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2020-2021高中数学 第七章 随机变量及其分布素养检测新人教A版选择性必修第三册

2020-2021高中数学 第七章 随机变量及其分布素养检测新人教A版选择性必修第三册

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单元素养检测(二)(第七章)
(120分钟　150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)(σ>0),且P(X>0)=0.9,则P(2<X<4)= (　　)
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6
【解析】选C.随机变量X服从正态分布N(2,σ2)(σ>0),且P(X>0)=0.9,P(2<X<4)=P(0<X<2)=P(X>0)-P(X>2)=0.4.
2.若随机变量X～B,则D(2X+1)= (　　)
A. B. C. D.
【解析】选B.因为X～B,
故可得D(X)=6××=,
故D(2X+1)=4D(X)=.
3.在10个排球中有6个正品,4个次品.从中抽取4个,则正品数比次品数少的概率为 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选A.正品数比次品数少,有两种情况:0个正品4个次品,1个正品3个次品,
由超几何分布的概率可知,当0个正品4个次品时,P==,
当1个正品3个次品时,P===,
所以正品数比次品数少的概率为+=.
4.对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测,不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的条件下,第二次摸到正品的概率是 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选D.记A=“第一次摸出的是次品”,B=“第二次摸到的是正品”,
由题意知,P(A)==,P=×=,则P===.
5.某服务性窗口可为顾客办理A,B,C,D四类业务,假设顾客办理业务所需时间相互独立,统计以往数据可得办理A,B,C,D四类业务的平均时间分别是2分钟、3分钟、4分钟、6分钟,频率分别为0.2,0.3,0.4,0.1,办理两项业务之间的间隔时间忽略不计,则工作人员恰好在第7分钟开始办理第三位顾客业务的概率为 (　　)
A.0.25 B.0.16 C.0.34 D.0.09
【解析】选A.工作人员恰好在第7分钟开始办理第三位顾客的业务,即在第6分钟末办理完第二位顾客的业务,则工作人员为前两位顾客办理业务的时间都是3分钟,或者一个2分钟、一个4分钟,则所求概率为0.32+×0.2×0.4=0.25.
6.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7.若两人各投2次,则两人投中次数相等的概率为 (　　)
A.0.248 4 B.0.25 C.0.90 D.0.392 4
【解析】选D.由题意,甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7,则甲、乙两人各投2次,
两人两次都未投中的概率P0=(1-0.6)2×(1-0.7)2=0.014 4;
两人各投中一次的概率P1=×0.6×(1-0.6)××0.7×(1-0.7)=0.201 6;
两人两次都投中的概率P2=0.62×0.72=0.176 4.
所以,两人投中次数相等的概率为P=P0+P1+P2=0.392 4.
7.盒中有5个小球,其中3个白球,2个黑球,从中任取i(i=1,2)个球,在取出的球中,黑球放回,白球涂黑后放回,此时盒中黑球的个数记为Xi(i=1,2),则 (　　)
A.P(X1=2)>P(X2=2),E(X1)>E(X2)
B.P(X1=2)<P(X2=2),E(X1)>E(X2)
C.P(X1=2)>P(X2=2),E(X1)<E(X2)
D.P(X1=2)<P(X2=2),E(X1)<E(X2)
【解析】选C.P(X1=2)==,P(X2=2)==<P(X1=2),
因为P==,
所以E(X1)=.
因为P(X2=2)=,P==,P(X2=4)==,
所以E(X2)=>E(X1).
8.甲、乙两人进行飞镖比赛,规定命中6环以下(含6环)得2分,命中7环得4分,命中8环得5分,命中9环得6分,命中10环得10分(两人均会命中),比赛三场,每场两人各投镖一次,累计得分最高者获胜.已知甲命中6环以下(含6环)的概率为,命中7环的概率为,命中8环的概率为,命中9环的概率为,命中10环的概率为,乙命中各环对应的概率与甲相同,且甲、乙比赛互不干扰.若第一场比赛甲得2分,乙得4分,第二场比赛甲、乙均得5分,则三场比赛结束时,乙获胜的概率为 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选B.比赛结束,若乙获胜,则第三场比赛乙至多比甲低一分.
当乙得2分时,甲得2分,P1=×=;
当乙得4分时,甲可得2分,4分,5分,P2=×
=;
当乙得5分时,甲可得2分,4分,5分,6分,P3=×
=;
当乙得6分时,甲可得2分,4分,5分,6分,P3=×
=;
当乙得10分时,甲可得2分,4分,5分,6分,10分,P4=×1=;
乙获胜的概率为P=P1+P2+P3+P4=.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.近年来中国进入一个鲜花消费的增长期,某农户利用精准扶贫政策,贷款承包了一个新型温室鲜花大棚,种植并销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销售量分别服从正态分布N(μ,302)和N(280,402),则下列选项正确的是 (　　)
附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7.
A.若红玫瑰日销售量范围在(μ-30,280)的概率是0.682 7,则红玫瑰日销售量的平均数约为250
B.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C.白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中
D.白玫瑰日销售量范围在(280,320)的概率约为0.341 35
