高二-数列的基本方法与基本思想-.ppt

数列备考策略数列备考策略 数列是高中数学的重要内容，虽然在数列是高中数学的重要内容，虽然在教学大纲教学大纲中中只有只有1212课时，但在高考中却占有重要地位，分值为总分的课时，但在高考中却占有重要地位，分值为总分的8 8-10-10。高考对数列的考查，把重点放在对数学思想和方法的高考对数列的考查，把重点放在对数学思想和方法的考查，放在对思维以及创新意识和实践能力的考查上。考查，放在对思维以及创新意识和实践能力的考查上。选择和填空题主要考查数列的性质、公式，数形结合选择和填空题主要考查数列的性质、公式，数形结合和思维方法；解答题，对综合能力有较高的要求，有一定和思维方法；解答题，对综合能力有较高的要求，有一定的难度，具体以递推、演绎和应用公式变通思维为主。的难度，具体以递推、演绎和应用公式变通思维为主。2024/5/22 周三1解决数列问题注意几个原则：解决数列问题注意几个原则：(1)(1)根据结构选择公式、方法根据结构选择公式、方法(2)(2)根据结论处理条件根据结论处理条件(3)(3)通项公式具有双重属性：函数式、代数式通项公式具有双重属性：函数式、代数式(4)(4)多个数列，单一解决多个数列，单一解决(5)(5)转化为项或项数的函数、方程转化为项或项数的函数、方程2024/5/22 周三2(1)(1)基本运算、基本方法基本运算、基本方法(2)(2)函数方程思想应用函数方程思想应用(3)(3)整体代换应用整体代换应用(4)(4)有限与无限转化有限与无限转化(5)(5)数列的综合应用数列的综合应用2024/5/22 周三3例例1.(1.(重庆卷重庆卷)在等差数列在等差数列中，中，则，则的前的前5 5项和项和解析一：解析一：是等差数列，是等差数列，所以，所以解析二：解析二：是等差数列，是等差数列，解析三：解析三：是等差数列，是等差数列，所以，所以解析四：写出前解析四：写出前5 5项项基本运算、基本方法12024/5/22 周三4例例2.(2.(北京卷北京卷)在等差数列在等差数列中，中，则，则为其前为其前项和，项和，若若解析解析2 2：因为：因为是等差数列，所以是等差数列，所以解得：解得：基本运算、基本方法2解析解析1 1：因为：因为是等差数列，所以是等差数列，所以，则，则解得：解得：2024/5/22 周三5例例3.(3.(辽宁卷辽宁卷)在等差数列在等差数列中，中，已知已知，则该数列，则该数列前前1111项和项和解析解析1 1：因为：因为是等差数列，所以是等差数列，所以基本运算、基本方法3解析解析2 2：采用以静制动策略，令：采用以静制动策略，令是常数列是常数列则则，所以，所以2024/5/22 周三6例例4.(4.(广东卷广东卷)已知递增的等差数列已知递增的等差数列满足满足则则解析解析1 1：因为：因为是递增的等差数列，所以是递增的等差数列，所以所以所以，解得：，解得：所以所以基本运算、基本方法4解析解析2 2：因为：因为是递增的等差数列，所以是递增的等差数列，所以，即，即，解得：，解得：所以所以2024/5/22 周三7例例5.(5.(大纲卷大纲卷)已知等差数列已知等差数列的前的前项和为项和为则数列则数列的前的前100100项和为项和为()()解析：因为解析：因为是等差数列，所以是等差数列，所以又因为又因为所以所以数列数列的前的前100100项和为项和为基本运算、基本方法52024/5/22 周三8，例例6.(6.(全国课标卷全国课标卷)已知数列已知数列为等比数列，为等比数列，则则解析：因为数列解析：因为数列为等比数列，所以为等比数列，所以又因为又因为，所以，所以或或当当时，时，当当时，时，故选故选基本运算、基本方法62024/5/22 周三9例例7.(7.(浙江卷浙江卷)设公比为设公比为的前的前的等比数列的等比数列项和为项和为若若，则，则解析：解析：，整理得：，整理得：两边同时除以两边同时除以得：得：因为因为，所以，所以基本运算、基本方法72024/5/22 周三10例例8.