一定是一个右逆元；
2．一个左单位元也一定是一个右单位元；
3．最终结论.

定义：一个群叫做有限群，假如这个群的元的个数是一个有限整数。否则这个群叫做无限群.一个有限群元的个数叫做这个群的阶。
定义:一个群叫做交换群，假如
ab=ba
对于G的任何两个元a，b都成立.

§2 单位元、逆元、消去律
定理1：在一群G里存在一个并且只存在一个元e，能使
ea—ae=a
对于G的任意元a都对。
提示：只须用反证法证唯一性。
定义:一个群G的唯一的能使
ea=ae=a（a是G的任一元)
的元e叫做群G的单位元.
定理2:对于群G的每一个元a来说,在G里存在一个而且只存在一个元,能使
a=a=e
提示:只须用反证法证唯一性.
定义：唯一的能使
a=a=e
的元叫做元a的逆元（有时简称逆）
例1:全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是零，元a的逆元是—a。
例2．全体整数对于普通加法来说作成一个群。这个群的单位元是零，a的逆元是—a.
定义：群G的一个元a，能够使得
=e
的最小的正整数m叫做a的阶。若是这样一个m不存在，我们说,a是无限阶的。
例3:G刚好包含=1的三个根：
1，，
对于普通乘法来说成一个群.
Ⅰ，Ⅱ显然；
Ⅳ。1是G的单位元;
Ⅴ。1的逆元是1，的逆元是，的逆元是.
定理3：一个群的乘法适合
III’消去律：若 ax=ax’ ， 那么x=x';
若 ya=y’a ，那么y=y'
证明:略.
推论：在一个群里，方程
ax=b和ya=b
各有唯一的解。

§3 有限群的另一定义
若是群，则必满足（1）封闭性(2）结合律（3）消去律。但如果代数体系能满足（1）（2）和（3），是否可断定就是群呢？先看下面的例子:
例：G=｛所有不等于零的整数}
对于普通乘法来说这个G适合I，II,III’，可是不适合III.
如果是有限集，那情形就不一样了。
定理：一个有乘法的有限集合G，若是适合I，II和III’，那么它也适合III。
有限群的另一定义：一个有乘法的有限不空集合G作成一个群，假如I，III，III’能被满足.
证明：（只需证明方程和在中有解）
先证在中有解，。
因为是有限集，不妨设,即,现用左乘中的每个元素，得到。
由(1）中每个，所以
又由于（3)只要,则中也含有个元素,于是
又由于，即使的解。
同理可以证明有解。

§4 群的同态
设和都是群，如果存在映射使都有，则称是群同构态映射;如果是满射，则必为群满同态映射，（注:这是重要的一种同态，要特别关注）简称 与 同态，并记为 ~ ,此时也称是的同态像。
我们已多次谈到 “满同态"的重要性质——-----—具有 “传递”作用。那么在群的满同态映射里，它能传递一些什么呢？
定理1：假设G与对于它们的乘法来说同态，那么也是一个群。
证明:对而言,“”满足封闭性是显而易见的,而由于 中的 “” 满足集合律。也满足结合律。下面须证有单位元和有逆元.
〈i〉 是群，设e是单位元并设 ,须证 是的单元.事实上，是满射，使，那么,同理, 由的任意性 是单位元。
〈ii〉 为满射，则 使,而是群，故有逆元,设，须证是的逆元。
事实上,
同理 是的逆元，即= 。
由上可知, 是个群.

例1：设A=｛a，b，c｝，A的乘法由下表夫定：
a b c
a a b c
b b c a
c c a b
的集合，G是全体整数对普加法来说作成的一个群，找出它们之间的一个同态映射？且判断A是不是一个群。
例2：=｛所有奇数｝。对于普通乘法不是一个群.G=｛e},G对于乘法ee=e显然作成群。但

显然是到G的一个同态满射.
由定理1的证明可以直接得出
定理2：假定G和是两个群，在G到的一个同态满射之下，G的单位元e的象是的单位元,G的元a的逆元的象是a的象的逆元.

