初三数学上册【一元二次方程】5大常考应用题型.docx

一、列一元二次方程解决率类问题
例1、今年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元。假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A． 2500×2=3500 （认真王老师的公众号：初三数学语文英语）
B．2500（1+x）2=3500
C． 2500（1+x%）2=3500
D．2500（1+x）+2500（1+x）2=3500
【解答】
解：设增长率为x，根据题意得2500×（1+x）2=3500，故选B．
例2、为落实素质教育要求，促进学生全面发展，某市某中学2009年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2011年投资18.59万元。则该学校为新增电脑投资的年平均增长率是 ，从2009年到2011年，该中学三年为新增电脑共投资 万元。
【解答】
解：设该学校为新增电脑投资的年平均增长率是x
11（1+x）2=18.59
x=30%（认真王老师的公众号：初三数学语文英语）
则该学校为新增电脑投资的年平均增长率是30%
11×（1+30%）=14.3万元
11+14.3+18.59=43.89万元
故答案为：30%；43.89
练 习
1、股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停。已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价。若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（ ）
A． （1+x）2= B． （1+x）2=
C． 1+2x= D． 1+2x=
【解答】
解：设平均每天涨x，则90%（1+x）2=1，即（1+x）2=，故选B。
（认真王老师的公众号：初三数学语文英语）
2、某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为（ ）
A． 20% B． 40% C．﹣220% D． 30%
【解答】
解：设每年投资的增长率为x，根据题意，得：5（1+x）2=7.2
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（舍去），故每年投资的增长率为为20%，故选：A
3、随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆。己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得（ ）
A．10（1+x）2=16.9
B．10（1+2x）=16.9
C．10（1﹣x）2=16.9
D．10（1﹣2x）=16.
【解答】（认真王老师的公众号：初三数学语文英语）
解：设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，
根据题意，可列方程：10（1+x）2=16.9，
故选：A
二、列一元二次方程解决数字类问题
例1、已知一个两位数的十位数字比个位数字大 2，两位数字的积比这个两位数小34，求这个两位数。
【解答】（认真王老师的公众号：初三数学语文英语）
解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为x＋2
根据题意，得x(x＋2)＋34＝10(x＋2)＋x
解得x1＝2，x2＝7
当x＝2时，x＋2＝4
当x＝7时，x＋2＝9. （认真王老师的公众号：初三数学语文英语）
所以这个两位数为42或97
例2、已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数。
【解答】
解：设这三个奇数分别为 x-2，x，x+2
(x-2)2+x2+(x+2)2=371
解得x1＝11，x2＝-11：初三数学语文英语）
答：这三个奇数分别为9，11，13或-13，-11，-9
练 习
1,已知两个连续奇数的积是255，求这两奇数。
【解答】（认真王老师的公众号：初三数学语文英语）
解：设这三个奇数分别为x，x+2
X（x+2）＝255
　解得x1＝15，x2＝-17
答：这两个奇数是15，17或-17，-15
三、列一元二次方程解决营销类问题
例1、为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元。
【解答】
解：设每个粽子的定价为x元时，每天的利润为800元．
根据题意，得（x﹣3）（500﹣10×图片）=800
解得x1=7，x2=5。售价不能超过进价的200%，x≤3×200%．即x≤6，x=5
答：每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元。
例2、某水果经销商销售一种水果，如果每千克盈利1元，每月可售出5000千克。经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价0.1元，月销售量将减少400千克。现该经销商要在批发这种高档水果中保证每月盈利5060元，同时又要价格尽可能的低，那么每千克应涨价多少元？
【解答】（认真王老师的公众号：初三数学语文英语）
解：设每千克应涨价x元，
依题意得方程：（5000﹣400×图片）（1+x）=5060，
整理，得200×2﹣50x+3=0，解这个方程，得x1=0.1，x2=0.15。又要价格尽可能的低，应取x=0.1。
答：每千克应涨价0.1元。
练 习
1、某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同。
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
【解答】
解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，
依题意得：400×（1﹣x%）2=324，
解得：x=10，或x=190（舍去）．
答：该种商品每次降价的百分率为10%．
（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，
第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300=60（元/件）；
第二次降价后的单件利润为：324﹣300=24（元/件）
依题意得：60m+24×（100﹣m）=36m+2400≥3210，
解得：m≥22.5
∴m≥23
答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元，第一次降价后至少要售出该商品23件。
2、某商场礼品柜台元旦期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元。为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？
【解答】（认真王老师的公众号：初三数学语文英语）
解：设每张贺年卡应降价x元，现在的利润是（0.3﹣x）元，则商城多售出100x÷0.1=1000x张。
（0.3﹣x）（500+1000x）=120，
解得x1=﹣0.3（降价不能为负数，不合题意，舍去），x2=0.1
答：每张贺年卡应降价0.1元。
四、列一元二次方程解决面积类问题
例1、如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道。若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程（）
A．x2+9x﹣8=0 B．x2﹣9x﹣8=0 C．x2﹣9x+8=0 D．2×2﹣9x+8=0
【解答】
解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（18﹣3x）（6﹣2x）=60，
化简整理得，x2﹣9x+8=0
故选C
例2、如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x米。
（1）用含x的式子表示横向甬道的面积；
（2）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米．如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用为239万元？
图片
【解答】（认真王老师的公众号：初三数学语文英语）
解：（1）中间横道的面积=图片（120+180）x=150x，
（2）甬道总面积为150x+160x﹣2×2=310x﹣2×2，
绿化总面积为12000﹣S 花坛总费用y=甬道总费用+绿化总费用：
239=5.7x+（12000﹣S）×0.02，
239=5.7x﹣0.02S+240，
239=5.7x﹣0.02（310x﹣2×2）+240，
239=0.04×2﹣0.5x+240，
0.04×2﹣0.5x+1=0
练 习
1、如图的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和。若丙的一股长为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？（ ）