(8.(辽宁卷辽宁卷)已知等比数列已知等比数列为递增数列，且为递增数列，且，则数列，则数列的通项公式的通项公式解析解析1 1：因为：因为，所以，所以是等比数列，且是等比数列，且所以所以，又因为数列递增，所以，又因为数列递增，所以由由两边同时除以两边同时除以得：得：解得：解得：基本运算、基本方法8,所以所以2024/5/22 周三11例例9.(9.(天津卷天津卷)已知已知是等差数列，其前是等差数列，其前项和为项和为，是等是等比数列，且比数列，且()求数列求数列与与的通项公式；的通项公式；()记记，证明：，证明：解析解析:(1):(1)由由可得：可得：是等差数列，是等差数列，所以所以所以所以解析解析:(2):(2)所以所以基本运算、基本方法92024/5/22 周三12例例10.(10.(重庆卷重庆卷)设数列设数列的前的前项和项和满足满足，其中，其中（I I）求证：求证：是首项为是首项为1 1的等比数列；的等比数列；（IIII）若）若，求证：，求证：解析解析:(1)(1)由由可得：可得：作差得：作差得：由由令令，得，得所以所以是首项为是首项为1 1，公比为，公比为的等比数列；则的等比数列；则基本运算、基本方法102024/5/22 周三13当当时，时，解析解析:(2)(2)不等式右侧易联系到等差数列求和方法不等式右侧易联系到等差数列求和方法倒序求和倒序求和原不等式等价为原不等式等价为，下面证明，下面证明即要证明即要证明等价于等价于即即当当时，时，所以所以成立成立所以所以时，时，成立，则成立，则累加得：累加得：所以所以时，时，2024/5/22 周三14例例11.(11.(山东卷山东卷)在等差数列在等差数列中，中，()求数列求数列的通项公式；的通项公式；()对任意对任意将数列将数列中落入区间中落入区间内的内的项的个数记为项的个数记为，求数列，求数列的前的前项和项和.解析解析:(1):(1)是等差数列，是等差数列，所以所以，则，则解析解析:(2):(2)因为因为即即所以所以满足满足的的的个数有的个数有个，个，所以所以基本运算、基本方法11即即2024/5/22 周三15 整体代换思想在数列中的应用较为广整体代换思想在数列中的应用较为广泛，尤其是等差、等比数列的数列重组，泛，尤其是等差、等比数列的数列重组，具体体现是具体体现是“等距离片断之和（积）仍然等距离片断之和（积）仍然是等差或等比数列是等差或等比数列”2024/5/22 周三16例例1.1.在等比数列在等比数列中，若中，若，则，则解析：设解析：设所以所以则则是以是以1 1为首项，为首项，2 2为公比的等比数列为公比的等比数列整体代换应用12024/5/22 周三17例例2.2.下列下列个数构成数阵个数构成数阵则这则这个数之和为个数之和为_解析一：第一行记作解析一：第一行记作，第二行起，每个数都比前一行，第二行起，每个数都比前一行每个数大每个数大1 1，即，即，所以，所以此数列是首项为此数列是首项为 公差为公差为的等差数列，则的等差数列，则解析二：此题作为填空题，可以运用有限无限思想解析二：此题作为填空题，可以运用有限无限思想,采用采用当当时，时，当当时，时，当当时，时，不完全归纳出不完全归纳出整体代换应用2不完全归纳法进行猜测不完全归纳法进行猜测2024/5/22 周三18例例3.(3.(湖北卷湖北卷)等差数列等差数列前三项的和为前三项的和为-3-3，前三项的积为，前三项的积为8.8.()求等差数列求等差数列()若若的通的通项项公式；公式；成等比数列，成等比数列，求数列求数列的前的前项项和和.解析解析().).因为等差数列因为等差数列所以所以解得：解得：或或当当时，时，当当时，时，整体代换应用32024/5/22 周三19解析解析()：成等比数列，所以成等比数列，所以所以所以当当时，时，当当时，时，当当时，时，2024/5/22 周三20例例4.(4.