§5 变换群
本讲的教材在对映射的表示形式上有所改变： 将改成：也就是说,过去我们的记法 “”将变为“"于是要当心： 用教材的话是说：当是映射时，用“”。 当是变换时，使用“”
例1． 设｛１,２｝．现取出的几个变换
　　　（即　)
　　　（即　）
　　　（即　）
　　　（即　）
可以看出．是的全部变换．其中和是双射．并且是恒等变换．习惯上记　　(或　）。
把A的全体变换作成一个集合
S=
例2. 利用例１．可以换算一下它们的合成（乘积）
：２;２２．　
即　
这表明　　·同理知．利用是恒等变换．则　(．这是因为
　　并且又有
．
定义．对于这个乘法，S有一个单位元，就是的恒等映射

对的任一个变换，都有

例3.事实上，就没有逆元。因为如果有逆元。那么必有且.但我们会发现：
而
这说明即不能成为群。（同理可知，也没有逆元）
上面的所以不能成为群,主要是和不是双射（ 它们没有逆元）因此，我们有：
定理1:假定G是集合A的若干个变换所作成的集合，并且G包含恒等变换ε,若是对于变换的乘法来说作成一个群，则G只包含A的—-变换。
证明:任取。经证是满射又是单射。首先，因为。由于群中的单位元唯一。由定义2必是中的单位元.
是满射: 于是。这说明是的原象。
是满射.
是单射：设。如果，
那么
是单射
由上分析知.是个双射。
定义1：一个集合A的若干个——变换的乘法作成的群叫做A的一个变换群。
定理2:一个集合A的所有的-—变换成一个变换群。
证明：设 ,须证满足群第0定义。
(1) 。因为都是双射.由第一章知必是也是双射.即 .(封闭性)
(2） 凡是映射都满足结合律中的元素必也满足结合律。
(3） 因为恒等变换就是的单位元。（由结论)
（4） 是双射,由第一章知 必有逆映射使.故逆映射就是在群中的逆元.
由（1)-(4) 是一个变换群.
定理3：任何一个群都同一个变换群同构。
证明：设 是任意一个群，，利用,我们规定的一个变换,其中 ，这种变换是一个一一变换，事实上:
那么
是满射.
若 且
是单射.
综合上述知.我们得到由中元素确定的的变换集合
其中每个这种变换都为一一变换.
其次作，其中现须证是同构映射.
是满射： 则 ， 是的原象是满射。
是单射: 如果
那么 有 ， 由消去律知
是单射
保运算：由于.我们有：

这说明 保运算
于是知，而是群必是群。

§6 置换群
定义：一个有限集合的一个——变换叫做一个置换.
一个有限集合的若干个置换作成的群叫做置换群.
定义：一个包含n个元的集合的全部置换作成的群叫做n次对称群，记作Sn。
定理1：n次对称群Sn的阶是n！
由于映射中只关心元素之间的对称关系。而不在乎元素的具体内容.故可证。故此。 :,,.稍做修改： ： =。用=来描述的一个置换的方便之处是显而易见的.当然，上述的置换可记为,…，但习惯上都将第一行按自然序列排写这就可以让我们都统一在一种表示置换的方法内进行研究工作了.
例1. 计算下列置换的乘积：
(1） ， （2) ， (3) .
解：

注意:置换乘积中,是从左到右求变换值，这是与过去的习惯方法不同的。
例2. 设，那么的全部一一变换构成的三次对称群为
.其中
， ，
， ，
所以.其中是恒等变换。即是的单位元.
由于置换群也是变换群，故必蕴含着变换群的一切特征。
譬如,不可交换性:

定义:Sn的一个把ai1变到ai2,ai2变到ai3，....aiκ变到ai1，而使得其余的元，假如还有的话,不变的置换,叫做一个κ—循环置换，用符号:
(i1i2。....iκ），（i2i3。.。.iκi1)，.。.。。或（iκi1.。。。iκ—1）来表示.
注意:①循环置换是置换的另一种表达形式，它以发生变化的文字的变化次序为序，表达成轮换的形式。虽然表达形式简捷，但所含置换的原有文字的数目可能反映不出来.这要求事先予以说明.例如.“8元置换”
②。一般地，每个循环的表达方法不唯一，例如。