【解析】选ABD.对于选项A:μ+30=280,μ=250,正确;
对于选项BC:利用σ越小越集中,30小于40,B正确,C不正确;对于选项D:P(280<X<320)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7×=0.341 35,正确.
10.甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体,每个面都是正三角形,甲四个面上分别标有数字1,2,3,4,乙四个面上分别标有数字5,6,7,8,同时抛掷这两个四面体一次,记事件A为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”,事件B为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”,事件C为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”,则下列结论正确的是 (　　)
A.P(A)=P(B)=P(C)
B.P(BC)=P(AC)=P(AB)
C.P(ABC)=
D.P(A)·P(B)·P(C)=
【解析】选ABD.由已知P(A)=×+×=,P(B)=P(C)==,
由已知有P(AB)=P(A)P(B)=,P(AC)=,P(BC)=,
所以P(A)=P(B)=P(C),则A正确;
P(BC)=P(AC)=P(AB),则B正确;
事件A,B,C不相互独立,故P(ABC)≠,即C错误;
P(A)·P(B)·P(C)=,则D正确.
11.某班级的全体学生平均分成6个小组,且每个小组均有4名男生和多名女生.现从各个小组中随机抽取一名同学参加社区服务活动,若抽取的6名学生中至少有一名男生的概率为,则 (　　)
A.该班级共有36名学生
B.第一小组的男生甲被抽去参加社区服务的概率为
C.抽取的6名学生中男女生数量相同的概率是
D.设抽取的6名学生中女生数量为X,则D(X)=
【解析】选ACD.设该班级每个小组共有n名女生,
因为抽取的6名学生中至少有一名男生的概率为,所以抽取的6名学生中没有男生(即6名学生全为女生)的概率为1-=,
所以==,解得n=2,
所以每个小组有4名男生、2名女生,共6名学生,
所以该班级共有36名学生,则A对;
所以第一小组的男生甲被抽去参加社区服务的概率为,则B错;
抽取的6名学生中男生女生数量相同的概率是··=,则C对;
设抽取的6名学生中女生数量为X,则X～B,
则D(X)=6××=,则D对.
12.甲箱中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙箱中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中,分别以A1,A2,A3表示由甲箱中取出的是红球,白球和黑球的事件;再从乙箱中随机取出一球,以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件,则下列结论正确的是 (　　)
A.P(B)=
B.P(B|A1)=
C.事件B与事件A1相互独立
D.A1,A2,A3两两互斥
【解析】选BD.因为每次取一球,所以A1,A2,A3是两两互斥的事件,故D正确;
因为P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,
所以P(B|A1)===,故B正确;
同理P(B|A2)===,
P(B|A3)===,
所以P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=×+×+×=,故AC错误.
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.甲、乙两人被随机分配到A,B,C三个不同的岗位(一个人只能去一个工作岗位).记分配到A岗位的人数为随机变量X,则随机变量X的数学期望E(X)=　　　　. 
【解析】由题意可得X的可能取值有0,1,2
P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==
则数学期望E(X)=0×+1×+2×=.
答案:
14.一个盒子里有2个红球,1个绿球和2个黄球,从盒子中随机取球,每次拿一个,不放回,拿出红球即停,设取球停止时拿出黄球的个数为随机变量ξ,则E(ξ)=　　　　. 
【解析】根据题意可知,ξ可取0,1,2,
P=+×=;
(此时取球情况是:第一次取红球;第一次取绿球,第二次取红球)
P=×+××+××=;
(此时取球情况是:第一次取黄球,第二次取红球;
第一次取绿球,第二次取黄球,第三次取红球;
第一次取黄球,第二次取绿球,第三次取红球)
P(ξ=2)=1-P(ξ=1)-P(ξ=0)=.
故E(ξ)=0×+1×+2×=.
答案:
15.甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是,假设各局比赛结果相互独立.则甲队获胜的概率为　　　. 
【解析】甲队获胜有三种情形,其每种情形的最后一局肯定是甲队胜,
①3∶0时,概率为P1==;
②3∶1时,概率为P2=××=;
③3∶2时,概率为P3=××=,
所以甲队3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率为,,,
故甲队获胜的概率是++=.
答案:
16.某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学,在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院,现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教.选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为　　　　,设X为选出的3名同学中女同学的人数,则X的数学期望为　　　　. 
【解析】设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,
则P(A)==;
随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.
P==,P==,
P==,P==,
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P