(湖南卷湖南卷)已知数列已知数列各项均为正数，记各项均为正数，记()若若且对任意且对任意，三个数，三个数组成等差数列，求数列组成等差数列，求数列的通项公式；的通项公式；()证明：数列证明：数列是公比为是公比为的等比数列的充分必要条的等比数列的充分必要条件是：件是：对任意对任意，三个数，三个数组成组成公比为公比为的等比数列的等比数列解析解析():因为因为成等差数列，所以成等差数列，所以所以所以是以是以1 1位首项，位首项，4 4为公差的等差数列，所以为公差的等差数列，所以整体代换应用42024/5/22 周三21解析解析()必要性：必要性：所以所以组成组成公比为公比为的等比数列的等比数列充分性：充分性：组成组成公比为公比为的等比数列的等比数列因为因为所以所以因为因为，所以，所以，即，即所以所以，又，又所以数列所以数列是公比为是公比为的等比数列的等比数列综上：综上：数列数列是公比为是公比为的等比数列的充分必要条件是：的等比数列的充分必要条件是：对任意对任意，三个数，三个数组成组成公比为公比为的等比数列的等比数列2024/5/22 周三22 有限无限思想在数列中的具体有限无限思想在数列中的具体体现是通过总结归纳一般规律，寻体现是通过总结归纳一般规律，寻找特殊结论的过程，寻找一般规律找特殊结论的过程，寻找一般规律的方法主要有分组、分段、分类的方法主要有分组、分段、分类.2024/5/22 周三23例例5.(5.(上海卷上海卷)设设，在，在中，正数的个数是中，正数的个数是()()解析：当解析：当时，时，当当时，时，当当时，时，当当时，时，所以正数的个数为所以正数的个数为100100个个有限无限转化12024/5/22 周三24 例例6.(6.(全国课标卷全国课标卷)已知数列已知数列满足满足，则，则的前的前6060项和为项和为_解析：写出解析：写出时对应的关系式时对应的关系式发现：相邻两个等式相加或者相减，能得到相隔两项之和发现：相邻两个等式相加或者相减，能得到相隔两项之和时，时，-得：得：+得：得：所以所以，则，则为等差数列为等差数列的前的前6060项和等于项和等于的前的前1515项和，设为项和，设为因为因为所以所以有限无限转化22024/5/22 周三25例例7.(7.(福建卷福建卷)数列数列的通项公式为的通项公式为项和为项和为，前，前，则，则解析：解析：，所以，所以有限无限转化32024/5/22 周三26 数列本身就是特殊的函数，正整数列本身就是特殊的函数，正整数集就是定义域，通项就是函数解析式，数集就是定义域，通项就是函数解析式，数列组成集合就是值域数列组成集合就是值域.2024/5/22 周三27例例8.8.已知数列已知数列中，中，且恒满足关系式，且恒满足关系式，则，则的通项为的通项为_解析：常规方法，把前几项值求出来，然后找规律求出通项，解析：常规方法，把前几项值求出来，然后找规律求出通项，再用数学归纳法证明较为复杂。如果用方程就很快求出。再用数学归纳法证明较为复杂。如果用方程就很快求出。当当时，时，-得：得：，所以，所以赋值取赋值取得：得：且且，累乘得：，累乘得：，所以，所以函数方程思想12024/5/22 周三28例例9.9.已知等差数列已知等差数列的公差为的公差为,前前n n项和记为项和记为，若，若，则，则解析一：由解析一：由得得所以所以所以所以解析二：设解析二：设解得：解得：函数方程思想22024/5/22 周三29例例10.10.已知等差数列已知等差数列中，中，,前前n n项和记为项和记为，且，且,那么那么取最大值时，取最大值时，解析一：等差数列的前解析一：等差数列的前n n项和项和为二次函数为二次函数,因为因为，所以，所以开口向下，它与开口向下，它与，图像过原点，图像过原点，轴的另一个交点在区轴的另一个交点在区间（间（9,109,10）内，对称轴）内，对称轴在区间（在区间（4.54.5，5)5)内，离对称轴最近的整数为内，离对称轴最近的整数为5 5，故，故时其值最大时其值最大解析二：解析二：因为因为，所以，所以取最大值，取最大值，当当时，时，所以，所以即即时其值最大时其值最大函数方程思想32024/5/22 周三30