这是 因为，每个循环置换都可视为一个首尾相接的圆环：

所以，循环中的每个文字都可以置于首位。一旦首位确定后,整个循环置换的表达形式也就确定了.
例3．在中。
叫作3—循环置换.
叫作5—循环置换.
叫作1—循环置换
定理2：每一个n个元的置换π都可以写成若干个互相没有共同数字的（不相连的)循环置换的乘积.
证明：设是中任一个元置换，下面对中改变文字的个数用数学归纳法.
如果使中每个文字都不发生改变,则是恒等置换。即,定理2成立.
假设最多变动个文字时，定理成立。现考察变动了个元的情形：
首先在被变动的文字中随意取一个文字，从出发找到在下的象，再找的象，… ,直到找到，其中：.于是
因为只变动了个文字，故。如果，则本身就是一个—循环置换：定理证毕。如果，模仿的做法.

由于中只变动了个文字，中只能变动个文字.由归纳假设，必可以写成若干个不相连的循环置换之积：
还需特别说明:中的所有循环置换中不可能再出现,否则，
当
因为是互不相连，只在中出现。
将,但前面已有
即将使保持不动，这样就导出了矛盾。 这恰说明：
是互不相连的循环置换之积.
定理3：每一个有限群都有与一个置换群同构.

§7 循环群
例1 整数加群中，每个元素都是的倍数（因为此群是加法运算,所以用“倍数”这个词）事实上，是的零倍：；正数是的的倍：，负数是的倍：
定义：若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方,我们就把G叫做循环群;G由元a所生成的，且用符号 G=（a）来表示，a叫做G的一个生成元。
例2 模剩余类加群。中的运算是“钟表加法”，易知中每个元素都是的倍数

定理：假定G是一个由元a所生成的循环群,那么G的构造完全可以由a的阶来决定。
a的阶若是无限，那么G与整数加群同构；
a的阶若是一个有限整数n,那么G与模n乘余类加群同构。
证明：(1）当时，作。由上述的对应关系易知，是双射。而

（2）当时，作,
由上述对应关系也易知,是双射 . 而且

. 即

§8 子群
定义：一个群G的一个集H叫做G的一个子群，假如H对于G的乘法来说作成一个群，记作:H≤G.

例1 设为任意一个群，那么由的单位元组成子集，自然有，另外本身也有，所以一般有两个子群,统称它们为的平凡子群。如果除了平凡子群外还有其他子群，那就称为的真子群，记为。
例2 设为三次对称群，令和三次交错群。易知

定理1:一个群G的一个不空集H作成G的一个子群的充分且必要条件是
（i） a,b∈H=>ab∈H
（ii） a∈H=>∈H。
证明：
若，(1）显然成立,而上述性质2恰说明(2）成立.

因为（1）成立中元素乘法封闭。
结合律在中成立，自然在中也成立。
由（2）,再由（1）知。
由（2)
于是可知
推论:假定H是群G的一个子群，那么H的单位元就是G的单位元,H的任一元a在H里的逆元就是a在G里的元。
定理2：一个群G的一个不空子集H作成G的子群的充分必要条件是： (iii）a,b∈H=>ab-1∈H。
证明：
. 由定理1中（2)，再由（1)知
（往证（1）和(2)成立)
.由条件知,即，那么，并且,所以（1）和（2)都成立，由定理1.
定理3：一个群G的一个非空有限子集H作成G的一个子集的充要条件是： a,b∈H=>ab∈H.
证明：必要性：显然。
充分性：（1）条件表明满足封闭.
(2）中满足结合律也满足结合律。
（3）因为中满足消去律中也满足消去律。
由（1）、（2）和（3）（注是有限集）
定义：S生成的子群的定义结构过程教材上P64页中。