所以X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.
答案:　
四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)某学校就学生对端午节文化习俗的了解情况,进行了一次20道题的问卷调查,每位同学都是独立答题,在收回的问卷中发现甲同学答对了12个,乙同学答对了16个.假设答对每道题都是等可能的,试求:
(1)任选一道题目,甲、乙都没有答对的概率;
(2)任选一道题目,恰有一人答对的概率.
【解析】记“任选一道题目,甲答对”为事件A,“任选一道题目,乙答对”为事件B,
根据古典概型概率计算公式,得P(A)==,P(B)==,
所以P()=,P()=.
(1)“两人都没答对”记为,
所以P()=P()P()=×=.
(2)“恰有一人答对”=A∪B,
所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=×+×=.
18.(12分)某种水果按照果径大小可分为四类:标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个,利用水果的等级分类标准得到的数据如表:
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
个数
10
30
40
20
(1)若将频率视为概率,从这100个水果中有放回地随机抽取4个,求恰好有2个水果是礼品果的概率;(结果用分数表示)
(2)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个,再从抽取的10个水果中随机抽取3个,X表示抽取的是精品果的数量,求X的分布列及数学期望E(X).
【解析】(1)设从100个水果中随机抽取一个,抽到礼品果的事件为A,则P(A)==,
现有放回地随机抽取4个,设抽到礼品果的个数为X,则X～B,
所以恰好抽到2个礼品果的概率为
P(X=2)==.
(2)用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个,则其中精品果4个,非精品果6个,
现从中抽取3个,则精品果的数量X服从超几何分布,所有可能的取值为0,1,2,3,
则P(X=0)==;
P(X=1)==;
P(X=2)==;
P(X=3)==,
所以X的分布列如表:
X
0
1
2
3
P

、
所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.
19.(12分)为响应绿色出行,某市推出新能源租赁汽车.每次租车收费的标准由两部分组成:①里程计费:1元/公里;②时间计费:0.12元/分.已知陈先生的家离上班公司12公里,每天上下班租用该款汽车各一次.一次路上开车所用的时间记为t(分),现统计了50次路上开车所用时间,在各时间段内频数分布情况如表所示:
时间t(分)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
次数
12
28
8
2
将各时间段发生的频率视为概率,一次路上开车所用的时间视为用车时间,范围为[20,60)分.
(1)估计陈先生一次租用新能源租赁汽车所用的时间不低于30分钟的概率;
(2)若公司每月发放800元的交通补助费用,请估计是否足够让陈先生一个月上下班租用新能源租赁汽车(每月按22天计算),并说明理由.(同一时段,用该区间的中点值作代表)
【解析】(1)设“陈先生一次租用新能源租赁汽车的时间不低于30分钟”的时间为A,则所求的概率为P(A)=1-P()=1-=,
所以陈先生一次租用新能源租赁汽车的时间不低于30分钟的概率为.
(2)每次开车所用的平均时间为25×+35×+45×+55×=35,
每次租用新能源租赁汽车的平均费用为1×12+0.12×35=16.2,
每个月的费用为16.2×2×22=712.8(元),712.8<800,
因此公司补贴能够让陈先生一个月上下班租用新能源租赁汽车.
20.(12分)(2020·江苏高考)甲口袋中装有2个黑球和1个白球,乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复n次这样的操作,记甲口袋中黑球个数为Xn,恰有2个黑球的概率为pn,恰有1个黑球的概率为qn.
(1)求p1,q1和p2,q2;
(2)求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示).
【解题指南】本题主要考查概率的求法及数学期望的求法.重点考查学生利用所学知识解决实际问题的能力.
【解析】(1)p1=×1=,q1=×1=.
p2=p1+×q1=,
q2=p1+q1=.
(2)当n≥2时,pn=pn-1+×qn-1
=pn-1+qn-1,
qn=pn-1+qn-1+×(1-pn-1-qn-1)=-qn-1+,
所以2pn+qn=(2pn-1+qn-1)+,
则2pn+qn-1=(2pn-1+qn-1-1),
又2p1+q1-1=,
所以2pn+qn=1+.
所以Xn的分布列如表:
Xn
0
1
2
P
1-pn-qn
qn
pn
则E(Xn)=qn+2pn=1+.
　　　【补偿训练】
　　 溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视,为了普及安全教育,某市组织了一次学生安全知识竞赛,规定每队3人,每人回答一个问题,答对得1分,答错得0分.在竞赛中,甲、乙两个中学代表队相遇,假设甲队每人回答问题正确的概率均为,乙队每人回答问题正确的概率分别为,,,且两队每人回答问题正确与否相互之间没有影响.
(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率;
(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.
【解析】(1)记“甲队总得分为3分”为事件A,记“甲队总得分为1分”为事件B,
甲队得3分,即三人都回答正确,其概率为P(A)=××=;
甲队得1分,即三人中只有1人回答正确,其余两人都答错,
其概率为P=××+××+××=.
所以甲队总得分为3分与1分的概率分别为,.
(2)记“甲队总得分为2分”为事件C,记“乙队总得分为1分”为事件D,
事件C即甲队三人中有2人答对,其余1人答错,
则P(C)=××+××+××=;
事件D即乙队3人中只有1人答对,其余2人答错,
则P=××+1-××+××=,
由题意得事件C与事件D相互独立,
所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率P(CD)=P(C)P(D)=×=.
21.(12分)世界那么大,我想去看看,每年高考结束后,处于休养状态的高中毕业生旅游动机强烈,旅游可支配收入日益增多,可见高中毕业生旅游是一个巨大的市场.为了解高中毕业生每年旅游消费支出(单位:百元)的情况,相关部门随机抽取了某市的1 000名毕业生进行问卷调查,并把所得数据列成如下所示的频数分布表:
组别
[0,20)
[20,40)
[40,60)
[60,80)
[80,100)
频数
2
250
450
290
8
(1)求所得样本的中位数(精确到百元);
(2)根据样本数据,可近似地认为学生的旅游费用支出服从正态分布N(51,152),若该市共有高中毕业生35 000人,试估计有多少位同学旅游费用支出在8 100元以上;
(3)已知样本数据中旅游费用支出在[80,100)范围内的8名学生中有5名女生,3名男生,现想选其中3名学生回访,记选出的男生人数为Y,求Y的分布列与数学期望.
附:若X～N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
【解析】(1)设样本的中位数为x,则++·=0.5,
解得x≈51,所得样本中位数为51.
(2)μ=51,σ=15,μ+2σ=81,
旅游费用支出在8 100元以上的概率为P(x≥μ+2σ)=≈=0.022 75,
0.022 75×35 000≈796,
估计有796位同学旅游费用支出在8 100元以上.
(3)Y的可能取值为0,1,2,3,
P(Y=0)==,
P(Y=1)==,
P(Y=2)==,
P(Y=3)==,
所以Y的分布列为:
Y
0
1
2
3
P