A．图片 B．图片 C．2﹣图片 D．4﹣2图片
【解答】
解：设丁的一股长为a，且a＜2，
∵甲面积+乙面积=丙面积+丁面积，
∴2a+2a=图片×22+图片×a2，
∴4a=2+a2，
∴a2﹣8a+4=0，
∴a===4±2，
∵4+2＞2，不合题意舍，
4﹣2＜2，合题意，
∴a=4﹣2
故选D （认真王老师的公众号：初三数学语文英语）
2、公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长。设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（ ）
A．=18 B．x2﹣3x+16=0 C．=18 D．x2+3x+16=0
【解答】
解：设原正方形的边长为xm，依题意有
=18，
故选C
五、列一元二次方程解决动态类问题
例1、如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒？四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10cm．
【解答】
解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，
则PB=（16﹣3x）cm，QC=2xcm，
根据梯形的面积公式得（16﹣3x+2x）×6=33，
解之得x=5 （认真王老师的公众号：初三数学语文英语）
（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，
作QE⊥AB，垂足为E，
则QE=AD=6，PQ=10，
∵PA=3t，CQ=BE=2t，
∴PE=AB﹣AP﹣BE=|16﹣5t|，
由勾股定理，得（16﹣5t）2+62=102，
解得t1=4.8，t2=1.6
答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm．

例2、等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D。设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S。
（1）求出S关于t的函数关系式；
（2）当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？
（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论。

【解答】
解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10﹣t
∴

当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ=t，PB=t﹣10
∴图片（4分）
（2）∵S△ABC=图片（5分）
∴当t＜10秒时，S△PCQ=图片
整理得t2﹣10t+100=0无解（6分）
当t＞10秒时，S△PCQ= 图片
整理得t2﹣10t﹣100=0解得t=5±5图片（舍去负值）（7分）
∴当点P运动图片秒时，S△PCQ=S△ABC（8分）
（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M
易证△APE≌△QCM，
∴AE=PE=CM=QM=图片t，
∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．
又∵EM=AC=10
∴DE=5
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
同理，当点P在点B右侧时，DE=5
综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
练 习
1、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=12cm，点D从点A开始沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC，则出发1或5秒时，四边形DFCE的面积为20cm2。

【解答】
解：设点D从点A出发x秒时，则四边形DFCE的面积为20cm2，由题意，得 图片
解得：x1=1，x2=5
故答案为：1或5