§9 子群的陪集
子群的陪集思想是：实质上是用子群对群进行分类的问题，关于陪集的定义,有两种最基本的出发点,一种是利用子集的乘积的概念,另一种是等价关系的概念。
记群G和G的一个子群H.规定一个G的元中的关系~：
a～b，当且仅当的时候。
因为：
1．，所以
a～b
2。，所以
a～bb~a
3. ，，所以
a～b，b～ca~c
所以～是一个等价关系。
定义：由上面的等价关系～所决定的类叫做子群H的右陪集，包含元a的右陪集用符号Ha来表示。
例1． G=，H=。
那么H（1）=
H(13)=
H（23)=
右陪集是从等价关系～：
a～b,当且仅当的时候
出发得到的.假如规定一个G的元中的关系～’：
a～’b，当且仅当的时候
同理可证～’是一个等价关系。
定义：由等价关系～’所决定的类叫做子群H的左陪集，包含元a的左陪集用符号aH来表示.
例2。 例1里H的左陪集是
(1）H=
（13）H=
（23）H=
这和H的右陪集并不相同。
定理1:一个子群H的右、左陪集的个数相等。它们或者都为无限大，或者都有限并且相等。
证明： 设， .
作,其中
。
(ⅰ)( 必是映射)
，如果，利用明示4的对称性得，故有，即 ,这说明是个映射。
(ⅱ)（ 必是满射）
，则存在使 是满射。
（ⅲ)（ 是单射）
设 ,.如果 ，即
（由明示4） 是单射。
由（ⅰ)（ⅱ）和（ⅲ）知,必是一一映射，命题得证.
定义：一个群G的一个子群H的右陪集(左陪集）的个数叫做H在G里的指数。
引理：一个子群H与H的每一个右陪集Ha之间都存在一个映射。
证明: 设 ，其中 。
(ⅰ） ，作为在下的象是唯一确定的， 是映射.
(ⅱ） ，则显然有原象,是满射。
（ⅲ） 设, 如果则 必有(群的消去 律) 必是单射。
由（ⅰ),（ⅱ）和(ⅲ)知是双射。
定理2：设H是一个有限群G的子群，那么H的阶n和它在G里的指数j都能整除G的阶N，并且N=nj
证明: ，这表明在中的右陪集只有个，从而有的右陪集分解：
（其中）
由引理知,
所以 .

由上等式“”知子群的阶是的阶的因子,于是可得到下面
定理3：一个有限群G的任一个元a的阶n都整除G的阶。
证明：由元素生成的一个循环子群 .
由Lagrange定理知，但
故。
例3：设置换群S3,其子群为H={(1）,（12）}，分析H的右（左）倍集。

§10 不变子群
定义：设，如果对于中任一个元，都有,那么称为的一个不变子群，记为.如果是不变子群，那么N的左（右）陪集统一叫做N的一个陪集.
例1 群的平凡子群和都是不变子群。

例2 设为群，而叫做的中心
(centre of G)，不仅,而且有
例3 如果是一个交换群,那么的任一个子群都是不变子群.
因为。
例4 设，其中,易知。
定义.假定是一个群G的m个子集.那么由所有可以写成

形式的G的集合叫做的乘积。这个乘积用表示。
定理1:一个群G的一个子群N是一个不变子群的充要条件是:

对于G的任意一个元a都成立.
证明:假若N是不变子群，则对于G的任意一个元a来说,
aN=Na
这样

假若对于G的任意一个元a来说

那么

故N是G的一个不变子群。
定理2:一个群G的一个子群N是一个不变子群的充要条件是：

证明：必要性由定理1显然。
下证充分性：假定这个条件成立，那么对于G的任意一个元a来说

这样,因为也是G的元，故有

故
由定理1，N是G的一个不变子群。证完。
设,规定其陪集的运算法则：

欲使成为一个群，我们还需对它的代数运算进一步核实-—子集之积是否与代表元有关。
设，那么中定义的运算是一个代数运算。
证明:且。如果又