E(Y)=0×+1×+2×+3×=.
22.(12分)“一带一路”为世界经济增长开辟了新空间,为国际贸易投资搭建了新平台,为完善全球经济治理拓展了新实践.某企业为抓住机遇,计划在某地建立猕猴桃饮品基地,进行饮品A,B,C的开发.
(1)在对三种饮品市场投放的前期调研中,对100名试饮人员进行抽样调查,得到对三种饮品选择情况的条形图.若饮品A的百件利润为400元,饮品B的百件利润为300元,饮品C的百件利润为700元,请估计三种饮品的平均百件利润;

(2)为进一步提高企业利润,企业决定对饮品C进行加工工艺的改进和饮品D的研发.已知工艺改进成功的概率为,开发新饮品成功的概率为,且工艺改进与饮品研发相互独立.
(ⅰ)求工艺改进和新品研发恰有一项成功的概率;
(ⅱ)若工艺改进成功,则可为企业获利80万元,不成功则亏损30万元,若饮品研发成功则获利150万元,不成功则亏损70万元,记企业获利为ξ,求ξ的数学期望.
【解析】(1)根据样本的条形图可得顾客选择饮品A的频率为=0.35,
选择饮品B的频率为=0.45,
选择饮品C的频率为=0.20;
由样本估计总体可得总体顾客中选择饮品A的概率为=0.35,
选择饮品B的概率为=0.45,
选择饮品C的概率为=0.20,
则可以得到总体的百件利润平均值为400×0.35+300×0.45+700×0.20=415(元).
(2)(ⅰ)设饮品工艺改进成功为事件A,新品研发成功为事件B,
依题意可知事件A与事件B相互独立,
事件M为工艺改进和新品研发恰有一项成功.
则P(M)=P(B)+P(A)=×+×=.
(ⅱ)由题意知企业获利ξ的取值为-100,10,120,230,
则P(ξ=-100)=×=,
P(ξ=10)=×=,
P(ξ=120)=×=,
P(ξ=230)=×=.
故ξ的分布列如表:
ξ
-100
10
120
230
P

所以E(ξ)=-100×+10×+120×+230×=.